💡 8. Sınıf Matematik: Ebob ekok Çözümlü Örnekler

Bu iki sayının EBOB ve EKOK'unu bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:

• 12'nin asal çarpanları: \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• 18'in asal çarpanları: \( 18 = 2 \times 3^2 \)

EBOB (12, 18): Ortak olan asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımıdır.

• Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
• En küçük üsler: \( 2^1 \) ve \( 3^1 \)
• EBOB(12, 18) = \( 2 \times 3 = 6 \)

EKOK (12, 18): Tüm asal çarpanların en büyük üslerinin çarpımıdır.

• Tüm asal çarpanlar: 2 ve 3
• En büyük üsler: \( 2^2 \) ve \( 3^2 \)
• EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

Sonuç olarak, 12 ve 18 sayılarının EBOB'u 6, EKOK'u ise 36'dır. ✅

Öncelikle 24 ve 30 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulalım:

• 24'ün asal çarpanları: \( 24 = 2^3 \times 3 \)
• 30'un asal çarpanları: \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

EBOB(24, 30): Ortak asal çarpanların en küçük üslerinin çarpımı.

• Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
• En küçük üsler: \( 2^1 \) ve \( 3^1 \)
• EBOB(24, 30) = \( 2 \times 3 = 6 \)

EKOK(24, 30): Tüm asal çarpanların en büyük üslerinin çarpımı.

• Tüm asal çarpanlar: 2, 3 ve 5
• En büyük üsler: \( 2^3 \), \( 3^1 \) ve \( 5^1 \)
• EKOK(24, 30) = \( 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)

Şimdi formülü kontrol edelim:

• a x b = \( 24 \times 30 = 720 \)
• EBOB(24, 30) x EKOK(24, 30) = \( 6 \times 120 = 720 \)

Gördüğümüz gibi, iki sayının çarpımı, EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. 🎉

Bu soruda manavın elindeki elma sayısının 6, 8 ve 10'a tam bölünebilmesi gerektiğini anlıyoruz. Bu da demek oluyor ki elma sayısı bu üç sayının ortak katlarından biri olmalıdır. En az elma sayısını sorduğu için EKOK'unu bulmalıyız. 💡

Önce 6, 8 ve 10 sayılarının asal çarpanlarını bulalım:

• 6 = \( 2 \times 3 \)
• 8 = \( 2^3 \)
• 10 = \( 2 \times 5 \)

Şimdi bu sayıların EKOK'unu hesaplayalım:

• Tüm asal çarpanlar: 2, 3, 5
• En büyük üsler: \( 2^3 \), \( 3^1 \), \( 5^1 \)
• EKOK(6, 8, 10) = \( 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)

Manavın elindeki elma sayısı en az 120'dir. ✅

Bu soruda, geziye katılan öğrenci sayısının hem 40'a hem de 30'a tam bölünebilmesi gerektiğini anlıyoruz. Yani öğrenci sayısı bu iki sayının ortak katı olmalıdır. En az öğrenci sayısını sorduğu için EKOK(40, 30)'u bulmalıyız. 🚍

Asal çarpanlara ayıralım:

• 40 = \( 2^3 \times 5 \)
• 30 = \( 2 \times 3 \times 5 \)

EKOK'u bulalım:

• Tüm asal çarpanlar: 2, 3, 5
• En büyük üsler: \( 2^3 \), \( 3^1 \), \( 5^1 \)
• EKOK(40, 30) = \( 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \)

Bu geziye katılan öğrenci sayısı en az 120'dir. 🥳

Bu soruyu çözmek için öncelikle 150 sayısından büyük en küçük iki basamaklı doğal sayıyı bulmalıyız. Bu sayı 100'dür. (Unutmayalım, iki basamaklı en büyük sayı 99'dur, dolayısıyla 150'den büyük en küçük iki basamaklı sayı olmaz. Soruda bir hata var gibi görünüyor. Eğer soru "150'den küçük en büyük iki basamaklı doğal sayının..." şeklinde olsaydı cevap farklı olurdu. Soruyu "150 sayısından büyük en küçük üç basamaklı doğal sayının..." şeklinde düzeltelim, bu durumda cevap 100 olurdu. Ya da "150'ye en yakın iki basamaklı doğal sayının..." şeklinde olsaydı, 99 olurdu. Bu örnekte, soruyu "150 sayısından büyük en küçük üç basamaklı doğal sayının..." olarak kabul edip devam edelim. Bu sayı 100'dür.)

Şimdi 100 sayısının EBOB ve EKOK'unu bulmamız gerekiyor. Ancak EBOB ve EKOK iki veya daha fazla sayı için tanımlıdır. Bu soruda bir eksiklik var. Soruyu şu şekilde revize edelim: "150 sayısından büyük en küçük üç basamaklı doğal sayı ile kendisinden küçük en büyük iki basamaklı doğal sayının EBOB'u ile EKOK'unun toplamı kaçtır?"

Bu revize edilmiş soruya göre:

• 150'den büyük en küçük üç basamaklı doğal sayı: 100
• 150'den küçük en büyük iki basamaklı doğal sayı: 99

Şimdi 100 ve 99 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulalım:

• 100 = \( 2^2 \times 5^2 \)
• 99 = \( 3^2 \times 11 \)

EBOB(100, 99): Ortak asal çarpanları olmadığı için EBOB'ları 1'dir. (100 ve 99 aralarında asaldır.)

EBOB ile EKOK'unun toplamı: \( 1 + 9900 = 9901 \). 💯

Bu soruda, çiftçinin dikeceği fidan sayısının hem 12'ye hem de 18'e tam bölünebilmesi gerektiğini anlıyoruz. Bu da fidan sayısının bu iki sayının ortak katı olması gerektiği anlamına gelir. En az fidan sayısını sorduğu için EKOK(12, 18)'i bulmalıyız. 🌳

12 ve 18'in asal çarpanlarını bulalım:

• 12 = \( 2^2 \times 3 \)
• 18 = \( 2 \times 3^2 \)

EKOK'u hesaplayalım:

• Tüm asal çarpanlar: 2 ve 3
• En büyük üsler: \( 2^2 \) ve \( 3^2 \)
• EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

Çiftçinin dikebileceği toplam fidan sayısı en az 36'dır. 👍

Bu tür sorularda EBOB(a, b) x EKOK(a, b) = a x b formülünü kullanırız. 📌

Verilenler:

• EBOB = 7
• EKOK = 84
• Bir sayı (a) = 21
• Diğer sayı (b) = ?

Formülde yerine koyalım:

• \( 7 \times 84 = 21 \times b \)

Şimdi denklemi b için çözelim:

• \( 588 = 21 \times b \)
• \( b = \frac{588}{21} \)
• \( b = 28 \)

Diğer sayı 28'dir. ✨

Bu soruda, öğrenci sayısının belirli bir kalana sahip olduğunu görüyoruz. Bu tür soruları çözmek için EKOK bilgisini kullanırız.

Öğrenci sayısını 'x' ile gösterelim.

• x, 5'e bölündüğünde 2 kalanını veriyor. Bu demek oluyor ki, \( x - 2 \) sayısı 5'e tam bölünüyor.
• x, 7'ye bölündüğünde 4 kalanını veriyor. Bu demek oluyor ki, \( x - 4 \) sayısı 7'ye tam bölünüyor.

Bu kalıpları biraz değiştirerek ortak bir sayıya ulaşmaya çalışalım:

• Eğer öğrenci sayısına 3 eklersek:
• \( x + 3 \): 5'e bölündüğünde \( 2 + 3 = 5 \) yani 0 kalanını verir. (5'e tam bölünür)
• \( x + 3 \): 7'ye bölündüğünde \( 4 + 3 = 7 \) yani 0 kalanını verir. (7'ye tam bölünür)

Yani \( x + 3 \) sayısı hem 5'in hem de 7'nin ortak katı olmalıdır. En az öğrenci sayısını sorduğu için EKOK(5, 7)'yi bulmalıyız.

• 5 ve 7 aralarında asal sayılardır.
• EKOK(5, 7) = \( 5 \times 7 = 35 \)

Bu durumda \( x + 3 = 35 \) olmalıdır.

• \( x = 35 - 3 \)
• \( x = 32 \)

Bu gruptaki öğrenci sayısı en az 32'dir. 🥳