🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Doğrusal İlişki Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Doğrusal İlişki Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki tabloda bir aracın zamana (saat) bağlı olarak aldığı yol (km) verilmiştir.
Bu tablodaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklemi yazınız. 💡
| Zaman (saat) (x) | Yol (km) (y) |
|---|---|
| 1 | 80 |
| 2 | 160 |
| 3 | 240 |
| 4 | 320 |
Bu tablodaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklemi yazınız. 💡
Çözüm:
Bu tür problemlerde, bir değişkenin diğerine göre nasıl değiştiğini bulmamız gerekir.
- 👉 Tabloya baktığımızda, zaman (x) her 1 saat arttığında, yol (y) 80 km artmaktadır.
- Bu durum, yolun zamana bağlı olarak sabit bir hızla arttığını gösterir. Yani bu bir doğrusal ilişkidir.
- ✅ Yol (y) ile zaman (x) arasındaki ilişkiyi \( y = ax \) şeklinde arayabiliriz, çünkü başlangıçta (0. saatte) alınan yol 0 km'dir.
- Her 1 saatte 80 km yol alındığına göre, \( a \) katsayısı 80 olacaktır.
- Buna göre, doğrusal ilişki denklemi: \[ y = 80x \] olur.
- Kontrol edelim:
\( x=1 \) için \( y = 80 \times 1 = 80 \)
\( x=2 \) için \( y = 80 \times 2 = 160 \)
Değerler tabloyla uyumludur. 📌
Örnek 2:
Denklemi \( y = 3x - 2 \) olan doğrusal ilişkinin grafiğini çizmek için en az 3 farklı noktayı bulunuz. 📈
Çözüm:
Bir doğrusal ilişkinin grafiğini çizmek için genellikle x'e farklı değerler vererek y değerlerini buluruz. En az iki nokta yeterli olsa da, hatayı önlemek için genellikle üç nokta bulmak daha iyidir.
- 📌 1. Nokta: x = 0 için y değerini bulalım.
- \( y = 3 \times 0 - 2 \)
- \( y = 0 - 2 \)
- \( y = -2 \)
- Böylece ilk noktamız \( (0, -2) \) olur.
- 📌 2. Nokta: x = 1 için y değerini bulalım.
- \( y = 3 \times 1 - 2 \)
- \( y = 3 - 2 \)
- \( y = 1 \)
- İkinci noktamız \( (1, 1) \) olur.
- 📌 3. Nokta: x = 2 için y değerini bulalım.
- \( y = 3 \times 2 - 2 \)
- \( y = 6 - 2 \)
- \( y = 4 \)
- Üçüncü noktamız \( (2, 4) \) olur.
- ✅ Bu noktalar \( (0, -2) \), \( (1, 1) \) ve \( (2, 4) \) koordinat sisteminde işaretlenip birleştirilirse, \( y = 3x - 2 \) doğrusunun grafiği elde edilir.
Örnek 3:
Bir doğrusal ilişki, \( (1, 5) \) ve \( (3, 11) \) noktalarından geçmektedir. Bu doğrusal ilişkinin denklemini bulunuz. ✍️
Çözüm:
Doğrusal ilişkilerin genel denklemi \( y = ax + b \) şeklindedir. Verilen noktaları bu denklemde yerine koyarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulabiliriz.
- 👉 1. Adım: İlk noktayı denklemde yerine koyalım.
- Nokta \( (1, 5) \) olduğundan, \( x = 1 \) ve \( y = 5 \) değerlerini denklemde yerine yazarız:
- \( 5 = a \times 1 + b \)
- \( 5 = a + b \) (1. Denklem)
- 👉 2. Adım: İkinci noktayı denklemde yerine koyalım.
- Nokta \( (3, 11) \) olduğundan, \( x = 3 \) ve \( y = 11 \) değerlerini denklemde yerine yazarız:
- \( 11 = a \times 3 + b \)
- \( 11 = 3a + b \) (2. Denklem)
- 👉 3. Adım: İki denklemi bir araya getirerek \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
- Denklemleri alt alta yazıp birbirinden çıkaralım:
- \( 3a + b = 11 \)
- \( - (a + b = 5) \)
- \( (3a - a) + (b - b) = (11 - 5) \)
- \( 2a = 6 \)
- \( a = frac{6}{2} \)
- \( a = 3 \)
- 👉 4. Adım: Bulduğumuz \( a \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.
- 1. Denklemde \( a = 3 \) değerini yerine koyalım:
- \( 5 = 3 + b \)
- \( b = 5 - 3 \)
- \( b = 2 \)
- ✅ Sonuç olarak, \( a = 3 \) ve \( b = 2 \) değerlerini \( y = ax + b \) denkleminde yerine koyarsak, doğrusal ilişki denklemi: \[ y = 3x + 2 \] olur.
Örnek 4:
Ayşe kumbarasına başlangıçta 20 TL atmıştır. Daha sonra her hafta kumbarasına düzenli olarak 5 TL eklemektedir. Ayşe'nin kumbarasındaki para miktarının zamana (hafta) bağlı değişimini gösteren doğrusal ilişki denklemini yazınız ve 10 hafta sonra kumbarasında kaç TL olacağını bulunuz. 💰
Çözüm:
Bu bir günlük hayattan doğrusal ilişki örneğidir.
- 👉 Değişkenleri tanımlayalım:
- Geçen hafta sayısını \( x \) ile gösterelim.
- Kumbaradaki toplam para miktarını \( y \) ile gösterelim.
- 👉 Başlangıç durumu:
- Ayşe başlangıçta kumbarasına 20 TL atmıştır. Bu, \( x=0 \) (henüz hafta geçmemişken) iken \( y=20 \) olduğu anlamına gelir. Bu değer, doğrusal denklemdeki sabit terim \( b \) olacaktır.
- 👉 Değişim oranı:
- Her hafta kumbarasına 5 TL eklemektedir. Bu, para miktarının her hafta 5 TL arttığı anlamına gelir. Bu değer, doğrusal denklemdeki \( x \)'in katsayısı \( a \) olacaktır.
- 👉 Doğrusal ilişki denklemini yazalım:
- Genel denklem \( y = ax + b \) olduğuna göre:
- \( a = 5 \) (artış oranı)
- \( b = 20 \) (başlangıç miktarı)
- Denklem: \[ y = 5x + 20 \] olur.
- 👉 10 hafta sonraki para miktarını bulalım:
- \( x = 10 \) değerini denklemde yerine koyarız:
- \( y = 5 \times 10 + 20 \)
- \( y = 50 + 20 \)
- \( y = 70 \)
- ✅ Yani, 10 hafta sonra Ayşe'nin kumbarasında 70 TL olacaktır.
Örnek 5:
Bir fidan dikildiğinde boyu 30 cm'dir. Bu fidan her ay düzenli olarak 5 cm uzamaktadır. Başka bir fidan ise dikildiğinde boyu 20 cm'dir ve her ay düzenli olarak 7 cm uzamaktadır. Kaç ay sonra iki fidanın boyları eşit olur? 🌳
Çözüm:
Bu problem, iki farklı doğrusal ilişkiyi karşılaştırmamızı gerektiren bir yeni nesil sorusudur.
- 👉 1. Fidan için doğrusal ilişki denklemini yazalım:
- Başlangıç boyu (sabit terim): 30 cm
- Aylık uzama miktarı (eğim): 5 cm
- Ay sayısını \( x \) ile, fidanın boyunu \( y_1 \) ile gösterirsek:
- \( y_1 = 5x + 30 \)
- 👉 2. Fidan için doğrusal ilişki denklemini yazalım:
- Başlangıç boyu (sabit terim): 20 cm
- Aylık uzama miktarı (eğim): 7 cm
- Ay sayısını \( x \) ile, fidanın boyunu \( y_2 \) ile gösterirsek:
- \( y_2 = 7x + 20 \)
- 👉 İki fidanın boylarının eşit olduğu anı bulalım:
- Boyların eşit olması için \( y_1 = y_2 \) olmalıdır.
- \( 5x + 30 = 7x + 20 \)
- Şimdi bu denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- \( 30 - 20 = 7x - 5x \)
- \( 10 = 2x \)
- \( x = frac{10}{2} \)
- \( x = 5 \)
- ✅ Buna göre, 5 ay sonra iki fidanın boyları eşit olur.
- Kontrol edelim:
- 1. fidanın boyu: \( 5 \times 5 + 30 = 25 + 30 = 55 \) cm
- 2. fidanın boyu: \( 7 \times 5 + 20 = 35 + 20 = 55 \) cm
- Boylar eşit çıktı.
Örnek 6:
Bir depoda başlangıçta 150 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her saat 10 litre su kullanılmaktadır. Depodaki su miktarının zamana (saat) bağlı değişimini gösteren doğrusal ilişki denklemini yazınız. Depodaki suyun bitmesi kaç saat sürer? 💧
Çözüm:
Bu, azalan bir doğrusal ilişki örneğidir.
- 👉 Değişkenleri tanımlayalım:
- Geçen zamanı (saat) \( x \) ile gösterelim.
- Depodaki kalan su miktarını (litre) \( y \) ile gösterelim.
- 👉 Başlangıç durumu:
- Başlangıçta depoda 150 litre su vardır. Bu, \( x=0 \) iken \( y=150 \) olduğu anlamına gelir. Bu değer, doğrusal denklemdeki sabit terim \( b \) olacaktır.
- 👉 Değişim oranı:
- Her saat 10 litre su kullanılmaktadır. Bu, su miktarının her saat 10 litre azaldığı anlamına gelir. Bu değer, doğrusal denklemdeki \( x \)'in katsayısı \( a \) olacaktır, ancak azaldığı için negatif olmalıdır.
- Yani \( a = -10 \).
- 👉 Doğrusal ilişki denklemini yazalım:
- Genel denklem \( y = ax + b \) olduğuna göre:
- \( a = -10 \) (azalma oranı)
- \( b = 150 \) (başlangıç miktarı)
- Denklem: \[ y = -10x + 150 \] olur.
- 👉 Depodaki suyun bitmesi kaç saat sürer?
- Suyun bitmesi demek, depodaki su miktarının \( y = 0 \) olması demektir.
- \( 0 = -10x + 150 \)
- Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- \( 10x = 150 \)
- \( x = frac{150}{10} \)
- \( x = 15 \)
- ✅ Depodaki suyun bitmesi 15 saat sürer.
Örnek 7:
Aşağıdaki grafikte bir bisikletçinin zamana bağlı olarak evden uzaklığı gösterilmiştir.
(Grafik betimlemesi: Yatay eksen 'Zaman (saat)', dikey eksen 'Uzaklık (km)'. Grafik, \( (0, 0) \) noktasından başlayıp \( (2, 40) \) noktasına kadar düz bir çizgi şeklinde yükselmektedir. Daha sonra \( (2, 40) \) noktasından \( (4, 40) \) noktasına kadar yatay bir çizgi şeklinde devam etmektedir. Son olarak \( (4, 40) \) noktasından \( (5, 0) \) noktasına kadar düz bir çizgi şeklinde alçalmaktadır.)
Buna göre, bisikletçi yolculuğunun ilk 2 saatinde kaç km hızla gitmiştir? Ayrıca, bisikletçi moladan sonra eve dönüşte kaç km hızla hareket etmiştir? 🚲
(Grafik betimlemesi: Yatay eksen 'Zaman (saat)', dikey eksen 'Uzaklık (km)'. Grafik, \( (0, 0) \) noktasından başlayıp \( (2, 40) \) noktasına kadar düz bir çizgi şeklinde yükselmektedir. Daha sonra \( (2, 40) \) noktasından \( (4, 40) \) noktasına kadar yatay bir çizgi şeklinde devam etmektedir. Son olarak \( (4, 40) \) noktasından \( (5, 0) \) noktasına kadar düz bir çizgi şeklinde alçalmaktadır.)
Buna göre, bisikletçi yolculuğunun ilk 2 saatinde kaç km hızla gitmiştir? Ayrıca, bisikletçi moladan sonra eve dönüşte kaç km hızla hareket etmiştir? 🚲
Çözüm:
Bu bir grafik yorumlama ve doğrusal ilişki becerisi gerektiren yeni nesil sorusudur. Hız, birim zamanda alınan yol miktarıdır ve doğrusal grafikte eğimi temsil eder.
- 👉 Bisikletçinin ilk 2 saatteki hızını bulalım:
- İlk 2 saatte grafiğe göre bisikletçi \( (0, 0) \) noktasından \( (2, 40) \) noktasına ulaşmıştır.
- Alınan yol: \( 40 - 0 = 40 \) km
- Geçen zaman: \( 2 - 0 = 2 \) saat
- Hız = \( frac{\text{Alınan Yol}}{\text{Geçen Zaman}} = frac{40}{2} = 20 \) km/saat.
- ✅ Bisikletçi ilk 2 saatte 20 km/saat hızla gitmiştir.
- 👉 Bisikletçinin moladan sonra eve dönüşteki hızını bulalım:
- Grafiğe göre, bisikletçi 4. saatten sonra eve dönmeye başlamış ve 5. saatte eve varmıştır. Bu kısım \( (4, 40) \) noktasından \( (5, 0) \) noktasına kadardır.
- Alınan yol (evden uzaklık 40 km'den 0 km'ye düşmüştür): \( 40 - 0 = 40 \) km
- Geçen zaman: \( 5 - 4 = 1 \) saat
- Hız = \( frac{\text{Alınan Yol}}{\text{Geçen Zaman}} = frac{40}{1} = 40 \) km/saat.
- ✅ Bisikletçi moladan sonra eve dönüşte 40 km/saat hızla hareket etmiştir. (Bu kısımda eğim negatif olsa da, hız birim zamanda kat edilen mesafenin mutlak değeridir.)
Örnek 8:
Bir taksinin açılış ücreti 15 TL'dir. Her kilometre için ise 8 TL ücret alınmaktadır.
a) Taksi ücreti ile gidilen yol arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklemi yazınız.
b) 25 km yol giden bir müşteri kaç TL öder?
c) 175 TL ödeyen bir müşteri kaç km yol gitmiştir? 🚕
a) Taksi ücreti ile gidilen yol arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklemi yazınız.
b) 25 km yol giden bir müşteri kaç TL öder?
c) 175 TL ödeyen bir müşteri kaç km yol gitmiştir? 🚕
Çözüm:
Bu problem, sabit bir başlangıç ücreti ve kilometre başına değişen bir ücreti içeren bir doğrusal ilişki örneğidir.
- 👉 a) Denklemi yazalım:
- Gidilen yolu \( x \) (km), ödenecek toplam ücreti \( y \) (TL) ile gösterelim.
- Açılış ücreti sabit bir değerdir, yani \( x=0 \) iken ödenen ücrettir. Bu, denklemdeki sabit terim \( b \) olacaktır: \( b = 15 \).
- Her kilometre için alınan ücret, yol arttıkça artan kısımdır. Bu, denklemdeki \( x \)'in katsayısı \( a \) olacaktır: \( a = 8 \).
- Doğrusal ilişki denklemi: \[ y = 8x + 15 \]
- 👉 b) 25 km yol giden bir müşteri kaç TL öder?
- \( x = 25 \) değerini denklemde yerine koyarız:
- \( y = 8 \times 25 + 15 \)
- \( y = 200 + 15 \)
- \( y = 215 \)
- ✅ 25 km yol giden bir müşteri 215 TL öder.
- 👉 c) 175 TL ödeyen bir müşteri kaç km yol gitmiştir?
- \( y = 175 \) değerini denklemde yerine koyarız ve \( x \)'i buluruz:
- \( 175 = 8x + 15 \)
- \( 175 - 15 = 8x \)
- \( 160 = 8x \)
- \( x = frac{160}{8} \)
- \( x = 20 \)
- ✅ 175 TL ödeyen bir müşteri 20 km yol gitmiştir.
Örnek 9:
Bir mumun boyu 20 cm'dir. Bu mum yakıldıktan sonra her saat 2 cm kısalmaktadır.
a) Mumun boyu ile geçen zaman arasındaki doğrusal ilişki denklemini yazınız.
b) Mum yakıldıktan 5 saat sonra boyu kaç cm kalır?
c) Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer? 🕯️
a) Mumun boyu ile geçen zaman arasındaki doğrusal ilişki denklemini yazınız.
b) Mum yakıldıktan 5 saat sonra boyu kaç cm kalır?
c) Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer? 🕯️
Çözüm:
Bu, azalan bir doğrusal ilişkiyi gösteren bir günlük hayat problemidir.
- 👉 a) Denklemi yazalım:
- Geçen zamanı \( x \) (saat), mumun kalan boyunu \( y \) (cm) ile gösterelim.
- Başlangıç boyu (sabit terim): 20 cm. Yani \( b = 20 \).
- Her saat 2 cm kısalması, mumun boyunun azaldığını gösterir. Bu durumda \( x \)'in katsayısı negatif olacaktır: \( a = -2 \).
- Doğrusal ilişki denklemi: \[ y = -2x + 20 \]
- 👉 b) Mum yakıldıktan 5 saat sonra boyu kaç cm kalır?
- \( x = 5 \) değerini denklemde yerine koyarız:
- \( y = -2 \times 5 + 20 \)
- \( y = -10 + 20 \)
- \( y = 10 \)
- ✅ Mum yakıldıktan 5 saat sonra boyu 10 cm kalır.
- 👉 c) Mumun tamamen bitmesi kaç saat sürer?
- Mumun tamamen bitmesi demek, boyunun \( y = 0 \) olması demektir.
- \( 0 = -2x + 20 \)
- Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- \( 2x = 20 \)
- \( x = frac{20}{2} \)
- \( x = 10 \)
- ✅ Mumun tamamen bitmesi 10 saat sürer.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-dogrusal-iliski/sorular