🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Doğrusal Denklemler Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Doğrusal Denklemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen denklemin çözümünü bulunuz. 🤔
\[ 4x - 7 = 13 \]
Bu denklemi sağlayan \( x \) değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu tür denklemleri çözerken amacımız, bilinmeyeni (burada \( x \)) yalnız bırakmaktır. İşte adım adım çözüm:
- 👉 Adım 1: Sabit terimi karşıya atın.
Denklemin sol tarafındaki \( -7 \) terimini eşitliğin diğer tarafına (sağ tarafına) işaretini değiştirerek atarız. \[ 4x = 13 + 7 \] - 👉 Adım 2: Toplama işlemini yapın.
Sağ taraftaki sayıları toplarız. \[ 4x = 20 \] - 👉 Adım 3: Her iki tarafı \( x \)'in katsayısına bölün.
\( x \)'in önündeki sayı olan \( 4 \)'e her iki tarafı böleriz. \[ \frac{4x}{4} = \frac{20}{4} \] - ✅ Adım 4: Sonucu bulun.
Bölme işlemini yaparak \( x \)'in değerini elde ederiz. \[ x = 5 \] Buna göre, denklemi sağlayan \( x \) değeri 5'tir.
Örnek 2:
Aşağıdaki denklemi çözerek \( x \) değerini bulunuz. 💡
\[ 3(x+2) - 5 = 16 \]
Çözüm:
Parantez içeren denklemlerde öncelikle dağılma özelliğini kullanırız. İşte çözüm adımları:
- 👉 Adım 1: Dağılma özelliğini uygulayın.
\( 3 \) sayısını parantez içindeki her terimle çarparız. \[ 3 \cdot x + 3 \cdot 2 - 5 = 16 \] \[ 3x + 6 - 5 = 16 \] - 👉 Adım 2: Benzer terimleri birleştirin.
Sol taraftaki sabit sayıları toplar veya çıkarırız. \[ 3x + 1 = 16 \] - 👉 Adım 3: Sabit terimi karşıya atın.
\( +1 \) terimini eşitliğin sağ tarafına \( -1 \) olarak atarız. \[ 3x = 16 - 1 \] \[ 3x = 15 \] - 👉 Adım 4: Her iki tarafı \( x \)'in katsayısına bölün.
\( x \)'in önündeki \( 3 \)'e her iki tarafı böleriz. \[ \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \] - ✅ Adım 5: Sonucu bulun.
Bölme işlemini yaparak \( x \)'in değerini elde ederiz. \[ x = 5 \] Denklemi sağlayan \( x \) değeri 5'tir.
Örnek 3:
Aşağıda verilen kesirli denklemi çözerek \( x \) değerini bulunuz. 🧐
\[ \frac{x}{3} + 2 = 5 \]
Çözüm:
Kesirli denklemlerde öncelikle kesirli olmayan terimleri karşıya atarak veya tüm terimleri ortak paydaya getirerek çözüm yaparız.
- 👉 Adım 1: Sabit terimi karşıya atın.
Denklemin sol tarafındaki \( +2 \) terimini eşitliğin diğer tarafına \( -2 \) olarak atarız. \[ \frac{x}{3} = 5 - 2 \] - 👉 Adım 2: Çıkarma işlemini yapın.
Sağ taraftaki işlemi tamamlarız. \[ \frac{x}{3} = 3 \] - 👉 Adım 3: Her iki tarafı payda ile çarpın.
\( x \)'i yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını \( 3 \) ile çarparız. \[ 3 \cdot \frac{x}{3} = 3 \cdot 3 \] - ✅ Adım 4: Sonucu bulun.
Çarpma işlemlerini yaparak \( x \)'in değerini elde ederiz. \[ x = 9 \] Bu denklemi sağlayan \( x \) değeri 9'dur.
Örnek 4:
\( y = 3x - 2 \) doğrusal denklemini sağlayan bir \( (x, y) \) ikilisi bulunuz. Ayrıca, \( (2, 4) \) noktasının bu denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz. 📌
Çözüm:
Doğrusal denklemi sağlayan ikililer bulmak için \( x \) veya \( y \) yerine bir değer verip diğerini hesaplarız.
- 👉 Denklemi sağlayan bir \( (x, y) \) ikilisi bulma:
Rastgele bir \( x \) değeri seçelim, örneğin \( x = 1 \). \( y = 3(1) - 2 \)
\( y = 3 - 2 \)
\( y = 1 \)
Yani, \( (1, 1) \) noktası bu denklemi sağlar. Başka bir örnek olarak, \( x = 0 \) seçersek:
\( y = 3(0) - 2 \)
\( y = -2 \)
Yani, \( (0, -2) \) noktası da denklemi sağlar. - 👉 \( (2, 4) \) noktasının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol etme:
Bir noktanın denklemi sağlayıp sağlamadığını anlamak için, noktanın \( x \) ve \( y \) koordinatlarını denklemde yerine koyarız. Eğer eşitlik sağlanırsa, nokta denklemi sağlıyor demektir.
Verilen nokta \( (2, 4) \), yani \( x = 2 \) ve \( y = 4 \). Denklemi kontrol edelim: \( y = 3x - 2 \)
\( 4 = 3(2) - 2 \)
\( 4 = 6 - 2 \)
\( 4 = 4 \)
✅ Gördüğümüz gibi eşitlik sağlandı. Bu durumda, \( (2, 4) \) noktası \( y = 3x - 2 \) doğrusal denklemini sağlar.
Örnek 5:
\( 2x + y = 6 \) doğrusal denkleminin grafiğinin koordinat eksenlerini kestiği noktaları bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bir doğrusal denklemin grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla \( x=0 \) ve \( y=0 \) değerlerini denklemde yerine koyarız.
- 👉 \( y \) eksenini kestiği nokta ( \( x=0 \) için):
Denklemde \( x \) yerine \( 0 \) yazalım: \( 2(0) + y = 6 \)
\( 0 + y = 6 \)
\( y = 6 \)
Yani, doğru \( y \) eksenini \( (0, 6) \) noktasında keser. - 👉 \( x \) eksenini kestiği nokta ( \( y=0 \) için):
Denklemde \( y \) yerine \( 0 \) yazalım: \( 2x + 0 = 6 \)
\( 2x = 6 \)
Her iki tarafı \( 2 \)'ye bölelim: \( x = \frac{6}{2} \)
\( x = 3 \)
✅ Yani, doğru \( x \) eksenini \( (3, 0) \) noktasında keser.
Örnek 6:
Aşağıda verilen doğrusal denklemlerin eğimlerini bulunuz. ⛰️
- \( y = -2x + 5 \)
- \( 3x - 4y = 12 \)
Çözüm:
Bir doğrusal denklemin eğimi, denklemin \( y = mx + n \) şeklinde yazıldığında \( x \)'in katsayısı olan \( m \) değeridir.
- 👉 1. Denklem: \( y = -2x + 5 \)
Bu denklem zaten \( y = mx + n \) formundadır. Burada \( m \) değeri \( -2 \)'dir.
✅ Bu doğrunun eğimi \( -2 \)'dir. - 👉 2. Denklem: \( 3x - 4y = 12 \)
Bu denklemi \( y = mx + n \) formuna getirmemiz gerekiyor. Bunun için \( y \)'yi yalnız bırakırız.
- Önce \( 3x \) terimini karşıya atalım: \( -4y = -3x + 12 \)
- Şimdi her iki tarafı \( y \)'nin katsayısı olan \( -4 \)'e bölelim: \( \frac{-4y}{-4} = \frac{-3x}{-4} + \frac{12}{-4} \)
- Denklemi basitleştirelim: \( y = \frac{3}{4}x - 3 \)
Örnek 7:
Bir GSM operatörü iki farklı tarife sunmaktadır: 📱
Tarife A: Aylık sabit ücret 20 TL, her konuşulan dakika için 0.50 TL.
Tarife B: Aylık sabit ücret 10 TL, her konuşulan dakika için 0.75 TL.
Buna göre, aylık kaç dakika konuşulduğunda her iki tarifenin ücreti eşit olur? Bu durumda ödenecek ücret ne kadardır?
Tarife A: Aylık sabit ücret 20 TL, her konuşulan dakika için 0.50 TL.
Tarife B: Aylık sabit ücret 10 TL, her konuşulan dakika için 0.75 TL.
Buna göre, aylık kaç dakika konuşulduğunda her iki tarifenin ücreti eşit olur? Bu durumda ödenecek ücret ne kadardır?
Çözüm:
Bu problemi çözmek için her iki tarife için birer doğrusal denklem kurup, ücretlerin eşit olduğu durumu buluruz. Konuşulan dakika sayısını \( x \) ile, ödenecek toplam ücreti \( y \) ile gösterelim.
- 👉 Tarife A için denklem:
Sabit ücret \( 20 \) TL ve dakika başına \( 0.50 \) TL. \[ y_A = 0.50x + 20 \] - 👉 Tarife B için denklem:
Sabit ücret \( 10 \) TL ve dakika başına \( 0.75 \) TL. \[ y_B = 0.75x + 10 \] - 👉 Ücretlerin eşit olduğu durumu bulma:
\( y_A = y_B \) olduğunda her iki tarifenin ücreti eşit olur. \[ 0.50x + 20 = 0.75x + 10 \] - 👉 Denklemi çözme:
Küçük \( x \)'li terimi büyük \( x \)'li terimin yanına, sabit terimleri de diğer tarafa atalım. \( 20 - 10 = 0.75x - 0.50x \)
\( 10 = 0.25x \)
\( x \)'i bulmak için her iki tarafı \( 0.25 \)'e bölelim: \( x = \frac{10}{0.25} \)
\( x = \frac{10}{\frac{1}{4}} \)
\( x = 10 \times 4 \)
\( x = 40 \)
✅ Yani, aylık 40 dakika konuşulduğunda her iki tarifenin ücreti eşit olur. - 👉 Ödenecek ücreti bulma:
\( x = 40 \) değerini herhangi bir denkleme koyarak ödenecek ücreti bulabiliriz. Tarife A'yı kullanalım: \( y_A = 0.50(40) + 20 \)
\( y_A = 20 + 20 \)
\( y_A = 40 \)
Tarife B'yi kullanarak da kontrol edebiliriz: \( y_B = 0.75(40) + 10 \)
\( y_B = 30 + 10 \)
\( y_B = 40 \)
✅ Bu durumda ödenecek ücret 40 TL'dir.
Örnek 8:
Bir binanın girişine engelli rampası yapılacaktır. Rampanın yataydaki uzunluğu 12 metre, dikeydeki yüksekliği ise 1.5 metre olacaktır. ♿
Buna göre, bu rampanın eğimi yüzde kaç olur? (Eğim = \( \frac{\text{dikey uzunluk}}{\text{yatay uzunluk}} \))
Buna göre, bu rampanın eğimi yüzde kaç olur? (Eğim = \( \frac{\text{dikey uzunluk}}{\text{yatay uzunluk}} \))
Çözüm:
Eğim, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır. Bu oranı bulduktan sonra yüzde olarak ifade etmemiz gerekiyor.
- 👉 Adım 1: Dikey ve yatay uzunlukları belirleyin.
Dikey uzunluk (yükseklik) = \( 1.5 \) metre
Yatay uzunluk = \( 12 \) metre - 👉 Adım 2: Eğim oranını hesaplayın.
Eğim formülünü kullanalım: \[ \text{Eğim} = \frac{\text{Dikey Uzunluk}}{\text{Yatay Uzunluk}} \] \[ \text{Eğim} = \frac{1.5}{12} \] Bu kesri sadeleştirelim veya ondalık sayıya çevirelim. Her iki sayıyı da \( 1.5 \)'e bölebiliriz: \[ \text{Eğim} = \frac{1}{8} \] Veya ondalık olarak: \[ \text{Eğim} = 0.125 \] - 👉 Adım 3: Eğimi yüzde olarak ifade edin.
Bir oranı yüzdeye çevirmek için \( 100 \) ile çarparız. \[ \text{Yüzde Eğim} = \text{Eğim} \times 100% \] \[ \text{Yüzde Eğim} = 0.125 \times 100% \] \[ \text{Yüzde Eğim} = 12.5% \] ✅ Buna göre, rampanın eğimi %12.5'tir. Bu, her 100 birim yatayda ilerlendiğinde 12.5 birim dikeyde yükseldiği anlamına gelir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-dogrusal-denklemler/sorular