🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Doğru Grafikleri Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Doğru Grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Aşağıda koordinatları verilen noktaları koordinat sistemi üzerinde gösterin ve bu noktalardan geçen doğru parçasını çizin.
A(\(2, 3\)), B(\(-1, 2\))
A(\(2, 3\)), B(\(-1, 2\))
Çözüm:
👉 Koordinat sisteminde noktaları işaretlerken, ilk sayı (x değeri) yatay ekseni, ikinci sayı (y değeri) dikey ekseni temsil eder.
- ✅ A(\(2, 3\)) noktası için: x ekseninde \(2\) birim sağa, y ekseninde \(3\) birim yukarı gidilir ve nokta işaretlenir.
- ✅ B(\(-1, 2\)) noktası için: x ekseninde \(1\) birim sola, y ekseninde \(2\) birim yukarı gidilir ve nokta işaretlenir.
- ✅ Bu iki nokta işaretlendikten sonra, cetvel yardımıyla A ve B noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizilir.
Örnek 2:
💡 Denklemi \(y = 2x - 1\) olan doğrunun grafiğini çizmek için en az üç nokta belirleyin ve bu noktaları kullanarak doğruyu gösterin.
Çözüm:
👉 Bir doğrunun grafiğini çizmek için genellikle x ve y eksenlerini kestiği noktalar veya rastgele seçilen noktalar kullanılır. En az iki nokta yeterli olsa da, üçüncü bir nokta çizimin doğruluğunu kontrol etmemizi sağlar.
- 📌 x = \(0\) için y değerini bulalım:
\[ y = 2(0) - 1 \] \[ y = -1 \] Bu durumda noktamız (\(0, -1\)) olur. Bu nokta y eksenini kestiği noktadır. - 📌 y = \(0\) için x değerini bulalım:
\[ 0 = 2x - 1 \] \[ 1 = 2x \] \[ x = \frac{1}{2} \] Bu durumda noktamız \((\frac{1}{2}, 0)\) olur. Bu nokta x eksenini kestiği noktadır. - 📌 x = \(2\) için y değerini bulalım: (Rastgele bir nokta)
\[ y = 2(2) - 1 \] \[ y = 4 - 1 \] \[ y = 3 \] Bu durumda noktamız (\(2, 3\)) olur. - ✅ Bulduğumuz noktalar: (\(0, -1\)), \((\frac{1}{2}, 0)\) ve (\(2, 3\)). Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde, \(y = 2x - 1\) doğrusunun grafiğini elde ederiz.
Örnek 3:
📌 Koordinat sisteminde x eksenine paralel ve y eksenini \(y = 4\) noktasında kesen doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
👉 Koordinat sisteminde özel doğrular vardır. Bu doğruların denklemleri ve grafikleri belirli özelliklere sahiptir.
- 💡 Bir doğru x eksenine paralelse, o doğru üzerindeki tüm noktaların y koordinatları aynıdır.
- ✅ Soruda doğru y eksenini \(y = 4\) noktasında kestiği belirtilmiştir. Bu demektir ki, doğru üzerindeki tüm noktaların y koordinatı \(4\) olmalıdır.
- 📌 Dolayısıyla, bu doğrunun denklemi \(y = 4\) şeklinde yazılır.
- 👉 Benzer şekilde, y eksenine paralel bir doğru olsaydı, o zaman x koordinatları aynı olurdu ve denklemi \(x = k\) şeklinde olurdu.
Örnek 4:
💡 Aşağıda denklemleri verilen doğruların hangisinin orijinden geçtiğini bulunuz.
- \(y = 3x\)
- \(y = 2x + 5\)
- \(x = -4\)
- \(y = -x - 1\)
Çözüm:
👉 Bir doğru orijinden (\(0, 0\)) geçiyorsa, bu noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. Yani, denklemde \(x\) yerine \(0\) ve \(y\) yerine \(0\) yazdığımızda eşitlik doğru olmalıdır.
- 📌 1. Doğru: \(y = 3x\)
\(0 = 3(0) \implies 0 = 0\). Eşitlik doğru olduğu için bu doğru orijinden geçer. - 📌 2. Doğru: \(y = 2x + 5\)
\(0 = 2(0) + 5 \implies 0 = 5\). Eşitlik yanlış olduğu için bu doğru orijinden geçmez. - 📌 3. Doğru: \(x = -4\)
Bu denklemde y değeri bulunmadığı için \(x\) her zaman \(-4\) olmalıdır. \(0 = -4\) eşitliği yanlış olduğu için bu doğru orijinden geçmez. (Bu doğru y eksenine paraleldir.) - 📌 4. Doğru: \(y = -x - 1\)
\(0 = -(0) - 1 \implies 0 = -1\). Eşitlik yanlış olduğu için bu doğru orijinden geçmez. - ✅ Sonuç olarak, sadece \(y = 3x\) denklemi orijinden geçmektedir. Genel olarak, \(y = ax + b\) şeklindeki denklemlerde \(b = 0\) ise doğru orijinden geçer.
Örnek 5:
📌 Bir doğrunun eğimi \(\frac{2}{3}\)'tür ve bu doğru y eksenini \((0, -2)\) noktasında kesmektedir. Bu doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
👉 Doğrusal denklemlerin genel formu \(y = mx + n\) şeklindedir. Burada \(m\) eğimi, \(n\) ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatını (y-kesenini) temsil eder.
- 💡 Soruda bize doğrunun eğimi (\(m\)) \(\frac{2}{3}\) olarak verilmiştir.
- 💡 Ayrıca, doğrunun y eksenini \((0, -2)\) noktasında kestiği belirtilmiştir. Bu da \(n\) değerinin \(-2\) olduğu anlamına gelir.
- ✅ Bu değerleri \(y = mx + n\) genel denkleminde yerine koyarsak:
\[ y = \frac{2}{3}x + (-2) \] \[ y = \frac{2}{3}x - 2 \] - 📌 Bu, istenen doğrunun denklemidir.
Örnek 6:
📈 Bir bitkinin boyu dikildikten sonra her hafta \(3\) cm uzamaktadır. Bitki dikildiğinde boyu \(10\) cm idi. Bitkinin boyunun (y) haftaya (x) göre değişimini gösteren doğrusal denklemi yazınız ve ilk \(3\) haftadaki boyunu hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Bu bir doğrusal ilişki problemidir. Bitkinin boyu her hafta sabit bir miktar uzadığı için bu ilişki bir doğru grafiği ile gösterilebilir.
- 💡 Başlangıç değeri (sabit terim): Bitki dikildiğinde boyu \(10\) cm idi. Bu, \(x = 0\) (yani hiç hafta geçmediğinde) \(y = 10\) olduğu anlamına gelir. Doğrusal denklemlerde \(y = mx + n\) formundaki \(n\) değeri başlangıç değerini temsil eder. Yani \(n = 10\).
- 💡 Değişim oranı (eğim): Her hafta \(3\) cm uzadığı belirtilmiştir. Bu, her \(x\) birim artış için \(y\) değerinin \(3\) birim arttığı anlamına gelir. Bu da doğrunun eğimidir (\(m\)). Yani \(m = 3\).
- ✅ Bu bilgileri kullanarak doğrusal denklemi yazabiliriz:
\[ y = 3x + 10 \] - 📌 Şimdi ilk \(3\) haftadaki boyunu hesaplayalım:
- 1. Hafta (x = \(1\)):
\[ y = 3(1) + 10 = 3 + 10 = 13 \] Bitkinin boyu \(13\) cm olur. - 2. Hafta (x = \(2\)):
\[ y = 3(2) + 10 = 6 + 10 = 16 \] Bitkinin boyu \(16\) cm olur. - 3. Hafta (x = \(3\)):
\[ y = 3(3) + 10 = 9 + 10 = 19 \] Bitkinin boyu \(19\) cm olur.
- 1. Hafta (x = \(1\)):
Örnek 7:
📞 Bir telekomünikasyon şirketi, abonelerine aylık sabit ücret olarak \(20\) TL ve konuşulan her dakika için \(0.50\) TL ücret almaktadır. Konuşma süresi \(x\) dakika ve aylık fatura tutarı \(y\) TL olmak üzere, bu durumu ifade eden doğrusal denklemi yazınız ve \(60\) dakika konuşan bir abonenin faturasını hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Bu senaryo, günlük hayatta sıkça karşılaşılan doğrusal bir ilişkiyi temsil eder. Fatura tutarı, sabit bir ücret ve kullanılan dakika başına değişen bir ücretten oluşur.
- 💡 Sabit ücret: Aylık \(20\) TL sabit ücret alınmaktadır. Bu, konuşma süresi \(0\) dakika olsa bile ödenecek tutardır. Denklemin sabit terimi (\(n\)) \(20\) olacaktır.
- 💡 Değişken ücret: Konuşulan her dakika için \(0.50\) TL ücret alınmaktadır. Bu, konuşma süresi (\(x\)) arttıkça fatura tutarının nasıl değiştiğini gösterir, yani doğrunun eğimidir (\(m\)). \(m = 0.50\).
- ✅ Bu bilgilere göre doğrusal denklemi yazarsak:
\[ y = 0.50x + 20 \] - 📌 Şimdi \(60\) dakika konuşan bir abonenin faturasını hesaplayalım (yani \(x = 60\) için \(y\) değerini bulalım):
\[ y = 0.50(60) + 20 \] \[ y = 30 + 20 \] \[ y = 50 \] - ✅ \(60\) dakika konuşan bir abonenin faturası \(50\) TL olacaktır.
Örnek 8:
📊 Yandaki grafikte (metinsel olarak betimlenmiştir) bir aracın deposundaki yakıt miktarının zamana göre değişimi gösterilmiştir. Araç A noktasından (\(0, 80\)) başlayıp, 4 saat sonra B noktasında (\(4, 0\)) deposu bitmiştir. Bu aracın yakıt miktarının (y, litre) zamana (x, saat) bağlı değişimini gösteren doğrusal denklemi bulunuz.
Çözüm:
👉 Bu problemde iki nokta verilmiş ve bu noktalardan geçen doğrunun denklemini bulmamız isteniyor. Doğrunun denklemi \(y = mx + n\) formundadır.
- 📌 Adım 1: Eğim (\(m\)) hesaplama.
Eğim, iki nokta arasındaki y değerleri farkının x değerleri farkına oranıdır: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
Verilen noktalar: A(\(0, 80\)) ve B(\(4, 0\)).
\[ m = \frac{0 - 80}{4 - 0} \] \[ m = \frac{-80}{4} \] \[ m = -20 \] - 📌 Adım 2: y-kesenini (\(n\)) bulma.
Doğru A noktasında (\(0, 80\)) y eksenini kesmektedir. Bir doğrunun y eksenini kestiği noktanın y koordinatı, denklemin sabit terimi (\(n\)) olur.
Dolayısıyla \(n = 80\). - 📌 Adım 3: Doğrusal denklemi yazma.
Bulduğumuz \(m\) ve \(n\) değerlerini \(y = mx + n\) formülünde yerine koyalım:
\[ y = -20x + 80 \] - ✅ Bu denklem, aracın deposundaki yakıt miktarının zamana bağlı değişimini göstermektedir. Eğim \(-20\) olduğu için araç her saatte \(20\) litre yakıt tüketmektedir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-dogru-grafikleri/sorular