💡 8. Sınıf Matematik: Dikdörtgen Prizmalar Çözümlü Örnekler

• Hacim (V) Hesabı:
• Hacim, üç ayrıt uzunluğunun çarpımıyla bulunur. Yani, \( V = a \times b \times c \) formülünü kullanırız.
• Verilen ayrıt uzunlukları: \( a = 3 \) cm, \( b = 5 \) cm, \( c = 8 \) cm.
• Hacim = \( 3 \times 5 \times 8 \)
• Hacim = \( 15 \times 8 \)
• Hacim = \( 120 \) cm\(^3\) ✅
• Toplam Yüzey Alanı (A) Hesabı:
• Dikdörtgen prizmanın 6 yüzü vardır ve karşılıklı yüzler birbirine eştir.
• Alan formülü: \( A = 2 \times (ab + ac + bc) \)
• Verilen ayrıt uzunlukları: \( a = 3 \) cm, \( b = 5 \) cm, \( c = 8 \) cm.
• \( ab = 3 \times 5 = 15 \) cm\(^2\)
• \( ac = 3 \times 8 = 24 \) cm\(^2\)
• \( bc = 5 \times 8 = 40 \) cm\(^2\)
• Toplam Yüzey Alanı = \( 2 \times (15 + 24 + 40) \)
• Toplam Yüzey Alanı = \( 2 \times (79) \)
• Toplam Yüzey Alanı = \( 158 \) cm\(^2\) ✅

📌 Bu prizmanın hacmi \( 120 \) cm\(^3\), toplam yüzey alanı ise \( 158 \) cm\(^2\)'dir.

• Hacim Formülü Hatırlatma:
• Hacim \( V = a \times b \times c \) (taban alanı \times yükseklik)
• Burada \( a \) ve \( b \) taban ayrıtları, \( c \) ise yüksekliktir.
• Verilen Bilgiler:
• Hacim \( V = 240 \) cm\(^3\)
• Taban ayrıtları \( a = 4 \) cm ve \( b = 6 \) cm
• Yüksekliği \( c \) (bilinmiyor)
• Hesaplama Adımları:
• Formülü yerine yazalım: \( 240 = 4 \times 6 \times c \)
• Taban ayrıtlarını çarpalım: \( 4 \times 6 = 24 \)
• Denklemimiz: \( 240 = 24 \times c \)
• \( c \)'yi bulmak için her iki tarafı \( 24 \)'e bölelim: \( c = \frac{240}{24} \)
• Yükseklik \( c = 10 \) cm ✅

📌 Dikdörtgen prizmanın yüksekliği 10 cm'dir.

• Büyük Dikdörtgen Prizmanın Hacmi:
• Ayrıt uzunlukları: \( a = 10 \) cm, \( b = 12 \) cm, \( c = 15 \) cm.
• Hacim \( V_{büyük} = a \times b \times c \)
• \( V_{büyük} = 10 \times 12 \times 15 \)
• \( V_{büyük} = 120 \times 15 \)
• \( V_{büyük} = 1800 \) cm\(^3\)
• Küçük Küpün Hacmi:
• Küpün ayrıt uzunluğu: \( 1 \) cm.
• Küpün hacmi \( V_{küp} = \text{ayrıt}^3 \)
• \( V_{küp} = 1 \times 1 \times 1 \)
• \( V_{küp} = 1 \) cm\(^3\)
• Elde Edilecek Küp Sayısı:
• Toplam küp sayısı = \( \frac{V_{büyük}}{V_{küp}} \)
• Toplam küp sayısı = \( \frac{1800}{1} \)
• Toplam küp sayısı = \( 1800 \) adet ✅

📌 Marangoz, bu tahta bloktan 1800 adet küçük küp elde edebilir.

• Akvaryumun Hacmini Hesaplama:
• Akvaryum dikdörtgen prizma şeklindedir.
• Ayrıt uzunlukları: \( a = 60 \) cm, \( b = 30 \) cm, \( c = 40 \) cm.
• Hacim \( V = a \times b \times c \)
• \( V = 60 \times 30 \times 40 \)
• \( V = 1800 \times 40 \)
• \( V = 72000 \) cm\(^3\)
• Hacmi Litreye Çevirme:
• Biliyoruz ki \( 1 \) litre = \( 1000 \) cm\(^3\).
• Akvaryumun hacmi \( 72000 \) cm\(^3\).
• Litre cinsinden hacim = \( \frac{\text{cm}^3 \text{ değeri}}{1000} \)
• Litre = \( \frac{72000}{1000} \)
• Litre = \( 72 \) litre ✅

📌 Bu akvaryum tamamen su ile doldurulduğunda, içine 72 litre su sığar.

• Ayrıt Uzunlukları ve Hacim:
• Ayrıt uzunlukları: \( a = 2k \), \( b = 3k \), \( c = 5k \).
• Hacim \( V = a \times b \times c \)
• Verilen hacim \( V = 810 \) cm\(^3\).
• Denklemi Kurma ve k'yi Bulma:
• \( 810 = (2k) \times (3k) \times (5k) \)
• \( 810 = (2 \times 3 \times 5) \times (k \times k \times k) \)
• \( 810 = 30 \times k^3 \)
• Her iki tarafı \( 30 \)'a bölelim: \( \frac{810}{30} = k^3 \)
• \( 27 = k^3 \)
• \( k \)'yi bulmak için \( 27 \)'nin küpkökünü alalım: \( k = \sqrt[3]{27} \)
• \( k = 3 \)
• En Kısa Ayrıtın Uzunluğunu Bulma:
• Ayrıt uzunlukları \( 2k, 3k, 5k \) idi.
• En kısa ayrıt \( 2k \)'dir.
• En kısa ayrıt = \( 2 \times 3 \)
• En kısa ayrıt = \( 6 \) cm ✅

📌 Bu dikdörtgen prizmanın en kısa ayrıtının uzunluğu 6 cm'dir.

• Havuzun Boyutları:
• Uzunluk \( a = 20 \) metre
• Genişlik \( b = 10 \) metre
• Yükseklik \( c = 5 \) metre
• Kaplanacak Alanın Hesaplanması:
• Havuzun taban alanı (1 adet): \( a \times b = 20 \times 10 = 200 \) m\(^2\).
• Yan yüzeylerin alanları (4 adet):
• İki adet uzun yan yüzey: \( 2 \times (a \times c) = 2 \times (20 \times 5) = 2 \times 100 = 200 \) m\(^2\).
• İki adet kısa yan yüzey: \( 2 \times (b \times c) = 2 \times (10 \times 5) = 2 \times 50 = 100 \) m\(^2\).
• Toplam kaplanacak alan = Taban Alanı + Uzun Yan Yüzeyler + Kısa Yan Yüzeyler
• Toplam kaplanacak alan = \( 200 + 200 + 100 \)
• Toplam kaplanacak alan = \( 500 \) m\(^2\) ✅

📌 Havuzun iç yüzeylerini kaplamak için 500 metrekare fayans gereklidir.

• Buzdolabının Ayrıt Uzunluklarını Metreye Çevirme:
• Uzunluk \( a = 60 \) cm = \( 0.6 \) metre
• Genişlik \( b = 50 \) cm = \( 0.5 \) metre
• Yükseklik \( c = 180 \) cm = \( 1.8 \) metre
• Buzdolabının Hacmini Metreküp Cinsinden Hesaplama:
• Hacim \( V = a \times b \times c \)
• \( V = 0.6 \times 0.5 \times 1.8 \)
• \( V = 0.30 \times 1.8 \)
• \( V = 0.54 \) m\(^3\) ✅

📌 Ayşe Hanım'ın buzdolabının iç hacmi \( 0.54 \) metreküptür.

• Ayrıt Uzunlukları Toplamı Formülü:
• Bir dikdörtgen prizmanın ayrıt uzunlukları \( a, b, c \) ise, toplam ayrıt uzunluğu \( 4 \times (a + b + c) \) formülü ile bulunur.
• Verilen Bilgiler:
• Toplam ayrıt uzunluğu = \( 48 \) cm.
• İki ayrıt uzunluğu: \( a = 3 \) cm, \( b = 5 \) cm.
• Üçüncü ayrıt \( c \) (bilinmiyor).
• Hesaplama Adımları:
• Formülü kullanalım: \( 4 \times (a + b + c) = 48 \)
• Her iki tarafı \( 4 \)'e bölelim: \( a + b + c = \frac{48}{4} \)
• \( a + b + c = 12 \)
• Bilinen ayrıtları yerine yazalım: \( 3 + 5 + c = 12 \)
• \( 8 + c = 12 \)
• \( c \)'yi bulmak için \( 8 \)'i karşıya atalım: \( c = 12 - 8 \)
• Üçüncü ayrıt \( c = 4 \) cm ✅

📌 Dikdörtgen prizmanın üçüncü ayrıtının uzunluğu 4 cm'dir.