🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Dik Silindir Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Dik Silindir Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir dik silindirin yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 10 cm'dir. Buna göre, bu silindirin hacmi kaç santimetreküptür? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Bir dik silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Taban alanı bir daire olduğu için formülü \( \pi r^2 \)'dir. Silindirin hacim formülü ise \( V = \pi r^2 h \)'dir.
Taban alanı bir daire olduğu için formülü \( \pi r^2 \)'dir. Silindirin hacim formülü ise \( V = \pi r^2 h \)'dir.
- Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim.
- Yarıçap (r) = 5 cm
- Yükseklik (h) = 10 cm
- \( \pi \) = 3
- Adım 2: Hacim formülünü yerine yazalım. \[ V = \pi r^2 h \] \[ V = 3 \cdot (5)^2 \cdot 10 \]
- Adım 3: İşlemleri yapalım. \[ V = 3 \cdot 25 \cdot 10 \] \[ V = 75 \cdot 10 \] \[ V = 750 \]
Örnek 2:
📌 Yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm olan bir dik silindirin toplam yüzey alanı kaç santimetrekaredir? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Bir dik silindirin toplam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir.
Taban alanı \( \pi r^2 \), yanal alan ise \( 2 \pi r h \) formülüyle bulunur. Toplam yüzey alanı formülü: \( A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \).
Taban alanı \( \pi r^2 \), yanal alan ise \( 2 \pi r h \) formülüyle bulunur. Toplam yüzey alanı formülü: \( A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \).
- Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim.
- Yarıçap (r) = 4 cm
- Yükseklik (h) = 8 cm
- \( \pi \) = 3
- Adım 2: Taban alanını hesaplayalım. \[ A_{taban} = \pi r^2 = 3 \cdot (4)^2 = 3 \cdot 16 = 48 \text{ cm}^2 \]
- Adım 3: Yanal alanı hesaplayalım. \[ A_{yanal} = 2 \pi r h = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 8 = 6 \cdot 32 = 192 \text{ cm}^2 \]
- Adım 4: Toplam yüzey alanını hesaplayalım. \[ A_{toplam} = 2 A_{taban} + A_{yanal} = 96 + 192 = 288 \text{ cm}^2 \]
İki taban olduğu için toplam taban alanı \( 2 \cdot 48 = 96 \text{ cm}^2 \)'dir.
Örnek 3:
💡 Hacmi 600 cm\(^3\) olan bir dik silindirin yarıçapı 5 cm olduğuna göre, bu silindirin yüksekliği kaç santimetredir? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Silindirin hacim formülü \( V = \pi r^2 h \)'dir. Bu formülü kullanarak yüksekliği bulabiliriz.
- Adım 1: Verilen değerleri ve isteneni belirleyelim.
- Hacim (V) = 600 cm\(^3\)
- Yarıçap (r) = 5 cm
- \( \pi \) = 3
- Yükseklik (h) = ?
- Adım 2: Hacim formülünde bilinenleri yerine yazalım. \[ 600 = 3 \cdot (5)^2 \cdot h \]
- Adım 3: Denklemi çözelim. \[ 600 = 3 \cdot 25 \cdot h \] \[ 600 = 75 \cdot h \]
Her iki tarafı 75'e bölelim:
\[ h = \frac{600}{75} \] \[ h = 8 \]
Örnek 4:
📌 Yanal alanı 144 cm\(^2\) olan bir dik silindirin yüksekliği 6 cm'dir. Buna göre, bu silindirin taban yarıçapı kaç santimetredir? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Bir dik silindirin yanal alanı \( A_{yanal} = 2 \pi r h \) formülüyle bulunur.
- Adım 1: Verilen değerleri ve isteneni belirleyelim.
- Yanal Alan (\( A_{yanal} \)) = 144 cm\(^2\)
- Yükseklik (h) = 6 cm
- \( \pi \) = 3
- Yarıçap (r) = ?
- Adım 2: Yanal alan formülünde bilinenleri yerine yazalım. \[ 144 = 2 \cdot 3 \cdot r \cdot 6 \]
- Adım 3: Denklemi çözelim. \[ 144 = 36 \cdot r \]
Her iki tarafı 36'ya bölelim:
\[ r = \frac{144}{36} \] \[ r = 4 \]
Örnek 5:
📏 Bir dikdörtgen kartonun kenar uzunlukları 12 cm ve 10 cm'dir. Bu karton, 10 cm'lik kenarı yükseklik olacak şekilde kıvrılarak bir dik silindir oluşturuluyor. Oluşan silindirin hacmi kaç santimetreküptür? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Dikdörtgen bir kağıt kıvrılarak silindir oluşturulduğunda, dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği, diğer kenarı ise silindirin taban dairesinin çevresi olur.
- Adım 1: Silindirin yüksekliğini belirleyelim.
- Soruda 10 cm'lik kenarın yükseklik olacağı belirtilmiştir.
- Yükseklik (h) = 10 cm
- Adım 2: Taban çevresini belirleyelim.
- Dikdörtgenin diğer kenarı (12 cm) taban dairesinin çevresi olacaktır.
- Taban çevresi = \( 2 \pi r = 12 \) cm
- Adım 3: Taban yarıçapını (r) bulalım. \[ 2 \cdot 3 \cdot r = 12 \] \[ 6r = 12 \] \[ r = \frac{12}{6} \] \[ r = 2 \text{ cm} \]
- Adım 4: Oluşan silindirin hacmini hesaplayalım. \[ V = \pi r^2 h \] \[ V = 3 \cdot (2)^2 \cdot 10 \] \[ V = 3 \cdot 4 \cdot 10 \] \[ V = 120 \]
Örnek 6:
💧 Evdeki silindir şeklindeki su ısıtıcısının (boyler) dış yüzeyi paslanmasın diye boyanacaktır. Isıtıcının yarıçapı 20 cm ve yüksekliği 100 cm'dir. Boyama işlemi sadece yanal yüzey ve üst taban için yapılacaktır (alt tabanı yere sabit olduğu için boyanmayacaktır). Boyanacak toplam alan kaç santimetrekaredir? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Bu problemde silindirin yanal alanı ile bir tane taban alanının toplamı istenmektedir.
- Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim.
- Yarıçap (r) = 20 cm
- Yükseklik (h) = 100 cm
- \( \pi \) = 3
- Adım 2: Yanal alanı hesaplayalım. \[ A_{yanal} = 2 \pi r h = 2 \cdot 3 \cdot 20 \cdot 100 \] \[ A_{yanal} = 6 \cdot 2000 \] \[ A_{yanal} = 12000 \text{ cm}^2 \]
- Adım 3: Üst taban alanını hesaplayalım. \[ A_{taban} = \pi r^2 = 3 \cdot (20)^2 \] \[ A_{taban} = 3 \cdot 400 \] \[ A_{taban} = 1200 \text{ cm}^2 \]
- Adım 4: Boyanacak toplam alanı bulalım.
Boyanacak alan = Yanal alan + Üst taban alanı
\[ A_{toplam} = 12000 + 1200 \] \[ A_{toplam} = 13200 \text{ cm}^2 \]
Örnek 7:
📈 Birinci silindirin yarıçapı r, yüksekliği h'dir. İkinci silindirin yarıçapı 2r, yüksekliği ise h/2'dir. Buna göre, birinci silindirin hacminin ikinci silindirin hacmine oranı kaçtır?
Çözüm:
👉 Silindirin hacim formülü \( V = \pi r^2 h \)'dir. Her iki silindir için hacimlerini ayrı ayrı hesaplayıp oranlayalım.
- Adım 1: Birinci silindirin hacmini hesaplayalım.
- Yarıçap = r
- Yükseklik = h
- \( V_1 = \pi r^2 h \)
- Adım 2: İkinci silindirin hacmini hesaplayalım.
- Yarıçap = 2r
- Yükseklik = h/2
- \( V_2 = \pi (2r)^2 (\frac{h}{2}) \)
- \( V_2 = \pi (4r^2) (\frac{h}{2}) \)
- \( V_2 = \pi \frac{4r^2 h}{2} \)
- \( V_2 = 2 \pi r^2 h \)
- Adım 3: Birinci silindirin hacminin ikinci silindirin hacmine oranını bulalım. \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r^2 h}{2 \pi r^2 h} \]
\( \pi r^2 h \) ifadeleri sadeleşir.
\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \]
Örnek 8:
🏗️ Taban alanı 75 cm\(^2\) ve hacmi 600 cm\(^3\) olan bir dik silindirin toplam yüzey alanı kaç santimetrekaredir? (\( \pi \) yerine 3 alınız.)
Çözüm:
👉 Bu soruda önce verilen bilgilerden silindirin yarıçapı ve yüksekliğini bulup, daha sonra toplam yüzey alanını hesaplayacağız.
- Adım 1: Taban alanından yarıçapı (r) bulalım.
- Taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) formülüyle bulunur.
- \( 75 = 3 \cdot r^2 \)
- \( r^2 = \frac{75}{3} \)
- \( r^2 = 25 \)
- \( r = 5 \text{ cm} \) (Yarıçap uzunluk olduğu için pozitif değer alınır.)
- Adım 2: Hacimden yüksekliği (h) bulalım.
- Silindirin hacim formülü \( V = \pi r^2 h \)'dir.
- \( 600 = 3 \cdot (5)^2 \cdot h \)
- \( 600 = 3 \cdot 25 \cdot h \)
- \( 600 = 75h \)
- \( h = \frac{600}{75} \)
- \( h = 8 \text{ cm} \)
- Adım 3: Toplam yüzey alanını hesaplayalım.
- Toplam yüzey alanı \( A_{toplam} = 2 A_{taban} + A_{yanal} \) veya \( A_{toplam} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \) formülüyle bulunur.
- İki taban alanı = \( 2 \cdot 75 = 150 \text{ cm}^2 \)
- Yanal alan = \( 2 \pi r h = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 8 \)
- Yanal alan = \( 6 \cdot 40 = 240 \text{ cm}^2 \)
- Toplam yüzey alanı = \( 150 + 240 = 390 \text{ cm}^2 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-dik-silindir/sorular