🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Cebirsel İfadeler Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Cebirsel İfadeler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
👉 Aşağıdaki cebirsel ifadenin en sade halini bulunuz. Ayrıca bu ifadenin terimlerini, katsayılarını ve sabit terimini belirtiniz.
\[ 3x^2 - 5x + 7 + 2x - x^2 - 1 \]
\[ 3x^2 - 5x + 7 + 2x - x^2 - 1 \]
Çözüm:
✅ Cebirsel ifadeleri sadeleştirirken benzer terimleri bir araya getiririz. Benzer terimler, aynı değişkenlere ve aynı değişken kuvvetlerine sahip olan terimlerdir.
- Öncelikle benzer terimleri gruplayalım:
- \( (3x^2 - x^2) + (-5x + 2x) + (7 - 1) \)
- Şimdi bu grupları sadeleştirelim:
- \( (3-1)x^2 + (-5+2)x + (7-1) \)
- \( 2x^2 - 3x + 6 \)
- Bu, ifadenin en sade halidir.
- Şimdi ifadenin terimlerini, katsayılarını ve sabit terimini belirleyelim:
- Terimleri: \( 2x^2 \), \( -3x \), \( 6 \)
- Katsayıları: \( x^2 \)'nin katsayısı \( 2 \), \( x \)'in katsayısı \( -3 \).
- Sabit Terim: Değişken içermeyen terim olan \( 6 \).
Örnek 2:
💡 Aşağıdaki cebirsel ifadeyi en sade şekilde yazınız.
\[ 4(2x - 3) + 5(x + 2) \]
\[ 4(2x - 3) + 5(x + 2) \]
Çözüm:
✅ Bu tür ifadelerde dağılma özelliğini kullanırız. Parantez dışındaki sayıyı parantez içindeki her terimle çarparız.
- İlk olarak \( 4(2x - 3) \) ifadesini açalım:
- \( 4 \cdot 2x - 4 \cdot 3 = 8x - 12 \)
- Ardından \( 5(x + 2) \) ifadesini açalım:
- \( 5 \cdot x + 5 \cdot 2 = 5x + 10 \)
- Şimdi bu iki ifadeyi birleştirelim:
- \( (8x - 12) + (5x + 10) \)
- Benzer terimleri bir araya getirelim:
- \( (8x + 5x) + (-12 + 10) \)
- İşlemleri yapalım:
- \( 13x - 2 \)
- İfadenin en sade hali \( 13x - 2 \) şeklindedir.
Örnek 3:
📌 \( (x + 3)(2x - 5) \) çarpımının sonucunu bulunuz.
Çözüm:
✅ İki cebirsel ifadeyi çarparken, birinci ifadenin her terimini ikinci ifadenin her terimiyle ayrı ayrı çarparız. Bu da bir tür dağılma özelliğidir.
- İlk terim olan \( x \)'i \( (2x - 5) \) ile çarpalım:
- \( x \cdot (2x - 5) = x \cdot 2x - x \cdot 5 = 2x^2 - 5x \)
- İkinci terim olan \( 3 \)'ü \( (2x - 5) \) ile çarpalım:
- \( 3 \cdot (2x - 5) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 5 = 6x - 15 \)
- Şimdi bu çarpımların sonuçlarını toplayalım:
- \( (2x^2 - 5x) + (6x - 15) \)
- Benzer terimleri birleştirelim:
- \( 2x^2 + (-5x + 6x) - 15 \)
- İşlemleri tamamlayalım:
- \( 2x^2 + x - 15 \)
- Çarpımın sonucu \( 2x^2 + x - 15 \) şeklindedir.
Örnek 4:
💡 \( (3x - 4)^2 \) cebirsel ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm:
✅ Bu ifade bir tam kare özdeşliğidir. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanabiliriz.
- Burada \( a = 3x \) ve \( b = 4 \) olarak düşünebiliriz.
- Özdeşliği uygulayalım:
- \( (3x - 4)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (4) + (4)^2 \)
- Şimdi her bir terimi hesaplayalım:
- \( (3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 \)
- \( 2 \cdot (3x) \cdot (4) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot x = 24x \)
- \( (4)^2 = 16 \)
- Bu terimleri birleştirelim:
- \( 9x^2 - 24x + 16 \)
- İfadenin eşiti \( 9x^2 - 24x + 16 \) şeklindedir.
Örnek 5:
📌 \( 9x^2 - 25 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
✅ Bu ifade bir iki kare farkı özdeşliğidir. \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) özdeşliğini kullanabiliriz.
- İlk olarak verilen ifadeyi \( a^2 - b^2 \) formatına getirelim:
- \( 9x^2 \) terimi \( (3x)^2 \) olarak yazılabilir.
- \( 25 \) terimi \( (5)^2 \) olarak yazılabilir.
- Böylece ifademiz \( (3x)^2 - (5)^2 \) şekline dönüşür.
- Şimdi iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım. Burada \( a = 3x \) ve \( b = 5 \).
- \( (3x)^2 - (5)^2 = (3x - 5)(3x + 5) \)
- İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali \( (3x - 5)(3x + 5) \) şeklindedir.
Örnek 6:
🌳 Bir kenarı \( (3x + 6) \) birim olan kare şeklindeki bir bahçenin bir köşesinden, bir kenarı \( (x + 2) \) birim olan kare şeklinde bir alan çıkarılarak kalan kısım sebze ekimi için ayrılmıştır. Sebze ekimi yapılan alanın cebirsel ifadesini çarpanlarına ayrılmış şekilde bulunuz.
Çözüm:
✅ Bu problemde büyük bir kare alandan, daha küçük bir kare alan çıkarılıyor. Kalan alanı bulmak için büyük karenin alanından küçük karenin alanını çıkarmalıyız.
- Büyük Karenin Alanı: Bir kenarı \( (3x + 6) \) birim olduğundan, alanı \( (3x + 6)^2 \) olur.
- Küçük Karenin Alanı: Bir kenarı \( (x + 2) \) birim olduğundan, alanı \( (x + 2)^2 \) olur.
- Sebze Ekimi Yapılan Alan: Büyük Alan - Küçük Alan
- \( (3x + 6)^2 - (x + 2)^2 \)
- Bu ifade iki kare farkı özdeşliğine (\( A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) \)) benzer. Burada \( A = (3x + 6) \) ve \( B = (x + 2) \).
- Özdeşliği uygulayalım:
- \( [(3x + 6) - (x + 2)][(3x + 6) + (x + 2)] \)
- Parantez içindeki ifadeleri sadeleştirelim:
- Birinci parantez: \( 3x + 6 - x - 2 = (3x - x) + (6 - 2) = 2x + 4 \)
- İkinci parantez: \( 3x + 6 + x + 2 = (3x + x) + (6 + 2) = 4x + 8 \)
- Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
- \( (2x + 4)(4x + 8) \)
- Bu ifadeleri daha fazla çarpanlarına ayırabiliriz. Ortak çarpan parantezine alalım:
- \( (2x + 4) = 2(x + 2) \)
- \( (4x + 8) = 4(x + 2) \)
- Yerine koyalım:
- \( [2(x + 2)][4(x + 2)] \)
- Çarpmayı yapalım:
- \( 2 \cdot 4 \cdot (x + 2) \cdot (x + 2) = 8(x + 2)^2 \)
- Sebze ekimi yapılan alanın çarpanlarına ayrılmış cebirsel ifadesi \( 8(x + 2)^2 \) birimkaredir.
Örnek 7:
🚌 Bir otobüs durağında bekleyen yolcuların sayısı \( 5x - 3 \) olarak verilmiştir. Durağa 2 otobüs gelmiş, her otobüse \( x + 5 \) yolcu binmiştir. Son durumda durakta kalan yolcu sayısını gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz ve \( x = 4 \) için kalan yolcu sayısını hesaplayınız.
Çözüm:
✅ Bu problemde, başlangıçtaki yolcu sayısından binen yolcu sayısını çıkararak kalan yolcu sayısını bulacağız.
- Başlangıçtaki yolcu sayısı: \( 5x - 3 \)
- Her otobüse binen yolcu sayısı: \( x + 5 \)
- Toplam binen yolcu sayısı: Durağa 2 otobüs geldiği için \( 2 \cdot (x + 5) \)
- Dağılma özelliğini kullanarak toplam binen yolcu sayısını hesaplayalım:
- \( 2(x + 5) = 2x + 10 \)
- Durakta kalan yolcu sayısını veren cebirsel ifade: Başlangıçtaki yolcu sayısı - Toplam binen yolcu sayısı
- \( (5x - 3) - (2x + 10) \)
- Eksiyi dağıtalım:
- \( 5x - 3 - 2x - 10 \)
- Benzer terimleri birleştirelim:
- \( (5x - 2x) + (-3 - 10) \)
- \( 3x - 13 \)
- Yani, durakta kalan yolcu sayısını gösteren cebirsel ifade \( 3x - 13 \)'tür.
- Şimdi \( x = 4 \) için kalan yolcu sayısını hesaplayalım:
- \( 3(4) - 13 \)
- \( 12 - 13 = -1 \)
- Sonuç \( -1 \) çıktı. Bu, \( x=4 \) durumunda durakta hiç yolcu kalmadığını ve hatta 1 yolcu daha binmesi gerektiğini (veya kapasite aşıldığını) gösterir. Gerçek hayatta yolcu sayısı negatif olamayacağı için, bu durumda durakta 0 yolcu kalmıştır şeklinde yorumlanabilir. Ancak cebirsel olarak değeri \( -1 \)'dir.
Örnek 8:
🛍️ Bir markette tanesi \( (2y + 1) \) TL olan kalemlerden \( 3 \) tane ve tanesi \( (y - 2) \) TL olan silgilerden \( 5 \) tane aldınız.
a) Toplam ödemeniz gereken tutarı gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz.
b) Eğer \( y = 5 \) TL olsaydı, toplam ne kadar öderdiniz?
a) Toplam ödemeniz gereken tutarı gösteren cebirsel ifadeyi bulunuz.
b) Eğer \( y = 5 \) TL olsaydı, toplam ne kadar öderdiniz?
Çözüm:
✅ Bu problemde farklı ürünler için ödenen miktarları ayrı ayrı hesaplayıp sonra bunları toplamamız gerekiyor.
- a) Toplam ödenen tutarı gösteren cebirsel ifade:
- Kalemler için ödenen tutar: Tanesi \( (2y + 1) \) TL olan kalemlerden \( 3 \) tane alındığı için, \( 3 \cdot (2y + 1) \) TL ödenir.
- Dağılma özelliğini kullanalım: \( 3(2y + 1) = 3 \cdot 2y + 3 \cdot 1 = 6y + 3 \) TL.
- Silgiler için ödenen tutar: Tanesi \( (y - 2) \) TL olan silgilerden \( 5 \) tane alındığı için, \( 5 \cdot (y - 2) \) TL ödenir.
- Dağılma özelliğini kullanalım: \( 5(y - 2) = 5 \cdot y - 5 \cdot 2 = 5y - 10 \) TL.
- Toplam ödenen tutar: Kalemler için ödenen tutar + Silgiler için ödenen tutar.
- \( (6y + 3) + (5y - 10) \)
- Benzer terimleri birleştirelim:
- \( (6y + 5y) + (3 - 10) \)
- \( 11y - 7 \)
- Toplam ödemeniz gereken tutarı gösteren cebirsel ifade \( 11y - 7 \) TL'dir.
- b) Eğer \( y = 5 \) TL olsaydı, toplam ne kadar öderdiniz?
- Bulduğumuz cebirsel ifadede \( y \) yerine \( 5 \) yazalım:
- \( 11(5) - 7 \)
- \( 55 - 7 \)
- \( 48 \)
- Eğer \( y = 5 \) TL olsaydı, toplam \( 48 \) TL öderdiniz.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-cebirsel-i-fadeler/sorular