Çarpanlar Ders Notu

📌 Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları

Bir pozitif tam sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir. Bir sayının çarpanları ile bölenleri aynı sayılardan oluşur.

🔍 Çarpan Çiftleri Yöntemi

Bir sayının tüm çarpanlarını bulmak için çarpımları o sayıyı veren sayı çiftleri belirlenir. Örneğin \( 12 \) sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını inceleyelim:

• \( 1 \times 12 = 12 \)
• \( 2 \times 6 = 12 \)
• \( 3 \times 4 = 12 \)

\( 12 \) sayısının pozitif tam sayı çarpanları küçükten büyüğe sırasıyla: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \) şeklindedir.

⭐ Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Sadece \( 1 \)'e ve kendisine kalansız bölünebilen, \( 1 \)'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

Önemli Not: En küçük asal sayı \( 2 \)'dir. Aynı zamanda \( 2 \), çift olan tek asal sayıdır. \( 1 \) sayısı asal sayı kabul edilmez.

İlk 10 asal sayı: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \)

🧩 Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bir pozitif tam sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir. Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmak için yaygın olarak iki yöntem kullanılır:

1. Bölme Algoritması (Asal Çarpanlar Listesi)

Sayı yazılır ve yanına dikey bir çizgi çekilerek en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm \( 1 \) olana kadar işleme devam edilir.

Örnek: \( 36 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\( 36 \div 2 = 18 \)
\( 18 \div 2 = 9 \)
\( 9 \div 3 = 3 \)
\( 3 \div 3 = 1 \)

\( 36 \) sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı: \[ 36 = 2^2 \times 3^2 \]

\( 36 \) sayısının asal çarpanları: \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.

2. Çarpan Ağacı Yöntemi

En üste sayı yazılır ve altına çarpımları bu sayıyı veren iki sayı yazılır. Asal sayılara ulaşana kadar dallandırma işlemine devam edilir.

✏️ Çözümlü Örnekler

Örnek 1

\( 60 \) sayısının kaç tane pozitif tam sayı çarpanı olduğunu ve bu çarpanların kaç tanesinin asal olduğunu bulunuz.

Çözüm:

\( 60 \) sayısının tüm çarpan çiftlerini yazalım:

• \( 1 \times 60 = 60 \)
• \( 2 \times 30 = 60 \)
• \( 3 \times 20 = 60 \)
• \( 4 \times 15 = 60 \)
• \( 5 \times 12 = 60 \)
• \( 6 \times 10 = 60 \)

\( 60 \)'ın pozitif tam sayı çarpanları: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \) olmak üzere toplam \( 12 \) tanedir.

Bu çarpanlar içindeki asal sayılar: \( 2, 3, 5 \) olmak üzere \( 3 \) tanedir.

Örnek 2

Alanı \( 48 \text{ m}^2 \) olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden birer tam sayıdır. Bu bahçenin çevre uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değeri bulunuz.

Çözüm:

Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. O halde kenar uzunlukları \( 48 \)'in pozitif çarpan çiftleri olmalıdır:

Kısa Kenar (m)	Uzun Kenar (m)	Çevre (m)
\( 1 \)	\( 48 \)	\( 2 \times (1 + 48) = 98 \)
\( 2 \)	\( 24 \)	\( 2 \times (2 + 24) = 52 \)
\( 3 \)	\( 16 \)	\( 2 \times (3 + 16) = 38 \)
\( 4 \)	\( 12 \)	\( 2 \times (4 + 12) = 32 \)
\( 6 \)	\( 8 \)	\( 2 \times (6 + 8) = 28 \)

En büyük çevre uzunluğu \( 98 \) m, en küçük çevre uzunluğu ise \( 28 \) m olarak bulunur.