Çarpanlar ve katlar: Ebob ekok Ders Notu

Çarpanlar ve Katlar: EBOB ve EKOK 🔢

Bir pozitif tam sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. İki veya daha fazla doğal sayının ortak olan bölenlerinden en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB), ortak olan katlarından en küçüğüne ise En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir. LGS matematik müfredatında bu kavramlar, sayıların asal çarpanlarına ayrılması yöntemiyle hesaplanır.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayının her birini aynı anda bölen en büyük sayıya EBOB denir. EBOB hesaplanırken sayılar yan yana yazılır ve asal çarpan algoritması kullanılır. Her iki sayıyı da aynı anda bölen asal sayılar işaretlenir ve bu işaretlenen sayıların çarpımı EBOB değerini verir.

Önemli Not: İki sayıdan biri diğerinin katı ise, EBOB küçük olan sayıya eşittir. Örneğin, \( 10 \) ve \( 20 \) sayılarının EBOB değeri \( 10 \) olur.

Örnek: \( 24 \) ve \( 36 \) sayılarının EBOB değerini bulalım.

• \( 24 \) ve \( 36 \) sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
• \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
• EBOB hesaplanırken ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanlar alınır: \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \).

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının her birinin katı olan sayıların en küçüğüne EKOK denir. EKOK hesaplanırken asal çarpan algoritmasında sağ tarafta bulunan tüm asal sayıların çarpımı alınır.

Önemli Not: İki sayıdan biri diğerinin katı ise, EKOK büyük olan sayıya eşittir. Örneğin, \( 8 \) ve \( 16 \) sayılarının EKOK değeri \( 16 \) olur.

Örnek: \( 12 \) ve \( 15 \) sayılarının EKOK değerini bulalım.

• \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
• \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
• EKOK hesaplanırken tüm asal çarpanlar alınır, ortak olanlardan üssü büyük olan seçilir: \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \).

Günlük Yaşamda EBOB ve EKOK Kullanımı

Problemleri çözerken şu mantığı kullanmak işimizi kolaylaştırır:

Durum	Yöntem
Büyük parçalardan küçük parçalar elde ediliyorsa	EBOB
Küçük parçalardan büyük yapılar oluşturuluyorsa	EKOK
Zamanlayıcılar (ziller, nöbetler) birlikte tekrar soruluyorsa	EKOK

Soru: Bir bahçenin kenarlarına köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bahçenin kenarları \( 30 \) metre ve \( 45 \) metredir. İki ağaç arası mesafe en fazla kaç metre olur?

Çözüm: Büyük bir alanı eşit parçalara böldüğümüz için \( 30 \) ve \( 45 \) sayılarının EBOB değerini bulmalıyız.

• \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)
• \( 45 = 3^2 \times 5 \)
• EBOB \( (30, 45) = 3 \times 5 = 15 \).
• Cevap: İki ağaç arası mesafe en fazla \( 15 \) metre olur.

Soru: Bir duraktan \( 10 \) dakikada bir ve \( 15 \) dakikada bir iki farklı otobüs kalkmaktadır. Bu iki otobüs saat kaçta tekrar birlikte hareket eder?

Çözüm: Küçük zaman dilimlerinden büyük bir ortak zaman dilimine ulaştığımız için EKOK hesaplarız.

• EKOK \( (10, 15) = 30 \).
• Cevap: Otobüsler \( 30 \) dakika sonra tekrar birlikte hareket ederler.