💡 8. Sınıf Matematik: Bütün konular tekrar Çözümlü Örnekler

Bu soruda iki farklı miktarı eşit ve en büyük parçalara bölmemiz istendiği için EBOB (En Büyük Ortak Bölen) bulmalıyız.

• \( 48 \) ve \( 60 \) sayılarının bölenlerini inceleyelim.
• \( 48 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 \)
• \( 60 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \)
• Her iki listede de bulunan en büyük sayı \( 12 \)'dir.
• Yani EBOB(48, 60) = \( 12 \).

✅ Sonuç olarak, şişeler en fazla \( 12 \) litrelik olabilir.

Bakteri sayısının her saat \( 2 \) katına çıkması, başlangıçtaki sayının sürekli \( 2 \) ile çarpılması demektir.

• Başlangıç: \( 2^5 \)
• 1. saat sonu: \( 2^5 \times 2 = 2^6 \)
• 2. saat sonu: \( 2^6 \times 2 = 2^7 \)
• 3. saat sonu: \( 2^7 \times 2 = 2^8 \)
• 4. saat sonu: \( 2^8 \times 2 = 2^9 \)

Kısa yoldan hesaplama yaparsak:

\[ 2^5 \times 2^4 = 2^{5+4} = 2^9 \]

✅ \( 4 \) saatin sonunda kapta \( 2^9 \) (yani \( 512 \)) adet bakteri olur.

Kareköklü ifadeleri sıralamak için katsayıları kök içine alarak karşılaştırma yapmalıyız.

• \( a = 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \)
• \( b = 4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \times 3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} \)
• \( c = 2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \times 11} = \sqrt{4 \times 11} = \sqrt{44} \)

Kök içindeki sayıları karşılaştırdığımızda:

\[ 48 > 45 > 44 \]

✅ Bu durumda doğru sıralama: \( b > a > c \) şeklindedir.

Daire grafiğinin tamamı \( 360^\circ \) olduğu için orantı kurarak çözüme ulaşabiliriz.

• Grafiğin tamamı (\( 360^\circ \)) \( 360 \) ağaca karşılık geliyorsa;
• Her \( 1^\circ \), \( 1 \) ağacı temsil eder.
• Elma ağaçlarının açısı \( 120^\circ \) olduğuna göre:

\[ 120 \times 1 = 120 \]

✅ Bahçede toplam \( 120 \) adet elma ağacı vardır.

Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

• Tüm bilyelerin sayısı: \( 5 + 3 + 2 = 10 \)
• İstenen bilye (mavi) sayısı: \( 3 \)
• Olasılık formülü: \( \frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Tüm Durumlar}} \)

\[ \text{Olasılık} = \frac{3}{10} \]

✅ Mavi bilye çekilme olasılığı \( 0.3 \) veya 30% olarak ifade edilebilir.

Bir karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak bulunur. Burada tam kare özdeşliğini kullanacağız.

• Kenar uzunluğu: \( x + 3 \)
• Alan = \( (x + 3)^2 \)
• Tam kare açılımı: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Uygulayalım:

\[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 \]

\[ x^2 + 6x + 9 \]

✅ Karenin alanını veren ifade \( x^2 + 6x + 9 \) birimkaredir.

Eğim, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır.

• Dikey uzunluk = \( 6 \) m
• Yatay uzunluk = \( 8 \) m
• Eğim (\( m \)) = \( \frac{6}{8} \)

Bu oranı sadeleştirelim ve yüzdeye çevirelim:

\[ m = \frac{3}{4} \]

Paydayı \( 100 \) yapmak için \( 25 \) ile genişletelim:

\[ \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} \]

✅ Rampanın eğimi 75%'tir.

Dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir (\( a^2 + b^2 = c^2 \)).

• Verilenler: Dik kenar \( a = 9 \), Hipotenüs \( c = 15 \)
• Bilinmeyen dik kenar: \( b \)

Denklemi kuralım:

\[ 9^2 + b^2 = 15^2 \]

\[ 81 + b^2 = 225 \]

\[ b^2 = 225 - 81 \]

\[ b^2 = 144 \]

\[ b = \sqrt{144} = 12 \]

💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin \( 3 \) katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.

✅ Diğer dik kenarın uzunluğu \( 12 \) cm'dir.