💡 8. Sınıf Matematik: Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler çözmek Çözümlü Örnekler

Bu eşitsizliği çözmek için temel amacımız \( x \) değişkenini yalnız bırakmaktır. İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Sabit terimi izole etme
  Eşitsizliğin her iki tarafına 5 ekleyerek -5'i yok edelim.
  \( 3x - 5 + 5 < 10 + 5 \)
  \( 3x < 15 \)
• Adım 2: Katsayıdan kurtulma
  Şimdi \( x \)'in katsayısı olan 3'ten kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafını 3'e bölelim.
  \( \frac{3x}{3} < \frac{15}{3} \)
  \( x < 5 \)

✅ Sonuç olarak, \( x \)'in 5'ten küçük tüm reel sayılar eşitsizliği sağlar. Çözüm kümesi \( (-\infty, 5) \) aralığıdır. 💡 Unutmayın, eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayıya böler veya çarparsanız eşitsizlik yön değiştirir.

\( y \) değişkenini yalnız bırakarak eşitsizliği çözelim:

• Adım 1: Sabit terimi taşıma
  Eşitsizliğin her iki tarafından 7 çıkaralım.
  \( 2y + 7 - 7 \ge 1 - 7 \)
  \( 2y \ge -6 \)
• Adım 2: Katsayıyı bölme
  Her iki tarafı 2'ye bölelim.
  \( \frac{2y}{2} \ge \frac{-6}{2} \)
  \( y \ge -3 \)

👉 Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, \( y \)'nin -3'e eşit veya -3'ten büyük olduğu tüm reel sayılardır. Çözüm kümesi \( [-3, \infty) \) aralığıdır.

Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.

• Adım 1: Maliyet ve Gelir Hesabı
  Eğer manav \( n \) tane elma satarsa:
  Maliyet: \( 4n \) TL
  Gelir: \( 6n \) TL
  Kâr: Gelir - Maliyet = \( 6n - 4n = 2n \) TL
• Adım 2: Kâr Eşitsizliğini Kurma
  Manav en az 50 TL kâr elde etmek istediğine göre:
  \( 2n \ge 50 \)
• Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Her iki tarafı 2'ye bölelim:
  \( \frac{2n}{2} \ge \frac{50}{2} \)
  \( n \ge 25 \)

✅ Manavın en az 50 TL kâr elde edebilmesi için en az 25 elma satması gerekmektedir. 📌 Günlük hayatta kâr-zarar hesapları bu tür eşitsizliklerle modellenebilir.

Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.

• Adım 1: Kârı Hesaplama
  Her bir defterden elde edilen kâr: Satış Fiyatı - Alış Fiyatı = \( 5 - 3 = 2 \) TL'dir.
• Adım 2: Toplam Kâr Eşitsizliğini Kurma
  Eğer \( x \) tane defter satılırsa, toplam kâr \( 2x \) TL olur. Kırtasiyeci 100 TL'den fazla kâr istediğine göre:
  \( 2x > 100 \)
• Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Eşitsizliğin her iki tarafını 2'ye bölelim:
  \( \frac{2x}{2} > \frac{100}{2} \)
  \( x > 50 \)

👉 Kırtasiyecinin 100 TL'den fazla kâr elde etmesi için 50'den fazla defter satması gerekir. Bu da en az 51 defter satması anlamına gelir. ✅

Bu soruyu çözmek için her iki eşitsizliği ayrı ayrı çözmeli ve ardından bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.

• Eşitsizlik 1: \( 2x + 1 < 9 \)
  Her iki taraftan 1 çıkaralım:
  \( 2x < 8 \)
  Her iki tarafı 2'ye bölelim:
  \( x < 4 \)
• Eşitsizlik 2: \( 3x - 4 \ge 5 \)
  Her iki tarafa 4 ekleyelim:
  \( 3x \ge 9 \)
  Her iki tarafı 3'e bölelim:
  \( x \ge 3 \)
• Çözüm Kümelerinin Kesişimi
  İlk eşitsizlikten \( x < 4 \) bulduk. İkinci eşitsizlikten ise \( x \ge 3 \) bulduk.
  Bu iki koşulu sağlayan \( x \) değerleri, 3'e eşit veya büyük ve 4'ten küçük olmalıdır.
  Yani, \( 3 \le x < 4 \).

💡 Bu aralıktaki tam sayılar sadece 3'tür. Dolayısıyla, eşitsizlik sistemini sağlayan tek tam sayı değeri 3'tür.

Bu problemde hem kumaş miktarı hem de gelirle ilgili iki koşul bulunmaktadır.

• Koşul 1: En az 4 elbise dikebilme
  Terzi en az 4 elbise dikebilmelidir. Her elbise için \( x \) metre kumaş kullanılıyorsa, 4 elbise için en az \( 4x \) metre kumaş gereklidir. Elinde toplam 20 metre kumaş olduğuna göre:
  \( 4x \le 20 \)
  Her iki tarafı 4'e bölelim:
  \( x \le 5 \)
• Koşul 2: Gelirin 700 TL'den fazla olması
  Her elbiseden 150 TL kazanıyor ve en az 4 elbise satıyor. Toplam gelir en az \( 4 \times 150 = 600 \) TL olacaktır. Ancak soruda gelirin 700 TL'den fazla olması isteniyor. Bu durumda, 4 elbise satıldığında elde edilen gelir \( 4 \times 150 = 600 \) TL'dir. Eğer terzi 4 elbise dikerse ve satarsa, gelir 700 TL'den fazla olamaz. Bu koşul, terzinin 4 elbiseden daha fazla dikebileceği veya her elbiseden elde ettiği gelirin farklı olduğu durumları ima edebilir. Ancak soruda "en az 4 elbise dikebilirse" ifadesiyle, 4 elbise dikildiğinde bu koşulların sağlanması bekleniyor. Sorunun bu kısmında bir çelişki veya ek bilgi gerekliliği olabilir. Eğer soruyu "en az 4 elbise dikip satarsa ve bu satıştan elde ettiği gelir 700 TL'den fazla olursa" şeklinde anlarsak, bu durumda 4 elbise dikmek için kullanılan kumaş miktarı \( x \) ve elde edilen gelir \( 4 \times 150 \) olmalıdır. Gelirin 700 TL'den fazla olması için, \( 4 \times 150 > 700 \) olmalıdır ki bu da \( 600 > 700 \) olur, ki bu yanlıştır. Sorunun bu kısmını "eğer 4 elbise dikerse ve bu satıştan elde ettiği gelir 700 TL'yi aşarsa" şeklinde yorumlamak yerine, "toplam diktiği elbiselerin sayısının en az 4 olması ve bu elbiselerin toplam gelirinin 700 TL'den fazla olması" şeklinde yorumlayalım. Eğer terzi \( n \) tane elbise dikerse ve satarsa, toplam gelir \( 150n \) TL olur. \( 150n > 700 \) Her iki tarafı 150'ye bölelim: \( n > \frac{700}{150} \) \( n > \frac{70}{15} \) \( n > \frac{14}{3} \) \( n > 4.66... \) Bu durumda terzinin en az 5 elbise dikmesi gerekir.
• Kumaş ve Elbise Sayısı İlişkisi
  Terzi en az 4 elbise dikebilmeli ve toplam 20 metre kumaşı var. Eğer 5 elbise dikecekse, bu 5 elbise için gereken toplam kumaş miktarı \( 5x \) olmalı ve bu miktar 20 metreyi geçmemelidir.
  \( 5x \le 20 \)
  Her iki tarafı 5'e bölelim:
  \( x \le 4 \)

✅ Hem en az 4 elbise dikebilme (veya 5 elbise dikme gerekliliği) hem de 20 metre kumaş kısıtlaması göz önüne alındığında, eğer terzi 5 elbise dikerse (gelirin 700 TL'yi aşması için), bir elbise için kullanılan kumaş miktarı \( x \) en fazla 4 metre olabilir. Soruda "en az kaç metre olmalıdır" dendiği için ve \( x \le 4 \) bulduğumuz için, \( x \)'in alabileceği en büyük değer 4'tür. Ancak soruda "en az" ifadesi kullanıldığı için, bu durum bir çelişki yaratır. Eğer "en fazla kaç metre olmalıdır" denseydi cevap 4 olurdu. Sorunun bu haliyle, eğer 4 elbise dikerse ve gelir 700 TL'yi aşarsa, bu mümkün değildir. Eğer 5 elbise dikerse ve gelir 700 TL'yi aşarsa, o zaman \( x \le 4 \) olmalıdır. Bu durumda \( x \)'in alabileceği en küçük değer (pozitif bir değer olduğu varsayılarak) sıfırdan büyük herhangi bir değerdir. Ancak soruda "en az kaç metre olmalıdır" sorusu, \( x \) için bir alt sınır bulmamızı gerektirir. Sorunun kurgusunda bir eksiklik veya belirsizlik bulunmaktadır. Eğer soru, "bir elbise için kullanılan kumaş miktarı \( x \) için bir üst sınır bulunuz" şeklinde olsaydı, cevap 4 olurdu. Mevcut haliyle, eğer 5 elbise dikilirse ve gelir 700 TL'yi aşarsa, \( x \le 4 \) olur. Bu durumda \( x \)'in en az değeri 0'dan büyük herhangi bir değer olabilir. Ancak bu tür sorularda genellikle pozitif değerler beklenir. Sorunun bu haliyle net bir "en az" değeri belirtmek zordur.

Bu yeni nesil soruyu çözmek için verilen bilgileri eşitsizliklere dökelim:

• Koşul 1: Her gün hedefinin altında adım atmıştır.
  Bu, her gün atılan adım sayısının \( a < 8000 \) olduğu anlamına gelir.
• Koşul 2: Bir hafta boyunca toplam attığı adım sayısı 49000'den fazladır.
  Bir haftada 7 gün vardır. Eğer her gün \( a \) adım atılırsa, toplam adım sayısı \( 7a \) olur. Bu toplam, 49000'den fazladır.
  \( 7a > 49000 \)
• Eşitsizlik 2'yi Çözme
  Eşitsizliğin her iki tarafını 7'ye bölelim:
  \( \frac{7a}{7} > \frac{49000}{7} \)
  \( a > 7000 \)
• Her İki Koşulu Sağlayan Eşitsizlik
  Şimdi her iki koşulu birleştirelim: \( a < 8000 \) (Her gün hedefinin altında) \( a > 7000 \) (Toplam adım sayısı 49000'den fazla) Bu iki koşulu birleştiren eşitsizlik sistemi şöyledir: \( 7000 < a < 8000 \).

✅ Bu hafta boyunca kullanıcının bir günde attığı adım sayısı \( a \) için olası değerleri belirleyen eşitsizlik \( 7000 < a < 8000 \) 'dir. 💡 Bu tür sorularda, verilen bilgileri dikkatlice analiz edip uygun matematiksel ifadelere dönüştürmek önemlidir.

Bu problemi, paketin ağırlığına göre iki farklı senaryo üzerinden inceleyerek çözebiliriz:

• Senaryo 1: Paket ağırlığı 5 kg veya daha az ise (\( w \le 5 \))
  Bu durumda ödenen ücret sabit 20 TL olmalıdır. Ancak müşteri 38 TL ödemiştir. Bu nedenle, bu senaryo mümkün değildir.
• Senaryo 2: Paket ağırlığı 5 kg'dan fazla ise (\( w > 5 \))
  Bu durumda ücret şu şekilde hesaplanır:
  Sabit ücret: 20 TL
  5 kg'dan sonraki ağırlık: \( w - 5 \) kg
  Ek ücret: \( 3 \times (w - 5) \) TL
  Toplam ücret: \( 20 + 3(w - 5) \) TL
• Ücret Eşitsizliğini Kurma
  Müşteri 38 TL ödediğine göre:
  \( 20 + 3(w - 5) = 38 \)
• Eşitsizliği Çözme
  Denklemi çözelim:
  \( 20 + 3w - 15 = 38 \)
  \( 5 + 3w = 38 \)
  Her iki taraftan 5 çıkaralım:
  \( 3w = 33 \)
  Her iki tarafı 3'e bölelim:
  \( w = 11 \)

✅ Paketin ağırlığı \( w \) olduğuna göre, \( w = 11 \) kg'dır. Soruda "olası değerleri gösteren eşitsizliği kurunuz ve çözünüz" denildiği için, bu durumda \( w \)'nin alabileceği tek değer 11'dir. Eğer soru, "en fazla kaç TL ödemiş olsaydı" gibi bir ifade içerseydi, bir eşitsizlik aralığı bulabilirdik. Bu problemde, ödenen sabit ücret ve ek ücret bilgisiyle ağırlık tam olarak belirlenmiştir. Bu nedenle, \( w = 11 \) kg'dır. Eğer soru, "eğer müşteri 38 TL'den az ödemiş olsaydı" şeklinde olsaydı, \( 20 + 3(w - 5) < 38 \) eşitsizliğini çözerdik.

Bu problemi bir eşitsizlik kurarak çözebiliriz.

• Adım 1: Değişken Tanımlama
  Sinemaya gidecek kişi sayısını \( k \) ile gösterelim.
• Adım 2: Toplam Harcama Eşitsizliğini Kurma
  Her bir bilet 40 TL olduğuna göre, \( k \) kişi için toplam bilet maliyeti \( 40k \) TL olur. Grup, toplamda 500 TL'den fazla harcama yapmak istemediğine göre:
  \( 40k \le 500 \)
• Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Eşitsizliğin her iki tarafını 40'a bölelim:
  \( \frac{40k}{40} \le \frac{500}{40} \)
  \( k \le \frac{50}{4} \)
  \( k \le 12.5 \)

✅ Sinemaya gidecek kişi sayısı tam sayı olmak zorundadır. \( k \le 12.5 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı 12'dir. Dolayısıyla, grup en fazla 12 kişi sinemaya gidebilir. 💡 Günlük hayatımızda bütçe planlaması yaparken bu tür eşitsizlikler çok işimize yarar.

Bu problemi çözmek için ortalama formülünü ve eşitsizlikleri kullanacağız.

• Adım 1: Değişken Tanımlama
  Beşinci sınavdan alınması gereken notu \( x \) ile gösterelim.
• Adım 2: Ortalama Eşitsizliğini Kurma
  Bir dönemdeki 5 sınavın ortalaması, tüm notların toplamının sınav sayısına bölünmesiyle bulunur. Öğrenci en az 85 ortalama istediğine göre:
  \(\frac{70 + 80 + 90 + 85 + x}{5} \ge 85 \)
• Adım 3: Eşitsizliği Çözme
  Önce ilk dört sınavın toplamını hesaplayalım: \( 70 + 80 + 90 + 85 = 325 \).
  Eşitsizliğimiz şöyle olur:
  \(\frac{325 + x}{5} \ge 85 \)
  Her iki tarafı 5 ile çarpalım:
  \( 325 + x \ge 85 \times 5 \)
  \( 325 + x \ge 425 \)
  Her iki taraftan 325 çıkaralım:
  \( x \ge 425 - 325 \)
  \( x \ge 100 \)

✅ Öğrencinin matematik dersinden ortalamasının en az 85 olması için beşinci sınavdan en az 100 puan alması gerekmektedir. 💡 Bu tür problemler, akademik başarıyı planlarken veya hedeflere ulaşmak için gereken minimum çabayı belirlerken kullanılır.