🎓 8. Sınıf (Lgs)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler zor sorular Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler zor sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli \( 2(x+3) - 5 = 3(x-1) + 2 \) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu tür denklemlerde amacımız bilinmeyeni (x) yalnız bırakmaktır. Adım adım ilerleyelim:
- Dağılma Özelliğini Kullanma: Parantez içindeki ifadeleri dıştaki sayıyla çarpalım.
\( 2 \cdot x + 2 \cdot 3 - 5 = 3 \cdot x - 3 \cdot 1 + 2 \)
\( 2x + 6 - 5 = 3x - 3 + 2 \) - Sadeleştirme: Eşitliğin her iki tarafındaki sabit terimleri toplayalım.
\( 2x + 1 = 3x - 1 \) - Bilinmeyenleri Bir Tarafa Toplama: Bilinmeyenleri (x'li terimleri) eşitliğin bir tarafına, sabit terimleri diğer tarafına alalım. Genellikle bilinmeyenleri daha büyük olan tarafa toplamak işlem kolaylığı sağlar.
\( 1 + 1 = 3x - 2x \)
\( 2 = x \) - Çözüm Kümesi: Denklemin çözümü \( x = 2 \) olarak bulunur. Çözüm kümesi {2} olur.
Örnek 2:
\( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
Çözüm:
Kesirli denklemlerde, kesirlerden kurtulmak için paydaların en küçük ortak katı (EKOK) ile denklemin her iki tarafını çarparız.
- Paydaların EKOK'unu Bulma: 2 ve 3'ün EKOK'u 6'dır.
- Denklemi Çarpma: Denklemin her iki tarafını 6 ile çarpalım.
\( 6 \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} \right) = 6 \cdot 5 \)
\( 6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 30 \) - Sadeleştirme: Kesirleri sadeleştirelim.
\( 3x + 2x = 30 \) - Bilinmeyeni Bulma: Benzer terimleri toplayıp \(x\)'i yalnız bırakalım.
\( 5x = 30 \)
\( x = \frac{30}{5} \)
\( x = 6 \)
Örnek 3:
Bir manav, elmaların çeyreğini sattıktan sonra kalan elmaların yarısını da bir başka müşteriye veriyor. Manavın başlangıçta kaç elması olduğunu bulmak için \(x\) bilinmeyenini kullanan bir denklem kurup çözelim. Manavın elinde sonunda 15 elma kaldığına göre, başlangıçta kaç elması vardı?
Çözüm:
Bu tür problemleri denklem kurarak çözebiliriz. Manavın başlangıçtaki elma sayısına \(x\) diyelim.
- Çeyreğini Satma: Manav elmaların \( \frac{1}{4}x \) kadarını satmıştır. Geriye kalan elma sayısı \( x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x \) olur.
- Kalanın Yarısını Verme: Kalan elmaların yarısını verdiğine göre, \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{3}{8}x \) kadar elma vermiştir.
- Son Kalan Elma Sayısı: Başlangıçtan verilen ve satılan elmaları çıkardığımızda kalan elma sayısı bulunur. Ya da, kalan \( \frac{3}{4}x \) elmanın yarısını verdiğine göre, elinde \( \frac{3}{4}x \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}x \) kadar elma kalmıştır.
- Denklem Kurma: Son durumda 15 elma kaldığına göre, denklemimiz şu şekildedir:
\( \frac{3}{8}x = 15 \) - Denklemi Çözme: \(x\)'i bulmak için her iki tarafı \( \frac{3}{8} \)'in tersi olan \( \frac{8}{3} \)'e çarparız.
\( x = 15 \cdot \frac{8}{3} \)
\( x = \frac{15 \cdot 8}{3} \)
\( x = 5 \cdot 8 \)
\( x = 40 \)
Örnek 4:
\( 5(x-1) - 2(x+3) = x + 7 \) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
Çözüm:
Yine dağılma özelliğini kullanarak parantezleri açalım ve denklemi sadeleştirelim.
- Dağılma Özelliği:
\( 5x - 5 - (2x + 6) = x + 7 \)
\( 5x - 5 - 2x - 6 = x + 7 \) - Sadeleştirme: Eşitliğin sol tarafındaki benzer terimleri birleştirelim.
\( (5x - 2x) + (-5 - 6) = x + 7 \)
\( 3x - 11 = x + 7 \) - Bilinmeyenleri Bir Tarafa: \(x\)'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa alalım.
\( 3x - x = 7 + 11 \)
\( 2x = 18 \) - x'i Bulma:
\( x = \frac{18}{2} \)
\( x = 9 \)
Örnek 5:
Ali'nin yaşının 3 katının 5 fazlası, 44'e eşittir. Ali'nin yaşını bir denklem kurarak bulalım.
Çözüm:
Bu problemi bir denklemle ifade edebiliriz. Ali'nin yaşına \(y\) diyelim.
- Denklemi Kurma: "Ali'nin yaşının 3 katı" ifadesi \( 3y \) olur. "Bunun 5 fazlası" demek \( 3y + 5 \) anlamına gelir. Bu değerin 44'e eşit olduğu söyleniyor.
\( 3y + 5 = 44 \) - Sabit Terimi Karşıya Atma: Eşitliğin her iki tarafındaki sabit terimleri gruplayalım. +5'i eşitliğin diğer tarafına -5 olarak geçiririz.
\( 3y = 44 - 5 \)
\( 3y = 39 \) - y'yi Bulma: \(y\)'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 3'e bölelim.
\( y = \frac{39}{3} \)
\( y = 13 \)
Örnek 6:
\( \frac{2x+1}{3} = \frac{x+3}{2} \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:
Bu denklemde de kesirler var. İçler dışlar çarpımı yaparak kesirlerden kurtulabiliriz.
- İçler Dışlar Çarpımı: Payların çaprazındaki paydalarla çarpımı birbirine eşittir.
\( 2 \cdot (2x+1) = 3 \cdot (x+3) \) - Dağılma Özelliğini Kullanma: Parantezleri açalım.
\( 4x + 2 = 3x + 9 \) - Bilinmeyenleri Bir Tarafa: \(x\)'li terimleri sol tarafa, sabit terimleri sağ tarafa taşıyalım.
\( 4x - 3x = 9 - 2 \)
\( x = 7 \)
Örnek 7:
Bir kitabın sayfa sayısının 2 eksiğinin yarısı, 35'e eşittir. Bu kitabın toplam sayfa sayısını bulmak için bir denklem kurup çözelim.
Çözüm:
Kitabın sayfa sayısına \(s\) diyelim.
- Denklemi Kurma:
"Sayfa sayısının 2 eksiği": \( s - 2 \)
"Bunun yarısı": \( \frac{s-2}{2} \)
Bu değerin 35'e eşit olduğu söyleniyor:
\( \frac{s-2}{2} = 35 \) - Denklemi Çözme:
Önce her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\( s - 2 = 35 \cdot 2 \)
\( s - 2 = 70 \)
Şimdi -2'yi eşitliğin diğer tarafına +2 olarak geçirelim:
\( s = 70 + 2 \)
\( s = 72 \)
Örnek 8:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{8} \) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu denklemde bilinmeyen paydada yer alıyor. Yine paydaları eşitleyip ilerleyebiliriz.
- Paydaları Eşitleme: En küçük ortak payda \( 2x \)'tir. Denklemin ilk terimini \( \frac{2}{2} \) ile genişletelim.
\( \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{8} \)
\( \frac{2}{2x} + \frac{1}{2x} = \frac{3}{8} \) - Kesirleri Birleştirme: Paydalar eşit olduğu için payları toplayabiliriz.
\( \frac{2+1}{2x} = \frac{3}{8} \)
\( \frac{3}{2x} = \frac{3}{8} \) - İçler Dışlar Çarpımı:
\( 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2x \)
\( 24 = 6x \) - x'i Bulma: Her iki tarafı 6'ya bölelim.
\( x = \frac{24}{6} \)
\( x = 4 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-birinci-dereceden-bir-bilinmeyenli-denklemler-zor-sorular/sorular