💡 8. Sınıf Matematik: Asal sayılar Çözümlü Örnekler
8. Sınıf Matematik: Asal sayılar Çözümlü Örnekler
💡 Soru: İki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının toplamı kaçtır?
✅ Çözüm:
Adım adım çözelim:
- İki basamaklı en küçük asal sayı \(11\) sayısıdır.
- İki basamaklı en büyük asal sayı \(97\) sayısıdır.
- Bizden bu iki sayının toplamı istenmektedir:
\[ 11 + 97 = 108 \]
👉 Cevap \(108\) olarak bulunur.
💡 Soru: \(180\) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^a \times 3^b \times 5^c\) olduğuna göre, \(a + b + c\) toplamı kaçtır?
✅ Çözüm:
\(180\) sayısını sırasıyla en küçük asal sayılardan başlayarak bölelim:
- \(180 \div 2 = 90\)
- \(90 \div 2 = 45\)
- \(45 \div 3 = 15\)
- \(15 \div 3 = 5\)
- \(5 \div 5 = 1\)
Bu durumda \(180\) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali şu şekildedir:
\[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \]
Buradan üsleri eşleştirdiğimizde:
- \(a = 2\)
- \(b = 2\)
- \(c = 1\)
Bizden istenen toplam:
\[ a + b + c = 2 + 2 + 1 = 5 \]
👉 Cevap \(5\) olarak bulunur.
💡 Soru: Bir \(A\) sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılışı \(A = 2^3 \times 3^2 \times 5\) olarak verilmiştir. Buna göre \(A\) sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni (çarpanı) vardır?
📌 İpucu: Bir sayının pozitif bölen sayısını bulmak için, asal çarpanlarının üsleri \(1\) artırılarak birbiriyle çarpılır.
✅ Çözüm:
Verilen \(A\) sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halini üslü biçimde yazalım:
\[ A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \]
Asal çarpanların üslerini belirleyelim:
- \(2\) tabanının üssü: \(3\)
- \(3\) tabanının üssü: \(2\)
- \(5\) tabanının üssü: \(1\)
Pozitif bölen sayısını bulmak için bu üsleri \(1\) artırıp çarpalım:
\[ (3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) \]
\[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \]
👉 Buna göre \(A\) sayısının toplam \(24\) tane pozitif tam sayı böleni vardır.
💡 Soru: \(A\) ve \(B\) pozitif tam sayılardır. \(A\) sayısının asal çarpanları sadece \(2\) ve \(3\), \(B\) sayısının asal çarpanları ise sadece \(3\) ve \(5\)'tir. Buna göre \(A + B\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
✅ Çözüm:
\(A + B\) toplamının en küçük olabilmesi için \(A\) ve \(B\) sayılarını en küçük seçmeliyiz.
- \(A\) sayısı için: Asal çarpanları sadece \(2\) ve \(3\) olduğuna göre, \(A\) sayısı en az birer tane \(2\) ve \(3\) çarpanı içermelidir. En küçük değer için üsleri \(1\) seçeriz:
- \(B\) sayısı için: Asal çarpanları sadece \(3\) ve \(5\) olduğuna göre, \(B\) sayısı en az birer tane \(3\) ve \(5\) çarpanı içermelidir. En küçük değer için üsleri \(1\) seçeriz:
\[ A = 2^1 \times 3^1 = 6 \]
\[ B = 3^1 \times 5^1 = 15 \]
Bizden istenen en küçük \(A + B\) toplamı:
\[ A + B = 6 + 15 = 21 \]
👉 Cevap \(21\) olarak bulunur.
💡 Soru: Bir şifreleme yönteminde, her harf o harfin alfabedeki sırasına karşılık gelen sayının asal çarpanlarının toplamı ile kodlanmaktadır.
Örneğin; Türkçe alfabede 10. sırada olan 'G' harfi için \(10 = 2 \times 5\) olduğundan kod değeri \(2 + 5 = 7\) olur.
Alfabemizde 12. sırada 'I' harfi ve 18. sırada 'M' harfi bulunmaktadır. Buna göre 'I' ve 'M' harflerinin kod değerlerinin çarpımı kaçtır?
✅ Çözüm:
Harflerin kod değerlerini adım adım hesaplayalım:
- 'I' harfinin kodu:
- 'I' harfi alfabede 12. sıradadır.
- \(12\) sayısının asal çarpanlarını bulalım: \(12 = 2^2 \times 3\). Farklı asal çarpanları \(2\) ve \(3\)'tür.
- Asal çarpanların toplamı: \(2 + 3 = 5\) olur. Yani 'I' harfinin kodu \(5\)'tir.
- 'M' harfinin kodu:
- 'M' harfi alfabede 18. sıradadır.
- \(18\) sayısının asal çarpanlarını bulalım: \(18 = 2 \times 3^2\). Farklı asal çarpanları \(2\) ve \(3\)'tür.
- Asal çarpanların toplamı: \(2 + 3 = 5\) olur. Yani 'M' harfinin kodu \(5\)'tir.
Bizden bu iki kod değerinin çarpımı istenmektedir:
\[ 5 \times 5 = 25 \]
👉 Cevap \(25\) olarak bulunur.
💡 Soru: Bir okulun kütüphanesindeki dolapların numaraları \(1\)'den \(100\)'e kadar sıralanmıştır. Sadece asal sayı numarasına sahip olan dolaplar kırmızı renge boyanacaktır. Buna göre, kütüphanede kırmızı renge boyanacak olan dolaplardan numarası \(40\) ile \(60\) arasında olan kaç tane dolap vardır?
✅ Çözüm:
Bizden \(40\) ile \(60\) arasındaki asal sayıları bulmamız istenmektedir. Bu aralıktaki sayıları tek tek inceleyelim:
- \(41\) sayısı asaldır.
- \(43\) sayısı asaldır.
- \(47\) sayısı asaldır.
- \(53\) sayısı asaldır.
- \(59\) sayısı asaldır.
Aralıktaki diğer sayılar çift olduklarından ya da \(3\), \(5\) gibi sayılara kalansız bölünebildiklerinden asal değildir.
Dolayısıyla \(40\) ile \(60\) arasında kırmızıya boyanacak dolap numaraları \(41\), \(43\), \(47\), \(53\) ve \(59\) olmak üzere toplam \(5\) tanedir.
💡 Soru: Bir dijital saatte saat kısmı asal sayı olduğunda ve dakika kısmı da saat kısmındaki sayının farklı asal çarpanlarının toplamına eşit olduğunda saat alarm vermektedir.
Örneğin saat \(05:05\) olduğunda; \(5\) sayısı asaldır ve \(5\)'in tek asal çarpanı \(5\) olduğu için dakika kısmı \(5\) olduğundan alarm çalar.
Buna göre, saat \(13\) iken alarmın çalması için dakika kısmının kaçı göstermesi gerekir?
✅ Çözüm:
Adım adım inceleyelim:
- Saat kısmında \(13\) yazmaktadır. \(13\) sayısı bir asal sayıdır. Dolayısıyla ilk şart sağlanmıştır.
- İkinci şart ise dakika kısmının, saat kısmındaki sayının farklı asal çarpanlarının toplamına eşit olmasıdır.
- \(13\) sayısı kendisi bir asal sayı olduğu için, sadece tek bir asal çarpana sahiptir ve o da \(13\) sayısıdır.
- Bu durumda farklı asal çarpanlarının toplamı sadece \(13\) olacaktır.
- O halde alarmın çalması için dakika kısmının \(13\)'ü göstermesi gerekir. Yani saat \(13:13\) olmalıdır.
👉 Cevap \(13\) dakikadır.
💡 Soru: Bir kargo şirketi, paketlerin üzerine güvenlik amacıyla barkod numaraları basmaktadır. Bu barkod numaraları belirlenirken paketin ağırlığının asal çarpanlarının çarpımı kullanılmaktadır.
Örneğin; \(30\) kg ağırlığındaki bir paketin asal çarpanları \(2\), \(3\) ve \(5\) olduğundan barkod numarası \(2 \times 3 \times 5 = 30\) olmaktadır.
Buna göre, ağırlığı \(80\) kg olan bir paketin güvenlik barkod numarası kaç olur?
✅ Çözüm:
Öncelikle \(80\) sayısının asal çarpanlarını bulmalıyız. \(80\) sayısını asal çarpan algoritması ile ayıralım:
- \(80 \div 2 = 40\)
- \(40 \div 2 = 20\)
- \(20 \div 2 = 10\)
- \(10 \div 2 = 5\)
- \(5 \div 5 = 1\)
Bu işlemler sonucunda \(80\) sayısının farklı asal çarpanlarının sadece \(2\) ve \(5\) sayıları olduğunu görürüz.
Kural gereği barkod numarası, bu farklı asal çarpanların çarpımı ile elde edilmektedir:
\[ 2 \times 5 = 10 \]
👉 Ağırlığı \(80\) kg olan paketin barkod numarası \(10\) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/8-sinif-matematik-asal-sayilar/sorular