📝 8. Sınıf Matematik: Asal sayılar Ders Notu
8. Sınıf LGS Matematik müfredatının ilk ünitesi olan "Çarpanlar ve Katlar" konusunun temel taşı asal sayılar ve asal çarpanlardır. LGS sınavında karşına çıkacak karmaşık EBOB-EKOK sorularını ve yeni nesil problemleri kolayca çözebilmek için asal sayıların mantığını çok iyi kavraman gerekir.
🔢 Asal Sayı Nedir ve Özellikleri Nelerdir?
Sadece \(1\)'e ve kendisine kalansız bölünebilen, \(1\)'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Bir sayının asal sayı olabilmesi için tam olarak iki adet pozitif tam sayı bölenine (çarpanına) sahip olması gerekir.
📌 Önemli Kurallar:
- En küçük asal sayı \(2\)'dir.
- \(2\)'den başka çift asal sayı yoktur. \(2\) dışındaki tüm asal sayılar tektir.
- \(1\) sayısı asal sayı değildir (Çünkü tek bir pozitif böleni vardır).
- Negatif sayılar asal sayı olarak kabul edilmez.
1'den 50'ye Kadar Olan Asal Sayılar:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\)
💡 Bir Doğal Sayının Asal Çarpanlarını Bulma Yöntemleri
Bir pozitif tam sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. 8. sınıf LGS müfredatında bir sayının asal çarpanlarını bulmak için iki temel yöntem kullanılır:
1. Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi)
Sayı yazılır ve yanına dikey bir çizgi çekilmiş gibi düşünülerek en küçük asal sayıdan (\(2\)'den) başlanarak sırayla asal sayılara bölünür. Bölüm \(1\) olana kadar işlem devam ettirilir.
Örnek: \(72\) sayısının asal çarpanlarını bulalım.
\(72 \div 2 = 36\)
\(36 \div 2 = 18\)
\(18 \div 2 = 9\)
\(9 \div 3 = 3\)
\(3 \div 3 = 1\)
Bu durumda \(72\) sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı:
\[ 72 = 2^3 \times 3^2 \]\(72\) sayısının asal çarpanları \(2\) ve \(3\)'tür.
2. Çarpan Ağacı Yöntemi
Sayı, iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayrılır. Elde edilen bileşik sayılar, asal sayı dallarına ulaşana kadar bölünmeye devam eder.
🤝 Aralarında Asal Sayılar (LGS İpuçları)
\(1\)'den başka ortak pozitif böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya aralarında asal sayılar denir. Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal sayı olması gerekmez.
| Sayı Çifti | Bölenleri | Aralarında Asal Mı? |
|---|---|---|
| \(8\) ve \(15\) | Ortak bölen sadece \(1\) | Evet |
| \(9\) ve \(12\) | Ortak bölenleri \(1\) ve \(3\) | Hayır |
| \(1\) ve \(17\) | Ortak bölen sadece \(1\) | Evet |
⚡ LGS Altın Kuralları:
- Ardışık doğal sayılar her zaman aralarında asaldır. Örneğin: \(14\) ile \(15\).
- Ardışık tek doğal sayılar her zaman aralarında asaldır. Örneğin: \(21\) ile \(23\).
- \(1\) sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
- İki farklı asal sayı her zaman aralarında asaldır. Örneğin: \(7\) ile \(13\).
📝 LGS Tarzı Çözümlü Örnek Sorular
Örnek 1: \(180\) sayısının asal çarpanlarının üslü biçimde gösterimi \(2^a \times 3^b \times 5^c\) olduğuna göre, \(a + b + c\) toplamı kaçtır?
Çözüm:
\(180\) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\(180 \div 2 = 90\)
\(90 \div 2 = 45\)
\(45 \div 3 = 15\)
\(15 \div 3 = 5\)
\(5 \div 5 = 1\)
Üslü gösterim:
\[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \]Buradan \(a = 2\), \(b = 2\) ve \(c = 1\) bulunur. Toplamları ise \(2 + 2 + 1 = 5\) olur.
Örnek 2: \(a\) ve \(b\) sayıları aralarında asaldır. \( \frac{a}{b} = \frac{20}{28} \) olduğuna göre, \(a + b\) kaçtır?
Çözüm:
\(a\) ve \(b\) aralarında asal olduğu için verilen kesrin en sade halinde olması gerekir. \( \frac{20}{28} \) kesrini \(4\) ile sadeleştirelim:
Artık \(5\) ve \(7\) sayıları aralarında asaldır. Dolayısıyla \(a = 5\) ve \(b = 7\)'dir. Toplamları ise \(5 + 7 = 12\) bulunur.