Asal çarpanlar Ders Notu

Bir doğal sayının çarpanları, aynı zamanda o sayıyı kalansız bölen sayılardır. 8. sınıf LGS matematik müfredatının temelini oluşturan pozitif tam sayıların asal çarpanlarına ayrılması konusu, çarpanlar ve katlar ünitesinin ilk adımını oluşturur.

📌 Asal Sayı Nedir?

Sadece \( 1 \) 'e ve kendisine tam bölünebilen, \( 1 \) 'den büyük doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı \( 2 \) 'dir ve \( 2 \) dışında çift asal sayı yoktur.

• İlk Asal Sayılar: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 \)...
• Not: \( 1 \) sayısı asal sayı değildir.
• Not: Negatif sayılar asal sayı olarak kabul edilmez.

🔢 Pozitif Tam Sayıların Çarpanları (Bölenleri)

Her pozitif tam sayı, iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu sayıların her birine o sayının çarpanı veya böleni denir.

Örnek: \( 24 \) sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını bulalım.
\( 24 = 1 \times 24 \)
\( 24 = 2 \times 12 \)
\( 24 = 3 \times 8 \)
\( 24 = 4 \times 6 \)
\( 24 \) sayısının pozitif çarpanları: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \) olmak üzere toplam \( 8 \) tanedir.

💡 Pozitif Tam Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına asal çarpan denir. Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için genel olarak iki farklı yöntem kullanılır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi

Verilen sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayrılır. En alt satırda sadece asal sayılar kalana kadar işleme devam edilir.

Örneğin \( 36 \) sayısı için çarpan ağacı adımları şu şekildedir:

• \( 36 = 2 \times 18 \)
• \( 18 = 2 \times 9 \)
• \( 9 = 3 \times 3 \)

Ulaşılan asal çarpanlar: \( 2, 2, 3, 3 \) sayılarıdır. Buradan \( 36 = 2^2 \times 3^2 \) şeklinde yazılır.

2. Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi)

Verilen sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm \( 1 \) olana kadar bölme işlemine devam edilir.

Örnek olarak \( 60 \) sayısını sırasıyla bölme adımlarıyla inceleyelim:

• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Elde edilen bölümler neticesinde \( 60 \) sayısının asal çarpanları \( 2, 3 \) ve \( 5 \) 'tir. Üslü ifade olarak gösterimi:

\[ 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \]

📊 Çarpan Analiz Tablosu

Sayı	Tüm Pozitif Çarpanları	Asal Çarpanları	Üslü Gösterimi
\( 12 \)	\( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \)	\( 2, 3 \)	\( 2^2 \times 3^1 \)
\( 45 \)	\( 1, 3, 5, 9, 15, 45 \)	\( 3, 5 \)	\( 3^2 \times 5^1 \)
\( 80 \)	\( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 \)	\( 2, 5 \)	\( 2^4 \times 5^1 \)

✏️ Çözümlü LGS Tipi Örnek Sorular

Soru 1

Bir dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları cm cinsinden birer pozitif tam sayıdır. Bu dikdörtgenin alanı \( 72 \text{ cm}^2 \) olduğuna göre, çevre uzunluğunun alabileceği en küçük değer kaç cm'dir?

Çözüm:
Dikdörtgenin alanı kısa ve uzun kenarın çarpımıdır. Kenar uzunlukları \( 72 \) sayısının pozitif çarpanları olmalıdır.

• \( 1 \times 72 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (1 + 72) = 146 \)
• \( 2 \times 36 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (2 + 36) = 76 \)
• \( 3 \times 24 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (3 + 24) = 54 \)
• \( 4 \times 18 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (4 + 18) = 44 \)
• \( 6 \times 12 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (6 + 12) = 36 \)
• \( 8 \times 9 \rightarrow \) Çevre = \( 2 \times (8 + 9) = 34 \)

Çevre uzunluğunun en küçük olması için birbirine en yakın çarpanlar seçilmelidir. Çevrenin en küçük değeri \( 34 \text{ cm} \) bulunur.

Soru 2

\( A = 2^a \times 3^b \times 5^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan \( A \) sayısı \( 180 \) olduğuna göre, \( a + b + c \) toplamı kaçtır?

Çözüm:
\( 180 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 180 \div 2 = 90 \)
• \( 90 \div 2 = 45 \)
• \( 45 \div 3 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Buna göre \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) biçiminde yazılır.

Buradan \( a = 2 \), \( b = 2 \) ve \( c = 1 \) bulunur. Toplamları ise \( a + b + c = 2 + 2 + 1 = 5 \) olur.