Yüzdeler ve denklemler Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Yüzdeler ve Denklemler

Bu bölümde, 7. sınıf matematik müfredatına uygun olarak yüzdeler konusunu ve yüzdelerle ilgili temel denklem kurma ve çözme becerilerini öğreneceğiz. Yüzdeler, günlük hayatımızın pek çok alanında karşımıza çıkar; indirimler, vergiler, faiz oranları, nüfus artışları gibi konularda yüzdeler kullanılır. Bu nedenle, yüzdeleri anlamak ve bu konuyu denklemlerle ilişkilendirmek matematiksel düşünme becerilerimizi geliştirmemize yardımcı olur.

Yüzde Kavramı

Yüzde, bir bütünün 100 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan kaçının alındığını gösteren bir orandır. Yüzde sembolü "%" ile gösterilir. Örneğin, %25 demek, bir bütünün 100 parçasından 25'i demektir. Bu, kesir olarak \frac{25}{100} veya ondalık sayı olarak 0.25'e eşittir.

Yüzdeleri Kesir ve Ondalık Sayılara Çevirme

• Bir yüzdeyi kesire çevirmek için, sayının yanına "%" sembolünü kaldırıp paya yazarız, paydaya ise 100 yazarız.
• Bir yüzdeyi ondalık sayıya çevirmek için, "%" sembolünü kaldırıp sayıyı 100'e böleriz.

Örnek 1:

Aşağıdaki yüzdeleri kesir ve ondalık sayılara çevirelim:

• %50 = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0.50
• %75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0.75
• %10 = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} = 0.10

Kesir ve Ondalık Sayıları Yüzdelere Çevirme

• Bir kesri yüzdeye çevirmek için, kesri ondalık sayıya çevirip 100 ile çarparız veya kesrin paydasını 100 yapmaya çalışırız.
• Bir ondalık sayıyı yüzdeye çevirmek için, sayıyı 100 ile çarparız ve yanına "%" sembolünü ekleriz.

Örnek 2:

Aşağıdaki kesir ve ondalık sayıları yüzdelere çevirelim:

• \frac{1}{4} = 0.25 = 0.25 \times 100 = %25
• \frac{3}{5} = 0.6 = 0.6 \times 100 = %60
• 0.45 = 0.45 \times 100 = %45

Yüzdelerle İlgili Denklemler

Yüzdelerle ilgili problemlerde genellikle bilinmeyen bir değer bulunur ve bu değeri bulmak için denklem kurarız. Temel denklem yapısı şöyledir: "Bir sayının %x'i y'dir." Bu ifadeyi matematiksel olarak şu şekilde yazabiliriz:

\[ x \times \frac{y}{100} = z \] Burada

• 'x' yüzdelik dilimi,
• 'y' ise yüzdelik dilimin alındığı bütünü (tamamı) temsil eder.
• 'z' ise bulunan yüzdelik değeri gösterir.

Bu temel denklem, problemdeki bilinmeyene göre farklı şekillerde kurulabilir.

Bilinmeyen Yüzdelik Değeri Bulma

Eğer bir sayının belirli bir yüzdesinin kaç olduğunu bulmamız gerekiyorsa, denklemimiz şu şekilde olur:

Problem: 200 sayısının %30'u kaçtır?

Çözüm:
Burada 'y' = 200 ve 'x' = 30'dur. Bulmamız gereken 'z' değeridir. \[ 30 \times \frac{200}{100} = z \] \[ 30 \times 2 = z \] \[ z = 60 \] Yani, 200 sayısının %30'u 60'tır.

Bilinmeyen Bütünü (Tamamı) Bulma

Eğer bir sayının belirli bir yüzdesinin biliniyorsa ve bu sayının tamamını bulmamız gerekiyorsa, denklemimiz şu şekilde olur:

Problem: Bir sayının %20'si 40 ise, bu sayı kaçtır?

Çözüm:
Burada 'x' = 20 ve 'z' = 40'tır. Bulmamız gereken 'y' değeridir. \[ 20 \times \frac{y}{100} = 40 \] Önce \frac{y}{100} ifadesini yalnız bırakalım: \[ \frac{y}{100} = \frac{40}{20} \] \[ \frac{y}{100} = 2 \] Şimdi 'y'yi bulmak için her iki tarafı 100 ile çarpalım: \[ y = 2 \times 100 \] \[ y = 200 \] Yani, bu sayı 200'dür.

Bilinmeyen Yüzdeyi Bulma

Eğer bir sayının başka bir sayının yüzde kaçı olduğunu bulmamız gerekiyorsa, denklemimiz şu şekilde olur:

Problem: 50 sayısı, 200 sayısının yüzde kaçıdır?

Çözüm:
Burada 'y' = 200 ve 'z' = 50'dir. Bulmamız gereken 'x' değeridir. \[ x \times \frac{200}{100} = 50 \] \[ x \times 2 = 50 \] Şimdi 'x'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \[ x = \frac{50}{2} \] \[ x = 25 \] Yani, 50 sayısı 200 sayısının %25'idir.

Günlük Hayattan Yüzde Problemleri

Problem: Bir mağaza, etiket fiyatı 150 TL olan bir üründe %10 indirim yapıyor. Bu ürünün indirimli fiyatı kaç TL olur?

Çözüm:
Önce indirimin miktarını bulalım: İndirim miktarı = 150 TL'nin %10'u \[ 10 \times \frac{150}{100} = 10 \times 1.5 = 15 \text{ TL} \] Şimdi indirimli fiyatı bulmak için etiket fiyatından indirim miktarını çıkaralım: İndirimli fiyat = Etiket fiyatı - İndirim miktarı İndirimli fiyat = 150 TL - 15 TL = 135 TL
Alternatif olarak, indirimli fiyat doğrudan bulunabilir: Ürünün %10'u indirimliyse, kalan %90'ı ödenir. İndirimli fiyat = 150 TL'nin %90'ı \[ 90 \times \frac{150}{100} = 90 \times 1.5 = 135 \text{ TL} \]

Problem: Bir sınıfta 30 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerin %60'ı kız ise, sınıfta kaç erkek öğrenci vardır?

Çözüm:
Önce sınıftaki kız öğrenci sayısını bulalım: Kız öğrenci sayısı = 30 öğrencinin %60'ı \[ 60 \times \frac{30}{100} = 60 \times 0.3 = 18 \text{ kız öğrenci} \] Sınıftaki toplam öğrenci sayısından kız öğrenci sayısını çıkararak erkek öğrenci sayısını bulabiliriz: Erkek öğrenci sayısı = Toplam öğrenci sayısı - Kız öğrenci sayısı Erkek öğrenci sayısı = 30 - 18 = 12 erkek öğrenci
Alternatif olarak, kız öğrencilerin yüzdesi %60 ise, erkek öğrencilerin yüzdesi %100 - %60 = %40'tır. Erkek öğrenci sayısı = 30 öğrencinin %40'ı \[ 40 \times \frac{30}{100} = 40 \times 0.3 = 12 \text{ erkek öğrenci} \]