💡 7. Sınıf Matematik: Yöndeş açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirine paralel olan \( d \) ve \( e \) doğrularını, üçüncü bir \( k \) doğrusu kesmektedir. Bu kesişim sonucunda oluşan açılardan, aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir.
📌 Soru: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan, sağ üst köşeye bakan açının ölçüsü \( 70^\circ \) ise, bu açının yöndeşi olan diğer açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Yöndeş açıların en temel özelliğini hatırlayalım:
✅ Paralel doğrular arasında kalan yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
👉 Soruda verilen açı sağ üst köşeye bakmaktadır.
👉 Bu açının yöndeşi olan diğer açı da aynı şekilde sağ üst köşeye bakmaktadır ve doğrular paralel olduğu için ölçüsü değişmez.
Sonuç olarak, yöndeş açının ölçüsü de \( 70^\circ \) olur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki metinsel tanıma göre bilinmeyen değeri bulunuz:
Birbirine paralel \( m \) ve \( n \) doğrularını kesen bir \( t \) doğrusu verilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( x + 25^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 85^\circ \) olarak belirlenmiştir.
💡 Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Çözüm adımlarını takip edelim:
1️⃣ Doğrular paralel olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir.
2️⃣ Bu durumda şu denklemi kurabiliriz: \[ x + 25 = 85 \]
3️⃣ \( x \) değerini yalnız bırakmak için \( 25 \) sayısını eşitliğin karşı tarafına çıkarma işlemi olarak göndeririz: \[ x = 85 - 25 \]
Merdiven Tasarımı: Bir marangoz, birbirine paralel basamakları olan bir kütüphane merdiveni yapmaktadır. Merdivenin yan taşıyıcı direği, basamaklarla belirli bir açı yaparak yükselmektedir.
🪜 Marangoz, en alt basamak ile yan direk arasındaki dar açıyı \( 75^\circ \) olarak ölçmüştür. Basamaklar birbirine paralel olduğuna göre, bir üstteki basamağın yan direkle yaptığı aynı yöndeki açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayattaki bu durumu matematiksel olarak modelleyelim:
📍 Merdiven basamakları birbirine paralel doğruları temsil eder.
📍 Yan taşıyıcı direk ise bu paralel doğruları kesen kesen doğruyu temsil eder.
📍 Basamakların direkle yaptığı aynı yöndeki açılar yöndeş açılardır.
✅ Paralel doğrularda yöndeş açılar eşit olduğu için, her basamağın direkle yaptığı açı aynıdır.
Bu nedenle, bir üstteki basamağın yan direkle yaptığı açı da \( 75^\circ \) olur.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Paralel \( a \) ve \( b \) doğrularını kesen bir \( c \) doğrusu üzerinde oluşan yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 3x - 10 \), diğerinin ölçüsü ise \( 2x + 20 \) derecedir.
Buna göre bu açıların her birinin ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Yöndeş açıların eşitliği kuralını kullanarak denklemi çözelim:
1️⃣ Denklem: \[ 3x - 10 = 2x + 20 \]
2️⃣ Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları bir tarafa toplayalım: \[ 3x - 2x = 20 + 10 \]
3️⃣ Buradan: \[ x = 30 \] bulunur.
4️⃣ Şimdi herhangi bir ifadede \( x \) yerine \( 30 \) yazarak açıyı bulalım: \[ 2 \times 30 + 20 = 60 + 20 = 80 \]
✅ Her bir açının ölçüsü \( 80^\circ \) olarak bulunur.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Şehir Planlama: Bir şehir plancısı, birbirine paralel olan "Lale Sokak" ve "Gül Sokak" isimli iki sokağı, bunları dik olmayan bir açıyla kesen "Atatürk Caddesi" ile birleştiriyor.
🗺️ Atatürk Caddesi ile Lale Sokak arasındaki kuzeydoğu yönüne bakan açının ölçüsü \( 5x - 40 \) derecedir. Aynı caddenin Gül Sokak ile yaptığı kuzeydoğu yönüne bakan açının ölçüsü ise \( 3x + 20 \) derecedir.
Sokaklar paralel olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu bir yeni nesil modelleme sorusudur:
📍 Sokakların paralel olması, yöndeş açıların eşitliğini kullanabileceğimizi gösterir.
📍 "Kuzeydoğu yönüne bakan" ifadesi, bu iki açının yöndeş olduğunu belirtir.
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları bir \( k \) doğrusu ile kesiliyor. Oluşan yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 4a + 10 \)'dur. Bu açının bütünleri (toplamları \( 180^\circ \) olan komşu açısı) ise \( 70^\circ \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Adım adım çözelim:
1️⃣ Önce yöndeş açılardan birinin değerini bulmalıyız. Soruda bir açının bütünlerinin \( 70^\circ \) olduğu söylenmiş.
2️⃣ Bütünler açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğu için: \[ 180 - 70 = 110 \] (Yöndeş açılardan birinin ölçüsü).
3️⃣ Yöndeş açılar birbirine eşit olduğu için \( 4a + 10 \) ifadesini \( 110 \)'a eşitleyelim: \[ 4a + 10 = 110 \]
Jaluzi Perde: Bir evin penceresindeki jaluzi perdelerin tüm şeritleri birbirine paraleldir. Perdeyi hareket ettiren ip, şeritleri kestiğinde her şeritte aynı açılar oluşur.
🪟 En üstteki şerit ile ip arasındaki yöndeş açılardan biri \( 125^\circ \) ise, bu açının hemen yanındaki (doğru açı oluşturan) komşu açının yöndeşi kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda hem doğru açı hem de yöndeş açı bilgisini kullanacağız:
1️⃣ Şeritler paralel olduğu için tüm şeritlerdeki açılar aynı konumlarda aynı değerdedir.
2️⃣ Verilen açı \( 125^\circ \). Bunun yanındaki komşu açı (doğru açı tamamlayıcısı): \[ 180 - 125 = 55 \]
3️⃣ Bu \( 55^\circ \)'lik açının yöndeşi, diğer tüm paralel şeritlerde aynı konumda bulunan açıdır.
4️⃣ Yöndeş açılar eşit olduğu için cevap değişmez.
✅ Cevap: \( 55^\circ \) olur.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir parkta bulunan birbirine paralel iki yürüyüş yolu, bir bisiklet yolu tarafından kesilmektedir. Bisiklet yolu ile 1. yürüyüş yolu arasındaki yöndeş açılardan biri \( 2x + 15 \) derecedir. 2. yürüyüş yolu ile bisiklet yolu arasındaki aynı yöne bakan açı ise \( 3x - 10 \) derecedir.
Buna göre bisiklet yolunun yürüyüş yollarıyla yaptığı bu geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Verilenleri kullanarak önce \( x \)'i, sonra açıyı bulalım:
4️⃣ Bulduğumuz \( 65^\circ \) bir dar açıdır. Soruda bizden bu kesişimdeki geniş açı istenebilir veya doğrudan bu açı sorulabilir. Eğer yöndeş açının kendisi soruluyorsa cevap \( 65 \)'tir.
5️⃣ Eğer bu açıyı \( 180 \)'e tamamlayan geniş açı soruluyorsa: \[ 180 - 65 = 115 \]
✅ Bu konumdaki dar yöndeş açılar \( 65^\circ \), geniş olanlar ise \( 115^\circ \)'dir.
7. Sınıf Matematik: Yöndeş açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan \( d \) ve \( e \) doğrularını, üçüncü bir \( k \) doğrusu kesmektedir. Bu kesişim sonucunda oluşan açılardan, aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir.
📌 Soru: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılardan, sağ üst köşeye bakan açının ölçüsü \( 70^\circ \) ise, bu açının yöndeşi olan diğer açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Yöndeş açıların en temel özelliğini hatırlayalım:
✅ Paralel doğrular arasında kalan yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
👉 Soruda verilen açı sağ üst köşeye bakmaktadır.
👉 Bu açının yöndeşi olan diğer açı da aynı şekilde sağ üst köşeye bakmaktadır ve doğrular paralel olduğu için ölçüsü değişmez.
Sonuç olarak, yöndeş açının ölçüsü de \( 70^\circ \) olur.
Örnek 2:
Aşağıdaki metinsel tanıma göre bilinmeyen değeri bulunuz:
Birbirine paralel \( m \) ve \( n \) doğrularını kesen bir \( t \) doğrusu verilmiştir. Bu doğruların oluşturduğu yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( x + 25^\circ \), diğerinin ölçüsü ise \( 85^\circ \) olarak belirlenmiştir.
💡 Buna göre \( x \) değeri kaçtır?
Çözüm:
Çözüm adımlarını takip edelim:
1️⃣ Doğrular paralel olduğu için yöndeş açılar birbirine eşittir.
2️⃣ Bu durumda şu denklemi kurabiliriz: \[ x + 25 = 85 \]
3️⃣ \( x \) değerini yalnız bırakmak için \( 25 \) sayısını eşitliğin karşı tarafına çıkarma işlemi olarak göndeririz: \[ x = 85 - 25 \]
Merdiven Tasarımı: Bir marangoz, birbirine paralel basamakları olan bir kütüphane merdiveni yapmaktadır. Merdivenin yan taşıyıcı direği, basamaklarla belirli bir açı yaparak yükselmektedir.
🪜 Marangoz, en alt basamak ile yan direk arasındaki dar açıyı \( 75^\circ \) olarak ölçmüştür. Basamaklar birbirine paralel olduğuna göre, bir üstteki basamağın yan direkle yaptığı aynı yöndeki açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Günlük hayattaki bu durumu matematiksel olarak modelleyelim:
📍 Merdiven basamakları birbirine paralel doğruları temsil eder.
📍 Yan taşıyıcı direk ise bu paralel doğruları kesen kesen doğruyu temsil eder.
📍 Basamakların direkle yaptığı aynı yöndeki açılar yöndeş açılardır.
✅ Paralel doğrularda yöndeş açılar eşit olduğu için, her basamağın direkle yaptığı açı aynıdır.
Bu nedenle, bir üstteki basamağın yan direkle yaptığı açı da \( 75^\circ \) olur.
Örnek 4:
Paralel \( a \) ve \( b \) doğrularını kesen bir \( c \) doğrusu üzerinde oluşan yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 3x - 10 \), diğerinin ölçüsü ise \( 2x + 20 \) derecedir.
Buna göre bu açıların her birinin ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Yöndeş açıların eşitliği kuralını kullanarak denklemi çözelim:
1️⃣ Denklem: \[ 3x - 10 = 2x + 20 \]
2️⃣ Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları bir tarafa toplayalım: \[ 3x - 2x = 20 + 10 \]
3️⃣ Buradan: \[ x = 30 \] bulunur.
4️⃣ Şimdi herhangi bir ifadede \( x \) yerine \( 30 \) yazarak açıyı bulalım: \[ 2 \times 30 + 20 = 60 + 20 = 80 \]
✅ Her bir açının ölçüsü \( 80^\circ \) olarak bulunur.
Örnek 5:
Şehir Planlama: Bir şehir plancısı, birbirine paralel olan "Lale Sokak" ve "Gül Sokak" isimli iki sokağı, bunları dik olmayan bir açıyla kesen "Atatürk Caddesi" ile birleştiriyor.
🗺️ Atatürk Caddesi ile Lale Sokak arasındaki kuzeydoğu yönüne bakan açının ölçüsü \( 5x - 40 \) derecedir. Aynı caddenin Gül Sokak ile yaptığı kuzeydoğu yönüne bakan açının ölçüsü ise \( 3x + 20 \) derecedir.
Sokaklar paralel olduğuna göre, \( x \) kaçtır?
Çözüm:
Bu bir yeni nesil modelleme sorusudur:
📍 Sokakların paralel olması, yöndeş açıların eşitliğini kullanabileceğimizi gösterir.
📍 "Kuzeydoğu yönüne bakan" ifadesi, bu iki açının yöndeş olduğunu belirtir.
Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları bir \( k \) doğrusu ile kesiliyor. Oluşan yöndeş açılardan birinin ölçüsü \( 4a + 10 \)'dur. Bu açının bütünleri (toplamları \( 180^\circ \) olan komşu açısı) ise \( 70^\circ \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözüm:
Adım adım çözelim:
1️⃣ Önce yöndeş açılardan birinin değerini bulmalıyız. Soruda bir açının bütünlerinin \( 70^\circ \) olduğu söylenmiş.
2️⃣ Bütünler açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğu için: \[ 180 - 70 = 110 \] (Yöndeş açılardan birinin ölçüsü).
3️⃣ Yöndeş açılar birbirine eşit olduğu için \( 4a + 10 \) ifadesini \( 110 \)'a eşitleyelim: \[ 4a + 10 = 110 \]
Jaluzi Perde: Bir evin penceresindeki jaluzi perdelerin tüm şeritleri birbirine paraleldir. Perdeyi hareket ettiren ip, şeritleri kestiğinde her şeritte aynı açılar oluşur.
🪟 En üstteki şerit ile ip arasındaki yöndeş açılardan biri \( 125^\circ \) ise, bu açının hemen yanındaki (doğru açı oluşturan) komşu açının yöndeşi kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda hem doğru açı hem de yöndeş açı bilgisini kullanacağız:
1️⃣ Şeritler paralel olduğu için tüm şeritlerdeki açılar aynı konumlarda aynı değerdedir.
2️⃣ Verilen açı \( 125^\circ \). Bunun yanındaki komşu açı (doğru açı tamamlayıcısı): \[ 180 - 125 = 55 \]
3️⃣ Bu \( 55^\circ \)'lik açının yöndeşi, diğer tüm paralel şeritlerde aynı konumda bulunan açıdır.
4️⃣ Yöndeş açılar eşit olduğu için cevap değişmez.
✅ Cevap: \( 55^\circ \) olur.
Örnek 8:
Bir parkta bulunan birbirine paralel iki yürüyüş yolu, bir bisiklet yolu tarafından kesilmektedir. Bisiklet yolu ile 1. yürüyüş yolu arasındaki yöndeş açılardan biri \( 2x + 15 \) derecedir. 2. yürüyüş yolu ile bisiklet yolu arasındaki aynı yöne bakan açı ise \( 3x - 10 \) derecedir.
Buna göre bisiklet yolunun yürüyüş yollarıyla yaptığı bu geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Verilenleri kullanarak önce \( x \)'i, sonra açıyı bulalım:
4️⃣ Bulduğumuz \( 65^\circ \) bir dar açıdır. Soruda bizden bu kesişimdeki geniş açı istenebilir veya doğrudan bu açı sorulabilir. Eğer yöndeş açının kendisi soruluyorsa cevap \( 65 \)'tir.
5️⃣ Eğer bu açıyı \( 180 \)'e tamamlayan geniş açı soruluyorsa: \[ 180 - 65 = 115 \]
✅ Bu konumdaki dar yöndeş açılar \( 65^\circ \), geniş olanlar ise \( 115^\circ \)'dir.