Sayılar ve nicelikler Ders Notu

🔢 Tam Sayılarla İşlemler ve Rasyonel Sayılar

7. sınıf matematik müfredatının temelini oluşturan tam sayılar ve rasyonel sayılar, günlük hayattaki pek çok hesaplamanın temelini oluşturur. Tam sayılar, sayı doğrusu üzerinde hem pozitif hem de negatif yönlü değerleri ifade etmemizi sağlar. Rasyonel sayılar ise bütünün parçalarını, yani kesirleri ve ondalık gösterimleri kapsayan geniş bir kümedir.

📌 Tam Sayılarla İşlemler

Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken işaretlere dikkat etmek gerekir. Aynı işaretli sayılar toplanırken sayılar toplanır ve ortak işaret sonucun önüne yazılır. Zıt işaretli sayılar toplanırken ise büyük olan sayıdan küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değerce büyük olan sayının işareti sonuca verilir.

Önemli Kural: İki negatif sayının çarpımı veya bölümü pozitif; biri negatif diğeri pozitif olan iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir.

Örnek: \( (-12) + (+5) \) işlemini yapalım. Zıt işaretli oldukları için \( 12 - 5 = 7 \) işlemini yaparız. 12 sayısı 5'ten büyük olduğu ve işareti negatif olduğu için sonuç \( -7 \) olur.

📊 Rasyonel Sayılar

Bir rasyonel sayı, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada \( a \) ve \( b \) birer tam sayı olup \( b \) sıfırdan farklı olmalıdır. Rasyonel sayılar kümesi \( Q \) harfi ile gösterilir.

• Pozitif rasyonel sayılar: \( \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 5 \) gibi.
• Negatif rasyonel sayılar: \( -\frac{2}{3}, -0,5, -4 \) gibi.

Rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendiğinde payı büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise sıralama pozitifmiş gibi yapılır ve yön değiştirilir.

💡 Günlük Yaşamdan Örnekler

Market alışverişlerinde veya indirim hesaplamalarında rasyonel sayıları sıkça kullanırız. Örneğin, bir ürünün fiyatı 100 TL iken %20 indirim yapıldığında, bu durum \( \frac{20}{100} \) oranında bir azalma demektir.

Çözümlü Örnek: Bir pastanın \( \frac{1}{4} \) ünü yiyen bir öğrencinin geriye ne kadar pastası kaldığını bulalım. Tamamı \( 1 \) kabul edilirse, işlem \( 1 - \frac{1}{4} \) olur. Paydaları eşitlediğimizde \( \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) sonucuna ulaşırız.

📝 Rasyonel Sayılarla İşlemler

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapmak için paydaların eşit olması şarttır. Çarpma işleminde ise paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Bölme işleminde ise birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

İşlem	Kural
Toplama	Paydaları eşitle, payları topla.
Çarpma	Pay ile payı, payda ile paydayı çarp.
Bölme	Birinciyi aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp.

Örnek: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} \) işlemini yapalım. Birinci kesri aynen yazıp ikinciyi ters çeviriyoruz: \( \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} \). Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde \( \frac{5}{6} \) sonucunu elde ederiz.