Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Ders Notu

Rasyonel sayılar, matematikte iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen sayılardır. Bu rasyonel sayılar, günlük hayatta daha kolay anlaşılır ve kullanılabilir hale getirmek için ondalık gösterimlerle ifade edilebilir. Bu konuda, rasyonel sayıları ondalık gösterime nasıl çevireceğimizi ve ondalık gösterimleri rasyonel sayıya nasıl dönüştüreceğimizi öğreneceğiz.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi Nedir? 🌟

Bir rasyonel sayı, \(a\) bir tam sayı ve \(b\) sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu kesirleri, virgül kullanarak ifade ettiğimiz sayılara ondalık gösterim denir. Ondalık gösterimler, tam kısmı ve kesir kısmını birbirinden ayırır.

Örneğin: \( \frac{1}{2} \) kesri, ondalık gösterim olarak \( 0.5 \) şeklinde yazılır.

Rasyonel Sayıyı Ondalık Gösterime Dönüştürme Yöntemleri

Rasyonel sayıları ondalık gösterime dönüştürmenin iki temel yöntemi vardır:

1. Paydayı 10, 100 veya 1000 Yapma Yöntemi

Bazı kesirlerin paydaları 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri şeklinde genişletilebilir veya sadeleştirilebilir. Bu durumda, kesri kolayca ondalık gösterime çevirebiliriz.

• Paydada kaç tane sıfır varsa, ondalık gösterimde virgülden sonra o kadar basamak olmalıdır.

Örnekler:

• \( \frac{3}{10} \): Paydada bir sıfır var, bu yüzden virgülden sonra bir basamak olacak. \[ \frac{3}{10} = 0.3 \]
• \( \frac{45}{100} \): Paydada iki sıfır var, bu yüzden virgülden sonra iki basamak olacak. \[ \frac{45}{100} = 0.45 \]
• \( \frac{7}{20} \): Paydayı 100 yapmak için 5 ile genişletiriz. \[ \frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0.35 \]
• \( \frac{1}{4} \): Paydayı 100 yapmak için 25 ile genişletiriz. \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0.25 \]
• \( \frac{9}{250} \): Paydayı 1000 yapmak için 4 ile genişletiriz. \[ \frac{9}{250} = \frac{9 \times 4}{250 \times 4} = \frac{36}{1000} = 0.036 \]

2. Bölme Yöntemi

Paydası 10, 100, 1000 yapılamayan veya bu şekilde genişletilmesi zor olan kesirleri ondalık gösterime çevirmek için payı paydaya böleriz. Bu bölme işlemi sonucunda ya sonlu (biten) bir ondalık gösterim ya da devirli (tekrarlayan) bir ondalık gösterim elde ederiz.

Sonlu Ondalık Gösterim Örnekleri:

• \( \frac{1}{2} \): 1'i 2'ye böldüğümüzde \( 0.5 \) elde ederiz. \[ 1 \div 2 = 0.5 \]
• \( \frac{3}{4} \): 3'ü 4'e böldüğümüzde \( 0.75 \) elde ederiz. \[ 3 \div 4 = 0.75 \]

Devirli Ondalık Gösterimler ✨

Bölme işlemi yapıldığında, ondalık kısımdaki rakamların belirli bir düzen içinde sürekli tekrar etmesiyle oluşan ondalık gösterimlere devirli ondalık gösterim denir.

Tekrar eden rakam veya rakam grubunun üzerine bir çizgi (¯) konularak gösterilir.

Örnekler:

• \( \frac{1}{3} \): 1'i 3'e böldüğümüzde \( 0.333... \) şeklinde devam eder. Bu sayıyı \( 0.\overline{3} \) olarak yazarız.
• \( \frac{2}{3} \): 2'yi 3'e böldüğümüzde \( 0.666... \) şeklinde devam eder. Bu sayıyı \( 0.\overline{6} \) olarak yazarız.
• \( \frac{5}{11} \): 5'i 11'e böldüğümüzde \( 0.454545... \) şeklinde devam eder. Bu sayıyı \( 0.\overline{45} \) olarak yazarız.
• \( \frac{1}{6} \): 1'i 6'ya böldüğümüzde \( 0.1666... \) şeklinde devam eder. Bu sayıyı \( 0.1\overline{6} \) olarak yazarız. Burada sadece 6 rakamı tekrar etmektedir.

Devirli Ondalık Gösterimlerin Özellikleri

• Devirli ondalık gösterimlerde, devreden kısım tek bir rakam olabileceği gibi birden fazla rakamdan da oluşabilir.
• Devreden kısım, virgülden hemen sonra başlayabilir veya virgülden sonraki bazı rakamlardan sonra başlayabilir.

Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Dönüştürme 📝

Sonlu (biten) ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (kesre) dönüştürmek oldukça basittir.

1. Ondalık sayının virgülsüz halini pay olarak yazarız.
2. Paydaya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren 10, 100, 1000 gibi bir sayı yazarız.
3. Elde ettiğimiz kesri sadeleştiririz (eğer gerekiyorsa).

Örnekler:

• \( 0.3 \): Virgülden sonra bir basamak olduğu için paydaya 10 yazarız. \[ 0.3 = \frac{3}{10} \]
• \( 0.25 \): Virgülden sonra iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız. \[ 0.25 = \frac{25}{100} \] Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} \)
• \( 1.7 \): Virgülden sonra bir basamak olduğu için paydaya 10 yazarız. Tam kısmı da kesrin önüne tam sayı olarak ekleriz veya bileşik kesre çeviririz. \[ 1.7 = 1\frac{7}{10} = \frac{1 \times 10 + 7}{10} = \frac{17}{10} \]
• \( 0.04 \): Virgülden sonra iki basamak olduğu için paydaya 100 yazarız. \[ 0.04 = \frac{4}{100} \] Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{4 \div 4}{100 \div 4} = \frac{1}{25} \)
• \( 2.125 \): Virgülden sonra üç basamak olduğu için paydaya 1000 yazarız. \[ 2.125 = 2\frac{125}{1000} = \frac{2 \times 1000 + 125}{1000} = \frac{2125}{1000} \] Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{2125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{17}{8} \)

Önemli Not ❗

Devirli ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirme yöntemleri, 7. sınıf müfredatında yer almamaktadır. Bu nedenle, sadece sonlu ondalık gösterimlerin rasyonel sayıya nasıl çevrildiğini bilmeniz yeterlidir.