💡 7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılar ve sayı doğrusunda gösterimi Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıda verilen sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim:
I. \( 5 \) II. \( -3 \) III. \( 0 \) IV. \( \frac{2}{7} \) V. \( \frac{8}{0} \)
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel sayılar, \( b \neq 0 \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. 💡
I. \( 5 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{5}{1} \)) rasyoneldir. ✅
II. \( -3 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{-3}{1} \)) rasyoneldir. ✅
III. \( 0 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{0}{1} \)) rasyoneldir. ✅
IV. \( \frac{2}{7} \): Zaten \( \frac{a}{b} \) formundadır, rasyoneldir. ✅
V. \( \frac{8}{0} \): Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Bu yüzden rasyonel sayı değildir. ❌
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
📌 Soru: \( -\frac{3}{4} \) rasyonel sayısını sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm ve Açıklama
Negatif rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için şu adımları takip ederiz:
Adım 1: Sayımız negatif olduğu için \( 0 \)'ın solunda yer alır. \( -\frac{3}{4} \) bir basit kesir olduğu için \( 0 \) ile \( -1 \) arasındadır.
Adım 2: Payda \( 4 \) olduğu için \( 0 \) ile \( -1 \) arasını 4 eş parçaya böleriz.
Adım 3: Pay \( 3 \) olduğu için \( 0 \)'dan başlayarak sola doğru 3 birim ilerleriz.
Sonuç: Ulaştığımız nokta \( -\frac{3}{4} \) rasyonel sayısının yeridir. 📍
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Sayı doğrusu üzerinde \( 1 \) ile \( 2 \) tam sayıları arası 5 eş parçaya bölünmüştür. Bu bölmelerden \( 1 \)'den sonraki 2. noktaya karşılık gelen rasyonel sayıyı bulalım.
Çözüm ve Açıklama
Bu tür sorularda tam sayılı kesir mantığını kullanırız: 📝
Sayı \( 1 \) ile \( 2 \) arasında olduğu için tam kısmımız \( 1 \)'dir.
Aralık \( 5 \) eş parçaya bölündüğü için paydamız \( 5 \)'tir.
\( 1 \)'den itibaren \( 2 \). nokta seçildiği için payımız \( 2 \)'dir.
🔍 Soru: \( -\frac{11}{3} \) rasyonel sayısı sayı doğrusunda hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
Çözüm ve Açıklama
Bir bileşik kesrin hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmak için onu tam sayılı kesre çevirmeliyiz: 🧐
\( 11 \)'in içinde \( 3 \), tam olarak 3 defa vardır ve kalan \( 2 \)'dir.
Yani; \( \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3} \) olur.
Sayımız negatif olduğu için: \( -\frac{11}{3} = -3 \frac{2}{3} \)
Bu sayı \( -3 \) tamdan daha küçüktür (daha soldadır).
Cevap: Sayı doğrusunda \( -3 \) ile \( -4 \) tam sayıları arasındadır. ✅
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
🍕 Günlük Hayat Örneği: Bir pizzacıda 4 arkadaş birer pizza sipariş ediyor. Pizzalar 8 dilime bölünmüş olarak geliyor. Ahmet pizzanın \( \frac{5}{8} \)'ini yiyor. Ahmet'in yediği miktarı sayı doğrusunda modelleyelim.
Çözüm ve Açıklama
Pizzanın tamamını \( 1 \) bütün olarak kabul edersek, Ahmet'in yediği miktar \( 0 \) ile \( 1 \) arasındadır:
Sayı doğrusunda \( 0 \) ve \( 1 \) noktalarını işaretleriz.
Pizzanın dilim sayısı olan \( 8 \), bizim paydamızdır. Aralığı 8 eş parçaya böleriz.
Ahmet \( 5 \) dilim yediği için \( 0 \)'dan sağa doğru 5 birim sayarız.
İşaretlediğimiz bu nokta Ahmet'in yediği pizzayı temsil eden \( \frac{5}{8} \) noktasıdır. 😋
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
🌡️ Soru: Bir laboratuvardaki hassas termometre, \( 0 \) derece ile \( -1 \) derece arasını 10 eşit bölmeye ayırmıştır. Sıcaklık düşüşü sonucunda cıva seviyesi \( 0 \)'dan başlayarak \( -1 \)'e doğru 7. bölmeye gelmiştir. Bu sıcaklık değerini rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Çözüm ve Açıklama
Yeni nesil sorularda görseli metne dökerek çözüme ulaşırız: ❄️
Termometre üzerindeki \( 0 \) ve \( -1 \) arası, sayı doğrusundaki negatif bölgeyi temsil eder.
Toplam Bölme Sayısı (Payda): \( 10 \)
İlerlenen Bölme Sayısı (Pay): \( 7 \)
Sıcaklık sıfırın altında olduğu için sayımız negatiftir.
Sonuç: Sıcaklık değeri \( -\frac{7}{10} \) olarak ifade edilir.
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
👉 Soru: \( \frac{x}{4} \) rasyonel sayısı \( 2 \) ile \( 3 \) tam sayıları arasında olduğuna göre, \( x \) yerine yazılabilecek tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Önce \( 2 \) ve \( 3 \) tam sayılarını paydası \( 4 \) olan rasyonel sayılara çevirelim:
\( 2 = \frac{8}{4} \)
\( 3 = \frac{12}{4} \)
Sayı bu iki değer arasında olduğuna göre: \[ \frac{8}{4} < \frac{x}{4} < \frac{12}{4} \]
Bu durumda \( x \) tam sayısı \( 9, 10, 11 \) değerlerini alabilir.
Toplam: \( 9 + 10 + 11 = 30 \) bulunur. ✅
8
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini rasyonel sayı (\( \frac{a}{b} \)) olarak en sade haliyle yazalım:
a) \( 0,4 \) b) \( -1,2 \)
Çözüm ve Açıklama
Ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken virgülden sonraki basamak sayısı paydanın \( 10 \)'un kuvveti olacağını belirler: ✍️
a) \( 0,4 \): Virgülden sonra bir basamak var. \[ \frac{4}{10} \] En sade hali için \( 2 \) ile sadeleştiririz: \( \frac{2}{5} \)
b) \( -1,2 \): Sayıyı virgülsüz paya yazarız, paydaya \( 10 \) yazarız. \[ -\frac{12}{10} \] En sade hali için \( 2 \) ile sadeleştiririz: \( -\frac{6}{5} \)
7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılar ve sayı doğrusunda gösterimi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıda verilen sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olduğunu belirleyelim:
I. \( 5 \) II. \( -3 \) III. \( 0 \) IV. \( \frac{2}{7} \) V. \( \frac{8}{0} \)
Çözüm:
Rasyonel sayılar, \( b \neq 0 \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır. 💡
I. \( 5 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{5}{1} \)) rasyoneldir. ✅
II. \( -3 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{-3}{1} \)) rasyoneldir. ✅
III. \( 0 \): Paydasına \( 1 \) yazılabildiği için (\( \frac{0}{1} \)) rasyoneldir. ✅
IV. \( \frac{2}{7} \): Zaten \( \frac{a}{b} \) formundadır, rasyoneldir. ✅
V. \( \frac{8}{0} \): Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Bu yüzden rasyonel sayı değildir. ❌
Örnek 2:
📌 Soru: \( -\frac{3}{4} \) rasyonel sayısını sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
Çözüm:
Negatif rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için şu adımları takip ederiz:
Adım 1: Sayımız negatif olduğu için \( 0 \)'ın solunda yer alır. \( -\frac{3}{4} \) bir basit kesir olduğu için \( 0 \) ile \( -1 \) arasındadır.
Adım 2: Payda \( 4 \) olduğu için \( 0 \) ile \( -1 \) arasını 4 eş parçaya böleriz.
Adım 3: Pay \( 3 \) olduğu için \( 0 \)'dan başlayarak sola doğru 3 birim ilerleriz.
Sonuç: Ulaştığımız nokta \( -\frac{3}{4} \) rasyonel sayısının yeridir. 📍
Örnek 3:
Sayı doğrusu üzerinde \( 1 \) ile \( 2 \) tam sayıları arası 5 eş parçaya bölünmüştür. Bu bölmelerden \( 1 \)'den sonraki 2. noktaya karşılık gelen rasyonel sayıyı bulalım.
Çözüm:
Bu tür sorularda tam sayılı kesir mantığını kullanırız: 📝
Sayı \( 1 \) ile \( 2 \) arasında olduğu için tam kısmımız \( 1 \)'dir.
Aralık \( 5 \) eş parçaya bölündüğü için paydamız \( 5 \)'tir.
\( 1 \)'den itibaren \( 2 \). nokta seçildiği için payımız \( 2 \)'dir.
🔍 Soru: \( -\frac{11}{3} \) rasyonel sayısı sayı doğrusunda hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
Çözüm:
Bir bileşik kesrin hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmak için onu tam sayılı kesre çevirmeliyiz: 🧐
\( 11 \)'in içinde \( 3 \), tam olarak 3 defa vardır ve kalan \( 2 \)'dir.
Yani; \( \frac{11}{3} = 3 \frac{2}{3} \) olur.
Sayımız negatif olduğu için: \( -\frac{11}{3} = -3 \frac{2}{3} \)
Bu sayı \( -3 \) tamdan daha küçüktür (daha soldadır).
Cevap: Sayı doğrusunda \( -3 \) ile \( -4 \) tam sayıları arasındadır. ✅
Örnek 5:
🍕 Günlük Hayat Örneği: Bir pizzacıda 4 arkadaş birer pizza sipariş ediyor. Pizzalar 8 dilime bölünmüş olarak geliyor. Ahmet pizzanın \( \frac{5}{8} \)'ini yiyor. Ahmet'in yediği miktarı sayı doğrusunda modelleyelim.
Çözüm:
Pizzanın tamamını \( 1 \) bütün olarak kabul edersek, Ahmet'in yediği miktar \( 0 \) ile \( 1 \) arasındadır:
Sayı doğrusunda \( 0 \) ve \( 1 \) noktalarını işaretleriz.
Pizzanın dilim sayısı olan \( 8 \), bizim paydamızdır. Aralığı 8 eş parçaya böleriz.
Ahmet \( 5 \) dilim yediği için \( 0 \)'dan sağa doğru 5 birim sayarız.
İşaretlediğimiz bu nokta Ahmet'in yediği pizzayı temsil eden \( \frac{5}{8} \) noktasıdır. 😋
Örnek 6:
🌡️ Soru: Bir laboratuvardaki hassas termometre, \( 0 \) derece ile \( -1 \) derece arasını 10 eşit bölmeye ayırmıştır. Sıcaklık düşüşü sonucunda cıva seviyesi \( 0 \)'dan başlayarak \( -1 \)'e doğru 7. bölmeye gelmiştir. Bu sıcaklık değerini rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Çözüm:
Yeni nesil sorularda görseli metne dökerek çözüme ulaşırız: ❄️
Termometre üzerindeki \( 0 \) ve \( -1 \) arası, sayı doğrusundaki negatif bölgeyi temsil eder.
Toplam Bölme Sayısı (Payda): \( 10 \)
İlerlenen Bölme Sayısı (Pay): \( 7 \)
Sıcaklık sıfırın altında olduğu için sayımız negatiftir.
Sonuç: Sıcaklık değeri \( -\frac{7}{10} \) olarak ifade edilir.
Örnek 7:
👉 Soru: \( \frac{x}{4} \) rasyonel sayısı \( 2 \) ile \( 3 \) tam sayıları arasında olduğuna göre, \( x \) yerine yazılabilecek tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Önce \( 2 \) ve \( 3 \) tam sayılarını paydası \( 4 \) olan rasyonel sayılara çevirelim:
\( 2 = \frac{8}{4} \)
\( 3 = \frac{12}{4} \)
Sayı bu iki değer arasında olduğuna göre: \[ \frac{8}{4} < \frac{x}{4} < \frac{12}{4} \]
Bu durumda \( x \) tam sayısı \( 9, 10, 11 \) değerlerini alabilir.
Toplam: \( 9 + 10 + 11 = 30 \) bulunur. ✅
Örnek 8:
Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık gösterimlerini rasyonel sayı (\( \frac{a}{b} \)) olarak en sade haliyle yazalım:
a) \( 0,4 \) b) \( -1,2 \)
Çözüm:
Ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken virgülden sonraki basamak sayısı paydanın \( 10 \)'un kuvveti olacağını belirler: ✍️
a) \( 0,4 \): Virgülden sonra bir basamak var. \[ \frac{4}{10} \] En sade hali için \( 2 \) ile sadeleştiririz: \( \frac{2}{5} \)
b) \( -1,2 \): Sayıyı virgülsüz paya yazarız, paydaya \( 10 \) yazarız. \[ -\frac{12}{10} \] En sade hali için \( 2 \) ile sadeleştiririz: \( -\frac{6}{5} \)