Orantılar Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Orantılar

Orantılar, iki oranın eşitliğini ifade eder. Matematikte ve günlük hayatta pek çok yerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir tarifteki malzemelerin oranları, harita üzerindeki mesafelerin gerçek mesafeye oranı gibi durumlar orantı ile ifade edilebilir. İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır. Eğer bir çokluk artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya tam tersi, bu iki çokluk ters orantılıdır.

Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyor veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki çokluk arasında doğru orantı vardır. Eğer \(a\) ve \(b\) çoklukları doğru orantılı ise, \( \frac{a}{b} = k \) (sabit) eşitliği sağlanır. Burada \(k\) bir orantı sabitidir.

Örnek 1:

Bir manavda elmaların kilogram fiyatı 5 TL'dir. Buna göre 3 kg elma kaç TL'dir?

Çözüm:

Elma miktarı (kg) ile ödenen para (TL) doğru orantılıdır. Orantı sabiti, kilogram fiyatıdır.

\( \frac{\text{Elma Miktarı}}{\text{Ödenen Para}} = k \)

\( \frac{1 \text{ kg}}{5 \text{ TL}} = k \)

Şimdi 3 kg elma için ödenen parayı bulalım:

\( \frac{3 \text{ kg}}{x \text{ TL}} = \frac{1 \text{ kg}}{5 \text{ TL}} \)

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\( 1 \times x = 3 \times 5 \)

\( x = 15 \text{ TL} \)

3 kg elma 15 TL'dir.

Örnek 2:

Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır (sabit sürede). Eğer araç 2 saatte 120 km yol alıyorsa, 5 saatte kaç km yol alır?

Çözüm:

Araç hızı ve aldığı yol doğru orantılıdır. Orantı sabiti, birim zamandaki mesafedir.

\( \frac{\text{Süre (saat)}}{\text{Alınan Yol (km)}} = k \)

\( \frac{2 \text{ saat}}{120 \text{ km}} = k \)

Şimdi 5 saatte alınacak yolu bulalım:

\( \frac{5 \text{ saat}}{y \text{ km}} = \frac{2 \text{ saat}}{120 \text{ km}} \)

İçler dışlar çarpımı:

\( 2 \times y = 5 \times 120 \)

\( 2y = 600 \)

\( y = \frac{600}{2} \)

\( y = 300 \text{ km} \)

Araç 5 saatte 300 km yol alır.

Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa, bu iki çokluk arasında ters orantı vardır. Eğer \(a\) ve \(b\) çoklukları ters orantılı ise, \( a \times b = k \) (sabit) eşitliği sağlanır. Burada \(k\) bir orantı sabitidir.

Örnek 3:

Bir işi 6 işçi 10 günde bitirebiliyorsa, aynı işi 4 işçi kaç günde bitirir?

Çözüm:

İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır. Daha çok işçi olursa iş daha kısa sürede biter.

\( \text{İşçi Sayısı} \times \text{Gün Sayısı} = k \)

\( 6 \text{ işçi} \times 10 \text{ gün} = k \)

\( k = 60 \)

Şimdi 4 işçi için gün sayısını bulalım:

\( 4 \text{ işçi} \times z \text{ gün} = 60 \)

\( z = \frac{60}{4} \)

\( z = 15 \text{ gün} \)

Aynı işi 4 işçi 15 günde bitirir.

Örnek 4:

Bir depodaki benzinin 30 litre olanı 15 gün yetiyorsa, 20 litre olanı kaç gün yeter?

Çözüm:

Depodaki benzin miktarı ile yeteceği gün sayısı ters orantılıdır. Daha az benzin olursa daha az gün yeter.

\( \text{Benzin Miktarı (litre)} \times \text{Gün Sayısı} = k \)

\( 30 \text{ litre} \times 15 \text{ gün} = k \)

\( k = 450 \)

Şimdi 20 litre benzin için gün sayısını bulalım:

\( 20 \text{ litre} \times m \text{ gün} = 450 \)

\( m = \frac{450}{20} \)

\( m = 22.5 \text{ gün} \)

20 litre benzin 22.5 gün yeter.

Orantı Problemlerinde Karşılaştırma

Bir problemde doğru orantı mı yoksa ters orantı mı olduğunu anlamak için problemdeki çoklukların birbirine olan etkileşimini düşünmek gerekir. Eğer bir çokluk artarken diğerinin de artması (veya azalırken azalması) bekleniyorsa doğru orantı; bir çokluk artarken diğerinin azalması (veya azalırken artması) bekleniyorsa ters orantı söz konusudur.

Örnek 5:

Bir miktar parayı 4 kişiye eşit olarak paylaştırırsak her birine 30 TL düşüyor. Aynı parayı 6 kişiye paylaştırırsak her birine kaç TL düşer?

Çözüm:

Para miktarı sabitken, kişi sayısı ile her bir kişiye düşen para miktarı ters orantılıdır. Kişi sayısı artarsa düşen para azalır.

\( \text{Kişi Sayısı} \times \text{Kişi Başına Düşen Para} = k \)

\( 4 \text{ kişi} \times 30 \text{ TL} = k \)

\( k = 120 \)

Şimdi 6 kişi için kişi başına düşen parayı bulalım:

\( 6 \text{ kişi} \times p \text{ TL} = 120 \)

\( p = \frac{120}{6} \)

\( p = 20 \text{ TL} \)

Aynı parayı 6 kişiye paylaştırırsak her birine 20 TL düşer.