💡 7. Sınıf Matematik: İki paralel ve bir kesen Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için yöndeş açıların özelliklerini kullanacağız.

• Verilen şekle göre, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir ve d3 doğrusu bunları kesmektedir.
• Kesme noktalarından birinde oluşan 70°'lik bir açı verilmiştir.
• Bu 70°'lik açı ile yöndeş olan açı, kesenin aynı tarafında ve aynı yöne bakmaktadır.
• Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğu için, aradığımız açının ölçüsü de 70°'dir.

İç ters açıların eşitliği kuralını uygulayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• Soruda verilen bilgiye göre, iki paralel doğruyu kesen bir kesen doğrusu vardır.
• Oluşan iç ters açılardan birinin ölçüsü 55° olarak verilmiştir.
• İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, diğer iç ters açının ölçüsü de 55° olacaktır.

Bu soruyu çözmek için yöndeş açıların tanımını ve özelliğini kullanacağız.

• d1 // d2 ve d3 kesen.
• d1 ile d3'ün oluşturduğu 110°'lik açı, d3'ün bir tarafında ve belirli bir yöne bakmaktadır.
• Aradığımız açı ise d2 ile d3'ün oluşturduğu ve kesenin aynı tarafında, aynı yöne bakan açıdır.
• Bu iki açı yöndeş açılardır.
• Yöndeş açıların ölçüleri eşit olduğu için, aradığımız açının ölçüsü de 110°'dir.

Bu soruda hem iç ters açıları hem de karşı durumlu açıları kullanacağız.

• İç Ters Açı: 80°'lik açıya iç ters olan açı, paralel doğruların arasında ve kesenin zıt tarafında yer alır. İç ters açılar eşit olduğu için, bu açının ölçüsü de 80°'dir.
• Karşı Durumlu Açı: 80°'lik açının bulunduğu noktada, 80°'lik açıyla aynı köşede olup birbirine çapraz bakan açılar ters açılardır ve ölçüleri eşittir (yani 80°). Karşı durumlu açılar ise, paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır. Bu iki açının toplamı 180°'dir. 80°'lik açının bulunduğu noktadaki ters açısı da 80°'dir. Bu 80°'lik ters açıyla, diğer paralel doğru üzerindeki açının toplamı 180° olmalıdır.
• Alternatif olarak, 80°'lik açının bütünleri (yani 180°'ye tamamlayan açı) 100°'dir. Bu 100°'lik açı, 80°'lik açıyla aynı tarafta olup paralel doğruların arasında yer alır. Bu da karşı durumlu açıdır.

Bu soruyu çözmek için iç ters açıların tanımını ve eşitliğini kullanacağız.

• d1 ve d2 doğruları paraleldir, d3 doğrusu ise kesendir.
• d1 ile d3'ün oluşturduğu 120°'lik açı verilmiştir.
• Aradığımız açı, d2 ile d3'ün oluşturduğu ve 120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alan iç ters açıdır.
• Öncelikle, 120°'lik açının bulunduğu noktadaki ters açıyı bulalım. Ters açılar eşittir, bu yüzden ters açının ölçüsü de 120°'dir.
• Şimdi, bu 120°'lik ters açı ile aradığımız iç ters açının ilişkisine bakalım. Bu iki açı karşı durumlu açılardır (paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında).
• Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir.
• Dolayısıyla, aradığımız iç ters açının ölçüsü \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
• Ancak soruda "120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alan iç ters açı" deniyor. Bu ifade aslında bir kafa karıştırıcıdır. Doğru iç ters açı, 120°'lik açının bulunduğu tarafta değil, zıt tarafta olmalıdır.
• Eğer soruyu "120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alan yöndeş açının ölçüsü ile, 120°'lik açının iç ters açısının ölçüsünü bulunuz" şeklinde anlarsak:
• 120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alan yöndeş açı, d2 doğrusu üzerinde ve aynı yöne bakan açıdır. Yöndeş açılar eşit olduğu için bu açı da 120°'dir.
• 120°'lik açının iç ters açısı ise, paralel doğruların arasında ve kesenin zıt tarafında yer alır. Bu açı, 120°'lik açının ters açısının bütünleridir. Yani \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur.
• Sorunun orijinal ifadesiyle devam edersek: 120°'lik açı ile, d2 doğrusu ile d3 doğrusunun oluşturduğu ve 120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alan iç ters açı arasındaki ilişkiyi bulmalıyız. Bu iç ters açı, 120°'lik açının bulunduğu tarafta yer alamaz.
• Doğru yorumlama şudur: 120°'lik açının iç tersi, diğer paralel doğru üzerinde ve kesenin zıt tarafındadır. Bu açı 60°'dir.
• Soruda kastedilen, 120°'lik açının bulunduğu noktadaki ters açısı (120°) ile, diğer paralel doğru üzerindeki iç ters açının (60°) ilişkisidir. Bu iki açı (120° ve 60°) karşı durumlu açılardır ve toplamları 180°'dir.

Bu soruda iç ters açıların eşitliği prensibini kullanarak bir denklem kuracağız.

• Soruda verilen bilgiye göre, iki açı birbirine iç terstir.
• İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, bu iki açıyı birbirine eşitleyebiliriz:
\[ 2x + 10^\circ = 3x - 5^\circ \]
• Denklemi x'i yalnız bırakmak için çözelim:
• Her iki taraftan \( 2x \) çıkaralım: \( 10^\circ = x - 5^\circ \)
• Her iki tarafa \( 5^\circ \) ekleyelim: \( 10^\circ + 5^\circ = x \)
• Bu durumda \( x = 15^\circ \) olur.
• Şimdi x'in değerini kullanarak açılardan birinin ölçüsünü hesaplayalım. İlk açı için:
\[ 2x + 10^\circ = 2(15^\circ) + 10^\circ = 30^\circ + 10^\circ = 40^\circ \]
• İkinci açı için de kontrol edelim:
\[ 3x - 5^\circ = 3(15^\circ) - 5^\circ = 45^\circ - 5^\circ = 40^\circ \]
• Her iki açının da ölçüsü 40° olarak bulunur.

Bu mimari tasarım problemini çözmek için yöndeş açıların özelliğini kullanacağız.

• Mimari modelde, zemin duvarları birbirine paraleldir (d1 // d2).
• Aydınlatma direği ise bu paralel duvarları kesen bir kesen doğrudur (d3).
• Bir duvarda (örneğin d1) aydınlatma direği ile oluşan 75°'lik bir açı verilmiştir.
• Aradığımız açı, diğer duvarda (d2) ve 75°'lik açıyla aynı yöne bakan açıdır.
• Bu iki açı yöndeş açılardır.
• Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, aradığımız açının ölçüsü de 75° olacaktır.

Bu tren yolu örneğini çözmek için karşı durumlu açıların özelliğini kullanacağız.

• Tren rayları birbirine paraleldir (d1 // d2).
• Makas kolu ise bu paralel rayları kesen bir kesen doğrudur (d3).
• Bir ray (d1) ile makas kolunun (d3) oluşturduğu açı 130° olarak verilmiştir.
• Aradığımız açı, diğer rayın (d2) makas kolu (d3) ile kesiştiği noktada oluşan ve ilk 130°'lik açıyla karşı durumlu olan açıdır.
• Karşı durumlu açıların toplamı 180°'dir.
• Bu nedenle, aradığımız açının ölçüsü \( 180^\circ - 130^\circ \) olacaktır.
• Hesaplama: \( 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)

Bu soruyu çözmek için karşı durumlu açıların toplamının 180° olması prensibini kullanarak bir denklem kuracağız.

• Soruda verilen bilgiye göre, iki açı birbirine karşı durumlu açılardır.
• Karşı durumlu açıların toplamı 180° olduğundan, bu iki açıyı toplayıp 180°'ye eşitleyebiliriz:
\[ (4a + 20^\circ) + (6a - 10^\circ) = 180^\circ \]
• Denklemi a'yı yalnız bırakmak için çözelim:
• Benzer terimleri birleştirelim: \( 10a + 10^\circ = 180^\circ \)
• Her iki taraftan \( 10^\circ \) çıkaralım: \( 10a = 170^\circ \)
• Her iki tarafı 10'a bölelim: \( a = \frac{170^\circ}{10} \)
• Bu durumda \( a = 17^\circ \) olur.
• Şimdi a'nın değerini kullanarak açılardan birinin ölçüsünü hesaplayalım. İlk açı için:
\[ 4a + 20^\circ = 4(17^\circ) + 20^\circ = 68^\circ + 20^\circ = 88^\circ \]
• İkinci açı için de kontrol edelim:
\[ 6a - 10^\circ = 6(17^\circ) - 10^\circ = 102^\circ - 10^\circ = 92^\circ \]
• Bu iki açının toplamı \( 88^\circ + 92^\circ = 180^\circ \) olmalıdır, ki bu da doğrudur.

Bu soruyu çözmek için dış ters açıların eşitliği prensibini kullanarak bir denklem kuracağız.

• Soruda verilen bilgiye göre, iki açı birbirine dış terstir.
• Dış ters açıların ölçüleri eşit olduğundan, bu iki açıyı birbirine eşitleyebiliriz:
\[ 5y - 30^\circ = 3y + 10^\circ \]
• Denklemi y'yi yalnız bırakmak için çözelim:
• Her iki taraftan \( 3y \) çıkaralım: \( 2y - 30^\circ = 10^\circ \)
• Her iki tarafa \( 30^\circ \) ekleyelim: \( 2y = 40^\circ \)
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( y = \frac{40^\circ}{2} \)
• Bu durumda \( y = 20^\circ \) olur.
• Şimdi y'nin değerini kullanarak açılardan birinin ölçüsünü hesaplayalım. İlk açı için:
\[ 5y - 30^\circ = 5(20^\circ) - 30^\circ = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ \]
• İkinci açı için de kontrol edelim:
\[ 3y + 10^\circ = 3(20^\circ) + 10^\circ = 60^\circ + 10^\circ = 70^\circ \]
• Her iki açının da ölçüsü 70° olarak bulunur.