💡 7. Sınıf Matematik: Eşkenar ve yamuğun alanı Çözümlü Örnekler

Yamuğun alanını hesaplamak için şu formülü kullanırız: Alan = \( \frac{(a+b) \times h}{2} \) Burada:

• \( a \) ve \( b \) yamuğun taban uzunluklarıdır.
• \( h \) yamuğun yüksekliğidir.

Verilen değerler:

• \( a = 10 \) cm
• \( b = 15 \) cm
• \( h = 8 \) cm

Formülde yerine koyalım:

• Alan = \( \frac{(10 + 15) \times 8}{2} \)
• Alan = \( \frac{25 \times 8}{2} \)
• Alan = \( \frac{200}{2} \)
• Alan = \( 100 \) cm²

✅ Sonuç: Yamuğun alanı 100 cm²'dir.

Eşkenar dörtgenin alanını köşegenleri kullanarak hesaplamak için şu formülü kullanırız: Alan = \( \frac{d_1 \times d_2}{2} \) Burada:

• \( d_1 \) ve \( d_2 \) eşkenar dörtgenin köşegen uzunluklarıdır.

Verilen değerler:

• \( d_1 = 12 \) cm
• \( d_2 = 10 \) cm

Formülde yerine koyalım:

• Alan = \( \frac{12 \times 10}{2} \)
• Alan = \( \frac{120}{2} \)
• Alan = \( 60 \) cm²

💡 İpucu: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir. Kenar uzunluğu doğrudan alan formülünde kullanılmaz. ✅ Sonuç: Eşkenar dörtgenin alanı 60 cm²'dir.

Yamuk şeklindeki bahçenin alanını hesaplamak için yamuk alanı formülünü kullanacağız: Alan = \( \frac{(a+b) \times h}{2} \) Verilenler:

• Paralel kenarlar (tabanlar): \( a = 20 \) m, \( b = 30 \) m
• Yükseklik: \( h = 15 \) m

Hesaplama adımları:

• Önce tabanları toplayalım: \( 20 + 30 = 50 \) m
• Sonra bu toplamı yükseklikle çarpalım: \( 50 \times 15 = 750 \) m²
• Son olarak sonucu 2'ye bölelim: \( \frac{750}{2} = 375 \) m²

✅ Sonuç: Bahçenin alanı 375 metrekaredir.

Eşkenar dörtgenin alan formülü: Alan = \( \frac{d_1 \times d_2}{2} \) Verilenler:

• Alan = \( 96 \) cm²
• Bir köşegen: \( d_1 = 16 \) cm
• Diğer köşegen: \( d_2 \) (bulunacak)

Formülü kullanarak \( d_2 \)'yi bulalım:

• \( 96 = \frac{16 \times d_2}{2} \)
• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 96 \times 2 = 16 \times d_2 \)
• \( 192 = 16 \times d_2 \)
• \( d_2 \)'yi bulmak için 192'yi 16'ya bölelim: \( d_2 = \frac{192}{16} \)
• \( d_2 = 12 \) cm

✅ Sonuç: Diğer köşegenin uzunluğu 12 cm'dir.

Öncelikle alanları aynı birime çevirelim. Karenin kenarı 5 metre = 500 cm'dir. 1. Karenin Alanını Hesaplama: * Karenin bir kenarı \( a = 500 \) cm. * Karenin Alanı = \( a^2 = 500^2 = 250000 \) cm². 2. Bir Yamuk Fayansın Alanını Hesaplama: * Yamuk fayansın tabanları \( a = 20 \) cm, \( b = 30 \) cm. * Yamuk fayansın yüksekliği \( h = 10 \) cm. * Yamuk Alanı = \( \frac{(a+b) \times h}{2} = \frac{(20+30) \times 10}{2} = \frac{50 \times 10}{2} = \frac{500}{2} = 250 \) cm². 3. Gereken Fayans Sayısını Bulma: * Gereken Fayans Sayısı = \( \frac{\text{Karenin Alanı}}{\text{Bir Yamuk Fayansın Alanı}} \) * Gereken Fayans Sayısı = \( \frac{250000}{250} \) * Gereken Fayans Sayısı = \( 1000 \) adet. ✅ Sonuç: Kare şeklindeki alanı kaplamak için 1000 adet yamuk fayans gereklidir.

Eşkenar dörtgen şeklindeki tarla bölümünün alanını hesaplamak için köşegenleri kullanacağız: Alan = \( \frac{d_1 \times d_2}{2} \) Verilenler:

• Köşegen 1: \( d_1 = 40 \) m
• Köşegen 2: \( d_2 = 30 \) m

Hesaplama adımları:

• Köşegenleri çarpalım: \( 40 \times 30 = 1200 \) m²
• Sonucu 2'ye bölelim: \( \frac{1200}{2} = 600 \) m²

💡 Bu formül, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin birbirini dik ortaladığı bilgisinden türetilmiştir. ✅ Sonuç: Çiftçi bu bölümde 600 metrekarelik bir alana ekim yapmıştır.

Yamuğun alanı formülü: Alan = \( \frac{(a+b) \times h}{2} \) Verilenler:

• Alan = \( 210 \) cm²
• Bir taban: \( a = 12 \) cm
• Yükseklik: \( h = 10 \) cm
• Diğer taban: \( b \) (bulunacak)

Formülde verilenleri yerine koyalım:

• \( 210 = \frac{(12+b) \times 10}{2} \)
• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 210 \times 2 = (12+b) \times 10 \)
• \( 420 = (12+b) \times 10 \)
• Her iki tarafı 10'a bölelim: \( \frac{420}{10} = 12+b \)
• \( 42 = 12+b \)
• \( b \)'yi bulmak için 42'den 12'yi çıkaralım: \( b = 42 - 12 \)
• \( b = 30 \) cm

✅ Sonuç: Yamuğun diğer tabanının uzunluğu 30 cm'dir.

Öncelikle eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bulalım:

• Çevre = 4 x kenar
• 68 cm = 4 x kenar
• Kenar = \( \frac{68}{4} = 17 \) cm

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Bu, bir kenarı, köşegenlerin yarısı ile oluşan dik üçgenin hipotenüsü yapar.

• Bir köşegen \( d_1 = 16 \) cm ise, yarısı \( \frac{16}{2} = 8 \) cm'dir.
• Diğer köşegen \( d_2 \)'nin yarısı \( x \) olsun.
• Dik üçgenin kenarları 8 cm ve \( x \) cm, hipotenüsü ise 17 cm'dir.

Pisagor teoremini kullanalım: \( 8^2 + x^2 = 17^2 \)

• \( 64 + x^2 = 289 \)
• \( x^2 = 289 - 64 \)
• \( x^2 = 225 \)
• \( x = \sqrt{225} = 15 \) cm

Bu \( x \) değeri, diğer köşegenin yarısıdır. Dolayısıyla diğer köşegen \( d_2 = 2 \times x = 2 \times 15 = 30 \) cm'dir. Şimdi eşkenar dörtgenin alanını hesaplayabiliriz: Alan = \( \frac{d_1 \times d_2}{2} \) Alan = \( \frac{16 \times 30}{2} \) Alan = \( \frac{480}{2} \) Alan = \( 240 \) cm² ✅ Sonuç: Eşkenar dörtgenin alanı 240 cm²'dir.