💡 7. Sınıf Matematik: Eşitliğin Korunumu Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir terazinin sol kefesinde 5 kg elma ve sağ kefesinde 5 kg armut bulunmaktadır. Bu terazi dengededir. Eğer terazinin her iki kefesine de 2 kg'lık bir ağırlık eklersek, terazi yine dengede kalır mı? Bu durumu matematiksel bir eşitlikle gösterelim. 🍎⚖️🍐
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle, problemdeki durumu matematiksel bir eşitlik olarak ifade edelim:
Başlangıçta terazi dengede olduğu için eşitliğimiz şöyledir: \[ 5 = 5 \]
Terazinin her iki kefesine de 2 kg ağırlık ekleyelim. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde eşitlik bozulmaz. ✅
Sol taraf yeni durumda: \( 5 + 2 = 7 \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 5 + 2 = 7 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 7 = 7 \]
Gördüğümüz gibi, terazi hala dengede kalır. 💡 Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin toplama işlemi için bir örneğidir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir sepette 12 tane portakal ve başka bir sepette 12 tane mandalina var. Sepetlerdeki meyve sayıları eşittir. Eğer her iki sepetten de 3'er tane meyve alırsak, sepetlerdeki meyve sayıları eşit kalır mı? Bu durumu matematiksel olarak ifade edelim. 🍊🧺🍋
Çözüm ve Açıklama
Problemdeki durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
Başlangıçta meyve sayıları eşit olduğu için eşitliğimiz: \[ 12 = 12 \]
Her iki sepetten de 3'er tane meyve alalım. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitlik bozulmaz. ✅
Sol taraf yeni durumda: \( 12 - 3 = 9 \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 12 - 3 = 9 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 9 = 9 \]
Evet, sepetlerdeki meyve sayıları yine eşit kalır. 👉 Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin çıkarma işlemi için bir örneğidir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir denge terazisinde, sol kefede bir miktar ağırlık (x) ve sağ kefede 4 kg ağırlık bulunmaktadır. Terazi dengededir. Eğer her iki kefedeki ağırlığı 3 katına çıkarırsak, terazi yine dengede kalır mı? Eşitliği kullanarak gösterelim. ⚖️⬆️
Çözüm ve Açıklama
Problemi matematiksel bir eşitlik olarak ifade edelim:
Başlangıçtaki eşitliğimiz: \[ x = 4 \]
Her iki kefedeki ağırlığı 3 katına çıkaralım. Yani her iki tarafı 3 ile çarpalım. 💡 Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz.
Sol taraf yeni durumda: \( x \times 3 = 3x \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 4 \times 3 = 12 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 3x = 12 \]
Bu durumda terazi yine dengede kalır. Eğer \( x=4 \) ise, \( 3 \times 4 = 12 \) olur ve eşitlik sağlanır. ✅ Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin çarpma işlemi için bir örneğidir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Ahmet'in kumbarasında belirli bir miktar para (y TL) ve Ayşe'nin kumbarasında da aynı miktar para bulunmaktadır. Yani Ayşe'nin kumbarasında da y TL vardır. Eğer her ikisi de paralarının yarısını harcarsa, kalan paraları eşit olur mu? Bu durumu matematiksel bir eşitlikle açıklayalım. 💰💸
Çözüm ve Açıklama
Problemi matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
Başlangıçtaki eşitliğimiz: \[ y = y \]
Her ikisi de paralarının yarısını harcadığı için, kalan paraları başlangıçtaki paralarının yarısıdır. Yani her iki tarafı 2'ye bölelim. 💡 Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayıya bölündüğünde eşitlik bozulmaz.
Sol taraf yeni durumda: \( \frac{y}{2} \)
Sağ taraf yeni durumda: \( \frac{y}{2} \)
Yeni eşitliğimiz: \[ \frac{y}{2} = \frac{y}{2} \]
Evet, kalan paraları eşit olur. ✅ Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin bölme işlemi için bir örneğidir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir bilinmeyen sayının 2 katının 3 fazlası 11'e eşittir. Bu bilinmeyen sayıyı (x) bulunuz. Eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak adımları gösterin. ➕✖️
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle problemi matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ 2x + 3 = 11 \]
Amacımız x'i yalnız bırakmaktır. Bunun için eşitliğin korunumu ilkesini adım adım uygulayalım:
İlk olarak, eşitliğin her iki tarafından 3 çıkaralım ki \( 2x \) ifadesi yalnız kalsın. ➖
\( 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \)
\[ 2x = 8 \]
Şimdi \( 2x \) ifadesindeki 2'den kurtulmak için eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim. ➗
\( \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \)
\[ x = 4 \]
Bilinmeyen sayı 4'tür. Eşitliğin korunumu ilkesini adım adım uygulayarak doğru sonuca ulaştık. ✅
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 25 öğrenci olduğuna göre, bu sınıftaki erkek öğrenci sayısını bulunuz. 🧑🎓👧👦
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle, bilinmeyenleri tanımlayalım:
Erkek öğrenci sayısı: \( e \)
Kız öğrenci sayısı: \( k \)
Sorudaki bilgilere göre eşitliklerimizi yazalım:
Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir:
\[ k = 2e - 5 \]
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 25'tir:
\[ e + k = 25 \]
Şimdi, ilk eşitlikteki \( k \) değerini ikinci eşitlikte yerine yazalım. Bu bir eşitlik olduğu için \( k \) yerine \( 2e - 5 \) yazabiliriz. 💡
\[ e + (2e - 5) = 25 \]
Eşitliği düzenleyelim:
\[ 3e - 5 = 25 \]
Şimdi eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak \( e \)'yi bulalım:
Eşitliğin her iki tarafına 5 ekleyelim (çıkarma işlemini tersine çevirmek için):
\( 3e - 5 + 5 = 25 + 5 \)
\[ 3e = 30 \]
Şimdi eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim (çarpma işlemini tersine çevirmek için):
\( \frac{3e}{3} = \frac{30}{3} \)
\[ e = 10 \]
Bu sınıfta 10 erkek öğrenci vardır. ✅
Kontrol edelim: Erkek sayısı 10 ise, kız sayısı \( 2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15 \) olur. Toplam öğrenci sayısı \( 10 + 15 = 25 \) olur, bu da sorudaki bilgiyle uyuşmaktadır. 👍
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Zeynep, annesinden aldığı harçlığın (x TL) üzerine babasından da 20 TL alırsa, toplam 50 TL'si olacaktır. Zeynep'in annesinden kaç TL harçlık aldığını bulmak için eşitliğin korunumu ilkesini nasıl kullanırız? 👧💸🎁
Çözüm ve Açıklama
Zeynep'in annesinden aldığı harçlık \( x \) TL olsun. Babasından 20 TL alınca toplam parası 50 TL oluyor. Bu durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ x + 20 = 50 \]
Zeynep'in annesinden aldığı harçlığı bulmak için \( x \)'i yalnız bırakmalıyız. 💡
Bunun için eşitliğin sol tarafındaki +20'den kurtulmalıyız. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitlik bozulmaz. ➖
Eşitliğin her iki tarafından 20 çıkaralım:
\( x + 20 - 20 = 50 - 20 \)
\[ x = 30 \]
Yani Zeynep annesinden 30 TL harçlık almıştır. ✅ Eşitliğin korunumu ilkesi, günlük hayattaki bu tür problemleri çözmemize yardımcı olur.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir terzi, elindeki kumaşın (y metre) yarısını bir elbise dikmek için kullandı. Geriye 7 metre kumaşı kaldığına göre, terzinin başlangıçta kaç metre kumaşı vardı? Bu problemi eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak çözünüz. 🧵👗✂️
Çözüm ve Açıklama
Terzinin başlangıçtaki kumaş miktarı \( y \) metre olsun. Kumaşın yarısını kullanınca geriye 7 metre kalıyor. Bu durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ \frac{y}{2} = 7 \]
Başlangıçtaki kumaş miktarını (y) bulmak için \( y \)'yi yalnız bırakmalıyız. 💡
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemini tersine çevirmek için çarpma işlemi yapmalıyız. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz. ✖️
Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
\( \frac{y}{2} \times 2 = 7 \times 2 \)
\[ y = 14 \]
Yani terzinin başlangıçta 14 metre kumaşı vardı. ✅ Bu problemde de eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak bilinmeyeni kolayca bulduk.
7. Sınıf Matematik: Eşitliğin Korunumu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir terazinin sol kefesinde 5 kg elma ve sağ kefesinde 5 kg armut bulunmaktadır. Bu terazi dengededir. Eğer terazinin her iki kefesine de 2 kg'lık bir ağırlık eklersek, terazi yine dengede kalır mı? Bu durumu matematiksel bir eşitlikle gösterelim. 🍎⚖️🍐
Çözüm:
Öncelikle, problemdeki durumu matematiksel bir eşitlik olarak ifade edelim:
Başlangıçta terazi dengede olduğu için eşitliğimiz şöyledir: \[ 5 = 5 \]
Terazinin her iki kefesine de 2 kg ağırlık ekleyelim. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklendiğinde eşitlik bozulmaz. ✅
Sol taraf yeni durumda: \( 5 + 2 = 7 \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 5 + 2 = 7 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 7 = 7 \]
Gördüğümüz gibi, terazi hala dengede kalır. 💡 Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin toplama işlemi için bir örneğidir.
Örnek 2:
Bir sepette 12 tane portakal ve başka bir sepette 12 tane mandalina var. Sepetlerdeki meyve sayıları eşittir. Eğer her iki sepetten de 3'er tane meyve alırsak, sepetlerdeki meyve sayıları eşit kalır mı? Bu durumu matematiksel olarak ifade edelim. 🍊🧺🍋
Çözüm:
Problemdeki durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
Başlangıçta meyve sayıları eşit olduğu için eşitliğimiz: \[ 12 = 12 \]
Her iki sepetten de 3'er tane meyve alalım. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitlik bozulmaz. ✅
Sol taraf yeni durumda: \( 12 - 3 = 9 \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 12 - 3 = 9 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 9 = 9 \]
Evet, sepetlerdeki meyve sayıları yine eşit kalır. 👉 Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin çıkarma işlemi için bir örneğidir.
Örnek 3:
Bir denge terazisinde, sol kefede bir miktar ağırlık (x) ve sağ kefede 4 kg ağırlık bulunmaktadır. Terazi dengededir. Eğer her iki kefedeki ağırlığı 3 katına çıkarırsak, terazi yine dengede kalır mı? Eşitliği kullanarak gösterelim. ⚖️⬆️
Çözüm:
Problemi matematiksel bir eşitlik olarak ifade edelim:
Başlangıçtaki eşitliğimiz: \[ x = 4 \]
Her iki kefedeki ağırlığı 3 katına çıkaralım. Yani her iki tarafı 3 ile çarpalım. 💡 Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz.
Sol taraf yeni durumda: \( x \times 3 = 3x \)
Sağ taraf yeni durumda: \( 4 \times 3 = 12 \)
Yeni eşitliğimiz: \[ 3x = 12 \]
Bu durumda terazi yine dengede kalır. Eğer \( x=4 \) ise, \( 3 \times 4 = 12 \) olur ve eşitlik sağlanır. ✅ Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin çarpma işlemi için bir örneğidir.
Örnek 4:
Ahmet'in kumbarasında belirli bir miktar para (y TL) ve Ayşe'nin kumbarasında da aynı miktar para bulunmaktadır. Yani Ayşe'nin kumbarasında da y TL vardır. Eğer her ikisi de paralarının yarısını harcarsa, kalan paraları eşit olur mu? Bu durumu matematiksel bir eşitlikle açıklayalım. 💰💸
Çözüm:
Problemi matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
Başlangıçtaki eşitliğimiz: \[ y = y \]
Her ikisi de paralarının yarısını harcadığı için, kalan paraları başlangıçtaki paralarının yarısıdır. Yani her iki tarafı 2'ye bölelim. 💡 Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayıya bölündüğünde eşitlik bozulmaz.
Sol taraf yeni durumda: \( \frac{y}{2} \)
Sağ taraf yeni durumda: \( \frac{y}{2} \)
Yeni eşitliğimiz: \[ \frac{y}{2} = \frac{y}{2} \]
Evet, kalan paraları eşit olur. ✅ Bu, eşitliğin korunumu ilkesinin bölme işlemi için bir örneğidir.
Örnek 5:
Bir bilinmeyen sayının 2 katının 3 fazlası 11'e eşittir. Bu bilinmeyen sayıyı (x) bulunuz. Eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak adımları gösterin. ➕✖️
Çözüm:
Öncelikle problemi matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ 2x + 3 = 11 \]
Amacımız x'i yalnız bırakmaktır. Bunun için eşitliğin korunumu ilkesini adım adım uygulayalım:
İlk olarak, eşitliğin her iki tarafından 3 çıkaralım ki \( 2x \) ifadesi yalnız kalsın. ➖
\( 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \)
\[ 2x = 8 \]
Şimdi \( 2x \) ifadesindeki 2'den kurtulmak için eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim. ➗
\( \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \)
\[ x = 4 \]
Bilinmeyen sayı 4'tür. Eşitliğin korunumu ilkesini adım adım uygulayarak doğru sonuca ulaştık. ✅
Örnek 6:
Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir. Sınıfta toplam 25 öğrenci olduğuna göre, bu sınıftaki erkek öğrenci sayısını bulunuz. 🧑🎓👧👦
Çözüm:
Öncelikle, bilinmeyenleri tanımlayalım:
Erkek öğrenci sayısı: \( e \)
Kız öğrenci sayısı: \( k \)
Sorudaki bilgilere göre eşitliklerimizi yazalım:
Kız öğrenci sayısı, erkek öğrenci sayısının 2 katından 5 eksiktir:
\[ k = 2e - 5 \]
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 25'tir:
\[ e + k = 25 \]
Şimdi, ilk eşitlikteki \( k \) değerini ikinci eşitlikte yerine yazalım. Bu bir eşitlik olduğu için \( k \) yerine \( 2e - 5 \) yazabiliriz. 💡
\[ e + (2e - 5) = 25 \]
Eşitliği düzenleyelim:
\[ 3e - 5 = 25 \]
Şimdi eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak \( e \)'yi bulalım:
Eşitliğin her iki tarafına 5 ekleyelim (çıkarma işlemini tersine çevirmek için):
\( 3e - 5 + 5 = 25 + 5 \)
\[ 3e = 30 \]
Şimdi eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim (çarpma işlemini tersine çevirmek için):
\( \frac{3e}{3} = \frac{30}{3} \)
\[ e = 10 \]
Bu sınıfta 10 erkek öğrenci vardır. ✅
Kontrol edelim: Erkek sayısı 10 ise, kız sayısı \( 2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15 \) olur. Toplam öğrenci sayısı \( 10 + 15 = 25 \) olur, bu da sorudaki bilgiyle uyuşmaktadır. 👍
Örnek 7:
Zeynep, annesinden aldığı harçlığın (x TL) üzerine babasından da 20 TL alırsa, toplam 50 TL'si olacaktır. Zeynep'in annesinden kaç TL harçlık aldığını bulmak için eşitliğin korunumu ilkesini nasıl kullanırız? 👧💸🎁
Çözüm:
Zeynep'in annesinden aldığı harçlık \( x \) TL olsun. Babasından 20 TL alınca toplam parası 50 TL oluyor. Bu durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ x + 20 = 50 \]
Zeynep'in annesinden aldığı harçlığı bulmak için \( x \)'i yalnız bırakmalıyız. 💡
Bunun için eşitliğin sol tarafındaki +20'den kurtulmalıyız. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarıldığında eşitlik bozulmaz. ➖
Eşitliğin her iki tarafından 20 çıkaralım:
\( x + 20 - 20 = 50 - 20 \)
\[ x = 30 \]
Yani Zeynep annesinden 30 TL harçlık almıştır. ✅ Eşitliğin korunumu ilkesi, günlük hayattaki bu tür problemleri çözmemize yardımcı olur.
Örnek 8:
Bir terzi, elindeki kumaşın (y metre) yarısını bir elbise dikmek için kullandı. Geriye 7 metre kumaşı kaldığına göre, terzinin başlangıçta kaç metre kumaşı vardı? Bu problemi eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak çözünüz. 🧵👗✂️
Çözüm:
Terzinin başlangıçtaki kumaş miktarı \( y \) metre olsun. Kumaşın yarısını kullanınca geriye 7 metre kalıyor. Bu durumu matematiksel bir eşitlik olarak yazalım:
\[ \frac{y}{2} = 7 \]
Başlangıçtaki kumaş miktarını (y) bulmak için \( y \)'yi yalnız bırakmalıyız. 💡
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemini tersine çevirmek için çarpma işlemi yapmalıyız. Eşitliğin korunumu ilkesine göre, bir eşitliğin her iki tarafı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpıldığında eşitlik bozulmaz. ✖️
Eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
\( \frac{y}{2} \times 2 = 7 \times 2 \)
\[ y = 14 \]
Yani terzinin başlangıçta 14 metre kumaşı vardı. ✅ Bu problemde de eşitliğin korunumu ilkesini kullanarak bilinmeyeni kolayca bulduk.