🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar karmaşık test Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Doğrular ve açılar karmaşık test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılarla ilgili bir soru:
Şekilde AB // CD'dir.
E noktasında kesişen bu doğrular ve kesen, şekildeki açıları oluşturmuştur.
m(∡AEF) = 75° olduğuna göre, m(∡CFG) kaç derecedir?
Şekilde AB // CD'dir.
E noktasında kesişen bu doğrular ve kesen, şekildeki açıları oluşturmuştur.
m(∡AEF) = 75° olduğuna göre, m(∡CFG) kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için paralel doğrular ve kesenler arasındaki açı ilişkilerini kullanacağız. 💡
- Öncelikle, m(∡AEF) ve m(∡CEG) ters açılardır. Bu nedenle, m(∡CEG) = m(∡AEF) = 75° olur.
- AB // CD olduğundan, m(∡AEF) ve m(∡CFG) karşı durumlu açılardır. Karşı durumlu açılar bütünlerdir, yani toplamları 180°dir.
- Bu durumda, m(∡AEF) + m(∡CFG) = 180° olmalıdır.
- Verilen m(∡AEF) = 75° değerini yerine koyarsak: 75° + m(∡CFG) = 180°
- m(∡CFG) = 180° - 75° = 105° bulunur.
Örnek 2:
Tümler ve bütünler açılarla ilgili bir soru:
Bir açının ölçüsü, bu açının bütünler açısının ölçüsünün yarısına eşittir.
Bu açının tümler açısının ölçüsü kaç derecedir?
Bir açının ölçüsü, bu açının bütünler açısının ölçüsünün yarısına eşittir.
Bu açının tümler açısının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim. 🤔
- Bir açının ölçüsüne \( x \) diyelim.
- Bu açının bütünler açısının ölçüsü \( 180^\circ - x \) olur.
- Soruda verilen bilgiye göre, \( x = \frac{1}{2} (180^\circ - x) \) denklemini kurabiliriz.
- Denklemi çözelim:
- \( 2x = 180^\circ - x \)
- \( 2x + x = 180^\circ \)
- \( 3x = 180^\circ \)
- \( x = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \)
- Şimdi bu açının tümler açısını bulalım. Tümler açılar toplamı \( 90^\circ \) olan açılardır.
- Açının tümler açısı = \( 90^\circ - x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) olur.
Örnek 3:
Üç doğru parçasının kesişimiyle oluşan açılar hakkında bir soru:
Birbirini kesen üç doğru parçası O noktasında kesişmektedir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \( 40^\circ \) ise, bu açı ile ters açı olmayan ve komşu olmayan bir açının ölçüsü kaç derecedir?
Birbirini kesen üç doğru parçası O noktasında kesişmektedir.
Bu doğruların oluşturduğu açılardan birinin ölçüsü \( 40^\circ \) ise, bu açı ile ters açı olmayan ve komşu olmayan bir açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu tür sorularda saat yönünde veya tersi yönde ilerleyerek açıları bulabiliriz. 🧭
- Üç doğru O noktasında kesiştiğinde toplamda 6 açı oluşur.
- Oluşan bu 6 açı, 3 ters açı çiftinden oluşur.
- Verilen açı \( 40^\circ \) ise, bunun ters açısı da \( 40^\circ \) olur.
- Bir tam açı \( 360^\circ \) olduğundan, kalan \( 360^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 360^\circ - 80^\circ = 280^\circ \) olur.
- Bu \( 280^\circ \) ise, kalan 4 açıya eşit olarak paylaştırılacaktır.
- Bu 4 açı, ikişerli ters açılardır.
- Yani, \( 280^\circ / 2 = 140^\circ \) olur. Bu \( 140^\circ \) ikişerli ters açı çiftlerinin her birinin toplamıdır.
- Bu durumda, \( 140^\circ / 2 = 70^\circ \) olur.
- Soruda bizden ters açı olmayan ve komşu olmayan bir açı soruluyor.
- Eğer başlangıçtaki \( 40^\circ \) açısını ele alırsak, onun ters açısı \( 40^\circ \)'dir.
- Komşu açıları ise \( 70^\circ \) ve \( 70^\circ \) olur.
- Bu durumda, ters açı olmayan ve komşu olmayan açı, \( 140^\circ \) olan açıdır.
- Ancak soruda "bir açının ölçüsü 40 derece ise" deniliyor. Bu, oluşan açılardan birinin 40 derece olduğu anlamına gelir.
- Eğer bir açı \( 40^\circ \) ise, ters açısı da \( 40^\circ \)'dir.
- Diğer iki doğru parçasının oluşturduğu açılar ise \( (360^\circ - 80^\circ) / 2 = 140^\circ \) olur.
- Bu \( 140^\circ \) iki farklı açıya bölünür, yani \( 70^\circ \) ve \( 70^\circ \)'dir.
- Yani açılar \( 40^\circ \), \( 70^\circ \), \( 70^\circ \), \( 40^\circ \), \( 70^\circ \), \( 70^\circ \) şeklinde olur.
- \( 40^\circ \) açısının tersi \( 40^\circ \)'dir.
- \( 40^\circ \) açısının komşuları \( 70^\circ \) ve \( 70^\circ \)'dir.
- Bu durumda, ters açı olmayan ve komşu olmayan bir açı, \( 70^\circ \) olur.
Örnek 4:
Bir dijital saatte akrep ve yelkovanın oluşturduğu açılarla ilgili bir soru:
Saat 3:00'ı gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasında oluşan dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Saat 3:00'ı gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasında oluşan dar açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Dijital saatlerde akrep ve yelkovan arasındaki açıyı hesaplamak için saatleri bir çember gibi düşünebiliriz. 🕒
- Bir tam çember \( 360^\circ \)dir.
- Bir saatte 12 saat dilimi bulunur.
- Bu nedenle, her bir saat dilimi arasındaki açı \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) olur.
- Saat 3:00'ı gösterdiğinde, yelkovan 12'nin üzerinde, akrep ise tam olarak 3'ün üzerindedir.
- Akrep ve yelkovan arasında 3 saat dilimi kadar mesafe vardır.
- Bu durumda, aradaki açı \( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \) olur.
Örnek 5:
Bir evin duvarındaki saatte akrep ve yelkovan arasındaki açıları gözlemleyelim.
Saat 4:00'ı gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
Saat 4:00'ı gösterdiğinde akrep ve yelkovan arasındaki geniş açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda da saat dilimleri arasındaki açıları kullanacağız. ⏰
- Her bir saat dilimi arasındaki açı \( 30^\circ \) idi.
- Saat 4:00'ı gösterdiğinde, yelkovan 12'nin üzerinde, akrep ise tam olarak 4'ün üzerindedir.
- Akrep ve yelkovan arasında 4 saat dilimi kadar mesafe vardır.
- Bu durumda, aradaki dar açı \( 4 \times 30^\circ = 120^\circ \) olur.
- Soruda bizden geniş açı soruluyor.
- Bir tam açı \( 360^\circ \) olduğundan, geniş açı = \( 360^\circ - \text{dar açı} \)
- Geniş açı = \( 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \) olur.
Örnek 6:
Komşu açılar ve açıortay ile ilgili bir soru:
AOB ve BOC komşu açılardır.
m(∡AOC) = 110° ve m(∡BOC) = 40°'dir.
OD, ∡AOC'nin açıortayı olduğuna göre, m(∡BOD) kaç derecedir?
AOB ve BOC komşu açılardır.
m(∡AOC) = 110° ve m(∡BOC) = 40°'dir.
OD, ∡AOC'nin açıortayı olduğuna göre, m(∡BOD) kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözerek doğru sonuca ulaşalım. ➕
- Verilen bilgilere göre, m(∡AOC) = 110° ve m(∡BOC) = 40°.
- AOB ve BOC komşu açılar olduğundan, m(∡AOB) + m(∡BOC) = m(∡AOC) ilişkisi geçerlidir.
- Ancak soruda m(∡AOC) = 110° ve m(∡BOC) = 40° verilmiş. Bu durumda m(∡AOB) = m(∡AOC) - m(∡BOC) = 110° - 40° = 70° olur.
- OD, ∡AOC'nin açıortayıdır. Bu, OD'nin ∡AOC'yi iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir.
- Bu nedenle, m(∡AOD) = m(∡DOC) = \( \frac{m(∡AOC)}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \) olur.
- Şimdi m(∡BOD)'yi bulmak için, m(∡BOC) ve m(∡DOC) arasındaki ilişkiyi kullanabiliriz.
- m(∡BOD) = m(∡DOC) - m(∡BOC) veya m(∡BOD) = m(∡AOD) - m(∡AOB) şeklinde iki farklı şekilde hesaplanabilir.
- m(∡DOC) = 55° ve m(∡BOC) = 40° olduğundan, m(∡BOD) = 55° - 40° = 15° olur.
- Alternatif olarak, m(∡AOD) = 55° ve m(∡AOB) = 70° olduğundan, bu durum m(∡BOD) = m(∡AOB) - m(∡AOD) = 70° - 55° = 15° şeklinde de hesaplanabilir.
Örnek 7:
Ters açıları bulma sorusu:
İki doğrunun kesişimiyle oluşan açılardan biri \( 52^\circ \) ise, bu açı ile ters açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
İki doğrunun kesişimiyle oluşan açılardan biri \( 52^\circ \) ise, bu açı ile ters açı olan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Ters açıların temel özelliğini hatırlayalım. 🔄
- Ters açılar, kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve kolları birbirinin uzantısı olan açılardır.
- Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
- Bu soruda, verilen açı \( 52^\circ \) ise, bu açı ile ters açı olan açının ölçüsü de doğrudan \( 52^\circ \) olacaktır.
Örnek 8:
Bir parktaki yürüyüş yolunun iki farklı bölümünün kesişimiyle oluşan açılarla ilgili bir soru:
Bir parkta, birbirini dik kesen iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolların kesişim noktasında oluşan dört açıdan biri \( 90^\circ \) ise, bu açıyla komşu olan ve dar açı olmayan açının ölçüsü kaç derecedir?
Bir parkta, birbirini dik kesen iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolların kesişim noktasında oluşan dört açıdan biri \( 90^\circ \) ise, bu açıyla komşu olan ve dar açı olmayan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Dik kesişen doğrular ve oluşan açılar hakkında bilgi edinelim. 🛤️
- İki doğru birbirini dik kesiyorsa, aralarında oluşan dört açının her biri \( 90^\circ \) olur.
- Bu durumda, verilen açı \( 90^\circ \) ise, bunun ters açısı da \( 90^\circ \) olur.
- Komşu açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( 90^\circ \) ile komşu olan açının ölçüsü \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) olur.
- Soruda "dar açı olmayan" ifadesi kullanılmış. Dar açı \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arasındaki açılardır.
- \( 90^\circ \) bir dik açıdır, dar açı değildir.
- Bu nedenle, \( 90^\circ \) açısıyla komşu olan ve dar açı olmayan açı, yine \( 90^\circ \) olacaktır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-dogrular-ve-acilar-karmasik-test/sorular