Doğru orantı Ders Notu

Doğru Orantı 📏

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa, bu iki çokluk arasında doğru orantı vardır. Doğru orantılı çokluklar birbirine bölündüğünde sonuç daima sabittir. Bu sabit sayıya orantı sabiti denir.

Doğru Orantının Gösterimi

Eğer \(a\) ve \(b\) çoklukları arasında doğru orantı varsa, bu durum şu şekilde gösterilir:

\[ a \propto b \]

Bu, "a, b ile doğru orantılıdır" şeklinde okunur. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse:

\[ \frac{a}{b} = k \]

Burada \(k\) bir sabittir ve orantı sabitidir. Bu eşitlikten \(a = k \times b\) veya \(b = \frac{a}{k}\) şeklinde de yazılabilir.

Doğru Orantılı Çokluklar ve Orantı Sabiti

İki çokluk doğru orantılı olduğunda, bu çoklukların değerlerinin oranları her zaman aynıdır. Örneğin, \(a\) ve \(b\) çoklukları doğru orantılı ise ve bu çoklukların belirli değerleri \((a_1, b_1)\), \((a_2, b_2)\), \((a_3, b_3)\) şeklinde ise, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = \dots = k \]

Günlük Hayattan Örnekler 🍎

• Bir işçi, çalıştığı saat ile kazandığı para arasında doğru orantı vardır. Ne kadar çok çalışırsa o kadar çok para kazanır.
• Bir aracın gittiği mesafe ile harcadığı benzin miktarı arasında doğru orantı vardır. Mesafe arttıkça benzin tüketimi de artar.
• Bir manavdan alınan elma miktarı ile ödenen para arasında doğru orantı vardır. Daha fazla elma alırsanız, daha fazla ödeme yaparsınız.

Çözümlü Örnekler 📝

Örnek 1:

Bir işçi, 3 saatte 60 TL kazanmaktadır. Bu işçi 5 saat çalışırsa kaç TL kazanır?

Çözüm:

Çalışılan saat ile kazanılan para doğru orantılıdır. Saat \(s\) ve kazanılan para \(p\) olsun. Orantı sabiti \(k\)'dır.

İlk durumda: \(s_1 = 3\) saat, \(p_1 = 60\) TL

Orantı sabiti: \(k = \frac{p_1}{s_1} = \frac{60}{3} = 20\) TL/saat

İkinci durumda: \(s_2 = 5\) saat, \(p_2 = ?\) TL

Aynı orantı sabiti geçerli olacağından:

\[ \frac{p_2}{s_2} = k \] \[ \frac{p_2}{5} = 20 \] \[ p_2 = 20 \times 5 \] \[ p_2 = 100 \]

Bu işçi 5 saat çalışırsa 100 TL kazanır.

Örnek 2:

Bir miktar kumaşın 4 metresi 120 TL'ye satılıyor. Buna göre 7 metre kumaş kaç TL'ye satılır?

Çözüm:

Kumaş miktarı ile fiyatı doğru orantılıdır. Kumaş miktarı \(m\) ve fiyatı \(f\) olsun.

İlk durumda: \(m_1 = 4\) metre, \(f_1 = 120\) TL

İkinci durumda: \(m_2 = 7\) metre, \(f_2 = ?\) TL

Doğru orantı olduğu için:

\[ \frac{m_1}{f_1} = \frac{m_2}{f_2} \] \[ \frac{4}{120} = \frac{7}{f_2} \]

İçler dışlar çarpımı yapılırsa:

\[ 4 \times f_2 = 120 \times 7 \] \[ 4 \times f_2 = 840 \] \[ f_2 = \frac{840}{4} \] \[ f_2 = 210 \]

7 metre kumaş 210 TL'ye satılır.

Örnek 3:

Aşağıdaki tabloda \(x\) ve \(y\) arasındaki ilişki verilmiştir. Bu ilişki doğru orantılı mıdır? Eğer doğru orantılı ise orantı sabitini bulunuz.

\(x\)	3	6	9
\(y\)	15	30	45

Çözüm:

Tablodaki değerlerin oranlarını kontrol edelim:

İlk sütun için: \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{15}{3} = 5\)

İkinci sütun için: \(\frac{y_2}{x_2} = \frac{30}{6} = 5\)

Üçüncü sütun için: \(\frac{y_3}{x_3} = \frac{45}{9} = 5\)

Tüm oranlar aynı ve sabittir (\(k=5\)). Bu nedenle \(x\) ve \(y\) arasında doğru orantı vardır. Orantı sabiti 5'tir.