💡 7. Sınıf Matematik: Çokgenlerin köşegenleri ve açıları Çözümlü Örnekler

Çokgenlerin köşegen sayısını bulmak için bir formül kullanabiliriz. Ancak 7. sınıf müfredatında bu formül doğrudan verilmediği için, şekli zihnimizde canlandırarak veya çizerek bulabiliriz. 💡 Bir beşgenin 5 köşesi vardır. Her köşeden, kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez. Dolayısıyla her köşeden \( 5 - 3 = 2 \) tane köşegen çizilebilir. Toplam köşe sayısı 5 olduğu için, \( 5 \times 2 = 10 \) tane köşegen ucu olur. Ancak her köşegen iki köşeyi birleştirdiği için, bu sayıyı 2'ye bölmeliyiz: \( 10 \div 2 = 5 \). Yani bir beşgenin 5 köşegeni vardır. ✅

Bir altıgenin 6 köşesi vardır. Her köşeden, kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez. Bu yüzden her köşeden \( 6 - 3 = 3 \) tane köşegen çizilebilir. Toplam köşe sayısı 6 olduğu için, \( 6 \times 3 = 18 \) tane köşegen ucu olur. Her köşegen iki köşeyi birleştirdiği için, bu sayıyı 2'ye bölmeliyiz: \( 18 \div 2 = 9 \). Yani bir altıgenin 9 köşegeni vardır. 📌

Düzgün çokgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamını bulmak için \( (n-2) \times 180^\circ \) formülünü kullanırız, burada \( n \) çokgenin kenar sayısıdır. 🤓 Bize iç açılarının ölçüleri toplamı \( 540^\circ \) olarak verilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine koyalım: \( (n-2) \times 180^\circ = 540^\circ \) Şimdi \( n \)'i bulmak için denklemi çözelim: Önce her iki tarafı \( 180^\circ \)'ye bölelim: \( n-2 = \frac{540^\circ}{180^\circ} \) \( n-2 = 3 \) Şimdi \( n \)'i yalnız bırakmak için her iki tarafa 2 ekleyelim: \( n = 3 + 2 \) \( n = 5 \) Yani bu düzgün çokgen bir beşgendir. ✅

Öncelikle bir düzgün sekizgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım. 📐 Düzgün bir sekizgenin 8 kenarı vardır (\( n=8 \)). İç açılarının ölçüleri toplamı: \( (n-2) \times 180^\circ \) \( (8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ \) Şimdi bir iç açısının ölçüsünü bulmak için toplamı kenar sayısına bölelim: Bir iç açının ölçüsü = \( \frac{1080^\circ}{8} \) Bir iç açının ölçüsü = \( 135^\circ \) Yani bir düzgün sekizgenin bir iç açısı \( 135^\circ \)'dir. 👉

Bu soruyu çözmek için öncelikle havuzun kaç kenarlı olduğunu bulmalıyız. 💡 Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} \) formülü ile bulunur. Bize bir iç açının \( 144^\circ \) olduğu verilmiş. \( \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 144^\circ \) Denklemi çözelim: \( (n-2) \times 180 = 144n \) \( 180n - 360 = 144n \) \( 180n - 144n = 360 \) \( 36n = 360 \) \( n = \frac{360}{36} \) \( n = 10 \) Yani havuz bir düzgün ongendir. 🥳 Şimdi bu ongenin kaç köşegeni olduğunu bulalım. Bir \( n \)-genin köşegen sayısı \( \frac{n(n-3)}{2} \) formülü ile bulunur. \( n=10 \) olduğu için: Köşegen sayısı = \( \frac{10(10-3)}{2} \) Köşegen sayısı = \( \frac{10 \times 7}{2} \) Köşegen sayısı = \( \frac{70}{2} \) Köşegen sayısı = \( 35 \) Yani havuzun 35 köşegeni vardır. ✅

Düzgün çokgenlerin dış açıları toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir. 🌟 Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsünü bulmak için, \( 360^\circ \)'yi çokgenin kenar sayısına böleriz. Bu süsleme düzgün bir beşgen olduğuna göre, kenar sayısı \( n=5 \)'tir. Bir dış açının ölçüsü = \( \frac{360^\circ}{n} \) Bir dış açının ölçüsü = \( \frac{360^\circ}{5} \) Bir dış açının ölçüsü = \( 72^\circ \) Yani yıldız süslemenin bir dış açısı \( 72^\circ \)'dir. 🤩

Bir dörtgenin 4 köşesi vardır. 🔳 Her köşeden, kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez. Bu yüzden her köşeden \( 4 - 3 = 1 \) tane köşegen çizilebilir. Toplam köşe sayısı 4 olduğu için, \( 4 \times 1 = 4 \) tane köşegen ucu olur. Her köşegen iki köşeyi birleştirdiği için, bu sayıyı 2'ye bölmeliyiz: \( 4 \div 2 = 2 \). Yani bir dörtgenin 2 köşegeni vardır. ✅

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısının toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir (bütünler açılar). 🔄 Bize bir dış açının \( 40^\circ \) olduğu verilmiş. İç açı + Dış Açı = \( 180^\circ \) İç Açı + \( 40^\circ \) = \( 180^\circ \) Şimdi iç açıyı bulmak için denklemden \( 40^\circ \)'yi çıkaralım: İç Açı = \( 180^\circ - 40^\circ \) İç Açı = \( 140^\circ \) Yani bu düzgün çokgenin bir iç açısı \( 140^\circ \)'dir. 👍 Bu bilgiden yola çıkarak çokgenin kenar sayısını da bulabiliriz: \( \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9 \) kenarlı bir dokuzgendir.