Çokgenler ve açılar Ders Notu

Çokgenler ve Açılar 📐

Bu bölümde, düzlemde belirli bir kurala göre birleşen kapalı şekiller olan çokgenleri ve bu çokgenlerin iç ve dış açılarını inceleyeceğiz. 7. Sınıf Matematik müfredatına uygun olarak, temel çokgen türlerini, köşegenlerini ve iç açıları toplamı ile bir dış açısının ölçüsünü hesaplama yöntemlerini öğreneceğiz.

Çokgen Nedir?

En az üç doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler, kenar sayılarına göre isimlendirilirler.

• 3 kenarlı: Üçgen
• 4 kenarlı: Dörtgen
• 5 kenarlı: Beşgen
• 6 kenarlı: Altıgen
• Ve bu şekilde devam eder...

Düzgün Çokgenler

Tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Örneğin, eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgenlerdir.

Çokgenlerin Köşegenleri

Bir çokgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçalarına köşegen denir. Üçgenlerin köşegeni yoktur.

Çokgenlerin İç Açıları Toplamı

Bir n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı, (n - 2) x 180° formülü ile hesaplanır.

Örnek 1: Dörtgenin İç Açıları Toplamı

Bir dörtgenin (n=4) iç açıları toplamını hesaplayalım:

İç Açıları Toplamı = \( (4 - 2) \times 180^\circ \)

İç Açıları Toplamı = \( 2 \times 180^\circ \)

İç Açıları Toplamı = \( 360^\circ \)

Örnek 2: Altıgenin İç Açıları Toplamı

Bir altıgenin (n=6) iç açıları toplamını hesaplayalım:

İç Açıları Toplamı = \( (6 - 2) \times 180^\circ \)

İç Açıları Toplamı = \( 4 \times 180^\circ \)

İç Açıları Toplamı = \( 720^\circ \)

Düzgün Çokgenlerin Bir İç Açısının Ölçüsü

Bir düzgün n kenarlı çokgenin bir iç açısının ölçüsü, iç açıları toplamının kenar sayısına bölünmesiyle bulunur:

Bir İç Açı = \( \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)

Örnek 3: Düzgün Beşgenin Bir İç Açısı

Düzgün bir beşgenin (n=5) bir iç açısının ölçüsünü hesaplayalım:

İç Açıları Toplamı = \( (5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ \)

Bir İç Açı = \( \frac{540^\circ}{5} \)

Bir İç Açı = \( 108^\circ \)

Çokgenlerin Dış Açıları Toplamı

Herhangi bir konveks çokgenin dış açıları toplamı her zaman 360°'dir. Bu, çokgenin kenar sayısından bağımsızdır.

Düzgün Çokgenlerin Bir Dış Açısının Ölçüsü

Bir düzgün n kenarlı çokgenin bir dış açısının ölçüsü, 360°'nin kenar sayısına bölünmesiyle bulunur:

Bir Dış Açı = \( \frac{360^\circ}{n} \)

Örnek 4: Düzgün Sekizgenin Bir Dış Açısı

Düzgün bir sekizgenin (n=8) bir dış açısının ölçüsünü hesaplayalım:

Bir Dış Açı = \( \frac{360^\circ}{8} \)

Bir Dış Açı = \( 45^\circ \)

İç Açı ve Dış Açı İlişkisi

Bir çokgenin herhangi bir köşesindeki iç açı ile o köşedeki dış açının toplamı 180°'dir (bütünler açılar).

İç Açı + Dış Açı = \( 180^\circ \)

Örnek 5: Düzgün Altıgenin Bir İç Açısını Dış Açısını Kullanarak Bulma

Düzgün bir altıgenin bir dış açısı \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \) dır. O halde bir iç açısı:

İç Açı = \( 180^\circ - 60^\circ \)

İç Açı = \( 120^\circ \)

Günlük Yaşamdan Örnekler

Çokgenler hayatımızın pek çok alanında karşımıza çıkar. Örneğin, bir masanın üst yüzeyi dörtgen şeklindedir. Bir peteğin gözleri düzgün altıgen şeklindedir. Bir pizzanın dilimleri üçgen şeklindedir. Tabela tasarımlarında, mimaride ve sanatta da çokgenler sıkça kullanılır.

Çözümlü Alıştırma

Bir düzgün çokgenin bir iç açısı \( 140^\circ \) ise, bu çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm:

Önce bir dış açısını bulalım:

Dış Açı = \( 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)

Dış açı formülünü kullanarak kenar sayısını bulabiliriz:

Dış Açı = \( \frac{360^\circ}{n} \)

\( 40^\circ = \frac{360^\circ}{n} \)

\( n = \frac{360^\circ}{40^\circ} \)

\( n = 9 \)

Bu çokgen 9 kenarlıdır (düzgün dokuzgen).