Çokgen Ders Notu

7. Sınıf Matematik: Çokgenler 📐

Bu derste, düzlemde bulunan ve kenarları yalnızca uç noktalarında kesişen kapalı şekiller olan çokgenleri inceleyeceğiz. Çokgenler, kenar sayılarına göre isimlendirilir ve her birinin kendine özgü özellikleri bulunur.

Çokgen Nedir?

Çokgen, en az üç doğru parçasının birleşiminden oluşan, kapalı ve düzlemsel bir şekildir. Kenarlar birbirini yalnızca uç noktalarında kesebilir.

Çokgenlerin Temel Elemanları

• Kenar: Çokgeni oluşturan doğru parçalarıdır.
• Köşe: İki kenarın birleştiği noktalardır.
• Açı: Çokgenin iç kısmında, iki kenarın birleştiği köşelerde oluşan açılardır.

Çokgenlerin İsimlendirilmesi

Çokgenler, kenar sayılarına göre isimlendirilirler:

• 3 kenarlı çokgen: Üçgen
• 4 kenarlı çokgen: Dörtgen
• 5 kenarlı çokgen: Beşgen
• 6 kenarlı çokgen: Altıgen
• Ve bu şekilde devam eder...

Düzgün Çokgenler

Tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Örneğin, eşkenar üçgen ve kare düzgün çokgenlerdir.

Dörtgenler ve Özellikleri

Dört kenarlı çokgenler olan dörtgenler, kendi içlerinde farklı özelliklere sahip olabilirler. En bilinen dörtgen türlerinden bazıları şunlardır:

• Kare: Dört kenarı da eşit uzunlukta ve dört açısı da dik açı (90 derece) olan dörtgendir.
• Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları eşit uzunlukta ve dört açısı da dik açı olan dörtgendir.
• Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olan dörtgendir. Karşılıklı açıları da eşittir.
• Eşkenar Dörtgen: Dört kenarı da eşit uzunlukta olan dörtgendir. Karşılıklı açıları eşittir.
• Yamuk: En az bir çift kenarı paralel olan dörtgendir.

Çokgenlerde İç Açıların Toplamı

Bir n kenarlı çokgenin iç açılarının toplamı şu formülle bulunur:

\[ (n-2) \times 180^\circ \]

Burada n, çokgenin kenar sayısıdır.

Örnek 1: Beşgenin İç Açıları Toplamı

Bir beşgenin kaç kenarı vardır? 5. Formülü kullanarak iç açılarının toplamını bulalım:

Kenar sayısı \( n = 5 \).

İç açılar toplamı = \( (5-2) \times 180^\circ \)

İç açılar toplamı = \( 3 \times 180^\circ \)

İç açılar toplamı = \( 540^\circ \)

Örnek 2: Düzgün Altıgenin Bir İç Açısı

Düzgün bir altıgenin kenar sayısı \( n = 6 \)'dır. Önce iç açılar toplamını bulalım:

İç açılar toplamı = \( (6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ \)

Düzgün altıgende tüm iç açılar eşit olduğu için, bir iç açıyı bulmak için toplamı kenar sayısına böleriz:

Bir iç açı = \( \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \)

Çokgenlerde Dış Açıların Toplamı

Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir. Bu, çokgenin kenar sayısından bağımsızdır.

Örnek 3: Dörtgenin Dış Açıları Toplamı

Bir dörtgenin dış açılarının toplamı nedir?

Dörtgenin kaç kenarı olursa olsun, dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir.

Çokgenlerde Köşegenler

Köşegen, bir çokgenin ardışık olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır.

Örnek 4: Beşgende Köşegen Sayısı

Bir beşgende kaç köşegen çizilebilir? Bir köşeden başlayarak, kendisiyle ve komşu iki köşeyle birleştiremeyiz. Bu nedenle, bir köşeden \( n-3 \) tane köşegen çizebiliriz. Bir beşgende bir köşeden \( 5-3 = 2 \) köşegen çizilir. Ancak her köşeden bu işlemi yaptığımızda köşegenleri iki kez saymış oluruz. Bu yüzden toplam köşegen sayısı formülü şöyledir:

\[ \frac{n \times (n-3)}{2} \]

Beşgen için \( n=5 \):

Köşegen sayısı = \( \frac{5 \times (5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Bir beşgende 5 köşegen vardır.