🎓 7. Sınıf
📚 7. Sınıf Matematik
💡 7. Sınıf Matematik: Bir bilinmeyenli denklem kurma problemleri Çözümlü Örnekler
7. Sınıf Matematik: Bir bilinmeyenli denklem kurma problemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sayının 3 katının 5 fazlası 23'tür. Bu sayı kaçtır? 🤔
Çözüm:
Bu problemi bir bilinmeyenli denklem kurarak çözebiliriz.
- Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
Soruda bahsedilen bilinmeyen sayıyı bir harfle gösterelim. Genellikle 'x' kullanılır.
Bilinmeyen sayı = \(x\) - Adım 2: Denklemi Kurma
Sorudaki ifadeyi matematiksel olarak yazalım:
"Bir sayının 3 katı" demek \(3x\) demektir.
"3 katının 5 fazlası" demek ise \(3x + 5\) demektir.
Bu ifadenin 23'e eşit olduğu söylenmiş.
Dolayısıyla denklemimiz: \(3x + 5 = 23\) olur. - Adım 3: Denklemi Çözme
Denklemde \(x\)'i yalnız bırakmak için işlemler yapalım:
Önce her iki taraftan 5 çıkaralım:
\(3x + 5 - 5 = 23 - 5\)
\(3x = 18\)
Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim:
\( \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \)
\(x = 6\) - Adım 4: Kontrol Etme
Bulduğumuz sayıyı (6) orijinal ifadede yerine koyarak kontrol edelim:
6'nın 3 katı \(3 \times 6 = 18\).
18'in 5 fazlası \(18 + 5 = 23\).
Sonuç doğru! ✅
Örnek 2:
Bir sepetteki elmaların sayısının 2 eksiğinin yarısı 7'dir. Sepette kaç elma vardır? 🍎
Çözüm:
Bu problemi de denklem kurarak çözeceğiz.
- Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
Sepetteki elma sayısını \(x\) ile gösterelim.
Elma sayısı = \(x\) - Adım 2: Denklemi Kurma
"Elmaların sayısının 2 eksiği" demek \(x - 2\) demektir.
"2 eksiğinin yarısı" demek ise \( \frac{x-2}{2} \) demektir.
Bu değerin 7'ye eşit olduğu belirtilmiş.
Denklemimiz: \( \frac{x-2}{2} = 7 \) - Adım 3: Denklemi Çözme
Önce denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
\( 2 \times \frac{x-2}{2} = 7 \times 2 \)
\(x - 2 = 14\)
Şimdi her iki tarafa 2 ekleyelim:
\(x - 2 + 2 = 14 + 2\)
\(x = 16\) - Adım 4: Kontrol Etme
Bulduğumuz elma sayısını (16) kontrol edelim:
16'nın 2 eksiği \(16 - 2 = 14\).
14'ün yarısı \( \frac{14}{2} = 7 \).
Sonuç doğru! 👍
Örnek 3:
Ali'nin yaşının 4 katı, Veli'nin yaşının 2 katından 10 fazladır. Ali 24 yaşında olduğuna göre, Veli kaç yaşındadır? 👨👦
Çözüm:
Bu soruda iki kişinin yaşları arasında bir ilişki kurulmuş ve birinin yaşı verilmiş. Denklem kurarak Veli'nin yaşını bulalım.
- Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
Ali'nin yaşı verilmiş: 24.
Veli'nin yaşını bilmiyoruz, onu \(x\) ile gösterelim.
Veli'nin yaşı = \(x\) - Adım 2: Denklemi Kurma
Sorudaki ifadeyi matematiksel olarak yazalım:
"Ali'nin yaşının 4 katı" demek \(4 \times 24\) demektir.
"Veli'nin yaşının 2 katı" demek \(2x\) demektir.
"Veli'nin yaşının 2 katından 10 fazlası" demek ise \(2x + 10\) demektir.
Soruda bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu söyleniyor.
Denklemimiz: \(4 \times 24 = 2x + 10\) - Adım 3: Denklemi Çözme
Önce Ali'nin yaşının 4 katını hesaplayalım:
\(4 \times 24 = 96\)
Denklemimiz şimdi şöyle: \(96 = 2x + 10\)
\(x\)'i yalnız bırakmak için önce her iki taraftan 10 çıkaralım:
\(96 - 10 = 2x + 10 - 10\)
\(86 = 2x\)
Şimdi her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( \frac{86}{2} = \frac{2x}{2} \)
\(43 = x\) - Adım 4: Kontrol Etme
Veli'nin yaşı 43 ise:
Veli'nin yaşının 2 katı \(2 \times 43 = 86\).
86'nın 10 fazlası \(86 + 10 = 96\).
Ali'nin yaşı 24 idi, 4 katı \(4 \times 24 = 96\).
İki sonuç da eşit! 🎉
Örnek 4:
Bir çiftlikte bulunan koyun ve tavukların toplam sayısı 30'dur. Tavukların sayısının 3 katı, koyunların sayısının 2 katına eşittir. Çiftlikte kaç koyun vardır? 🐑🐔
Çözüm:
Bu soruda iki farklı hayvan türünün toplam sayısı ve kendi aralarındaki ilişki verilmiş. İki bilinmeyenli gibi görünse de, birini diğerinin cinsinden yazarak tek bilinmeyenli denkleme çevirebiliriz.
- Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
Koyun sayısını \(k\), tavuk sayısını \(t\) ile gösterelim.
Koyun sayısı = \(k\)
Tavuk sayısı = \(t\) - Adım 2: Denklemleri Kurma
Sorudan iki denklem elde edebiliriz:
1. Toplam sayı: \(k + t = 30\)
2. İlişki: "Tavukların sayısının 3 katı, koyunların sayısının 2 katına eşittir."
\(3t = 2k\) - Adım 3: Denklemleri Tek Bilinmeyene İndirgeme
İkinci denklemden \(t\)'yi \(k\) cinsinden yazalım:
\(t = \frac{2k}{3}\)
Şimdi bu \(t\) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
\(k + \frac{2k}{3} = 30\) - Adım 4: Denklemi Çözme
Kesirli ifadeyi yok etmek için denklemin her iki tarafını 3 ile çarpalım:
\( 3 \times (k + \frac{2k}{3}) = 30 \times 3 \)
\(3k + 2k = 90\)
\(5k = 90\)
Şimdi her iki tarafı 5'e bölelim:
\( \frac{5k}{5} = \frac{90}{5} \)
\(k = 18\) - Adım 5: Kontrol Etme
Koyun sayısı 18 ise:
Tavuk sayısı \(t = \frac{2 \times 18}{3} = \frac{36}{3} = 12\).
Toplam sayı \(k + t = 18 + 12 = 30\). Bu doğru.
Tavukların sayısının 3 katı \(3 \times 12 = 36\).
Koyunların sayısının 2 katı \(2 \times 18 = 36\).
Bu da doğru! ✨
Örnek 5:
Bir mağaza sahibi, tanesi 15 TL'den aldığı gömleklerin bir kısmını %20 kârla, kalan kısmını ise %10 zararla satıyor. Toplamda 120 TL kâr elde ettiğine göre, mağaza sahibi kaç gömleği kârla satmıştır? (Her gömleğin maliyeti 15 TL'dir.) 👕💰
Çözüm:
Bu bir kâr-zarar problemi olsa da, denklem kurma becerisini kullanmamızı gerektiriyor. Detaylıca inceleyelim.
- Adım 1: Bilinmeyenleri ve Verilenleri Tanımlama
Her gömleğin maliyeti = 15 TL.
Toplam gömlek sayısını bilmiyoruz. Diyelim ki \(N\) tane gömlek var.
Kârla satılan gömlek sayısı = \(x\) (Bu bizim bulmak istediğimiz değer).
Zarla satılan gömlek sayısı = \(N - x\). - Adım 2: Kâr ve Zarar Miktarlarını Hesaplama
Kârla Satılanlar:
Kâr oranı = %20.
Bir gömlekten elde edilen kâr = \(15 \times \frac{20}{100} = 15 \times 0.20 = 3\) TL.
\(x\) tane gömlekten elde edilen toplam kâr = \(3x\) TL.
Zarla Satılanlar:
Zarar oranı = %10.
Bir gömlekten edilen zarar = \(15 \times \frac{10}{100} = 15 \times 0.10 = 1.5\) TL.
\(N - x\) tane gömlekten edilen toplam zarar = \(1.5 \times (N - x)\) TL. - Adım 3: Toplam Kâr Denklemini Kurma
Toplam kâr = (Kârla satılanlardan elde edilen kâr) - (Zarla satılanlardan edilen zarar)
Toplam kâr = 120 TL olarak verilmiş.
Denklemimiz: \(3x - 1.5(N - x) = 120\) - Adım 4: Denklemi Basitleştirme ve Çözme
Denklemi açalım:
\(3x - 1.5N + 1.5x = 120\)
\(4.5x - 1.5N = 120\) - Adım 5: Eksik Bilgiyi Tamamlama (veya Farklı Yaklaşım)
Burada \(N\) değerini bilmiyoruz. Ancak soruda genellikle bu tür sorularda bir ilişki daha verilir veya \(N\) ile ilgili bir ipucu olur. Eğer \(N\) verilmediyse, bu sorunun tam olarak çözülebilmesi için ek bilgiye ihtiyaç vardır veya sorunun kurgusunda bir eksiklik olabilir.
Varsayım: Eğer soruda "toplam 100 gömlek satıldığı" gibi bir bilgi olsaydı, \(N=100\) alırdık. Ancak bu bilgi yok.
Alternatif Yaklaşım: Sorunun "kaç gömleği kârla satmıştır?" sorusuna odaklanarak, belki de \(N\) yerine doğrudan \(x\) ile ilgili bir denklem kurulabilir. Ancak verilen bilgilerle \(N\) olmadan tek bir \(x\) değeri bulmak matematiksel olarak mümkün görünmüyor.
Önemli Not: Bu tür sorularda genellikle toplam satılan ürün adedi verilir. Eğer bu soru tam haliyle bu şekilde ise, soruda eksik bilgi bulunmaktadır.
Eğer soruda toplam satılan gömlek sayısının 100 olduğu varsayılırsa (Örnek olması açısından):
\(N = 100\)
\(4.5x - 1.5(100) = 120\)
\(4.5x - 150 = 120\)
\(4.5x = 120 + 150\)
\(4.5x = 270\)
\(x = \frac{270}{4.5} = \frac{2700}{45} = 60\)
Bu durumda 60 gömlek kârla satılmıştır.
Örnek 6:
Bir markette, bir paket bisküvi 5 TL'ye satılmaktadır. Ayşe, bisküvilerden bir miktar alıp kasiyere 20 TL vermiştir. Kasiyer Ayşe'ye 5 TL geri verdiğine göre, Ayşe kaç paket bisküvi almıştır? 🛒
Çözüm:
Bu, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir alışveriş senaryosu ve basit bir denklemle çözülebilir.
- Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
Ayşe'nin aldığı bisküvi paketinin sayısını \(x\) ile gösterelim.
Alınan paket sayısı = \(x\) - Adım 2: Harcanan Toplam Parayı Hesaplama
Ayşe kasiyere 20 TL vermiş ve 5 TL geri almış.
Bu demektir ki Ayşe toplamda \(20 - 5 = 15\) TL harcamıştır. - Adım 3: Denklemi Kurma
Her bir bisküvi paketi 5 TL olduğuna göre, \(x\) paket bisküvinin toplam fiyatı \(5x\) TL olur.
Ayşe'nin harcadığı toplam para 15 TL idi.
Denklemimiz: \(5x = 15\) - Adım 4: Denklemi Çözme
\(x\)'i bulmak için denklemin her iki tarafını 5'e bölelim:
\( \frac{5x}{5} = \frac{15}{5} \)
\(x = 3\) - Adım 5: Kontrol Etme
Eğer Ayşe 3 paket bisküvi aldıysa, toplamda \(3 \times 5 = 15\) TL ödemiştir.
20 TL verdiğinde 5 TL geri alması da \(20 - 15 = 5\) TL'dir. Bu da doğru.
Sonuç mantıklı! ✅
Örnek 7:
Üç kardeşin yaşları toplamı 54'tür. Ortanca kardeş en küçük kardeşten 4 yaş büyük, en büyük kardeş ise ortanca kardeşten 3 yaş büyüktür. En küçük kardeş kaç yaşındadır? 👨👩👧
Çözüm:
Bu soruda üç kardeşin yaşları arasında bir ilişki kurulmuş ve toplam yaşları verilmiş. En küçük kardeşin yaşını bularak başlayacağız.
- Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
En küçük kardeşin yaşına \(x\) diyelim.
En küçük kardeşin yaşı = \(x\) - Adım 2: Diğer Kardeşlerin Yaşlarını İfade Etme
Ortanca kardeş, en küçük kardeşten 4 yaş büyük: \(x + 4\)
En büyük kardeş, ortanca kardeşten 3 yaş büyük: \((x + 4) + 3 = x + 7\) - Adım 3: Denklemi Kurma
Üç kardeşin yaşları toplamı 54 olarak verilmiş.
En küçük kardeşin yaşı + Ortanca kardeşin yaşı + En büyük kardeşin yaşı = 54
\(x + (x + 4) + (x + 7) = 54\) - Adım 4: Denklemi Çözme
Denklemdeki \(x\)'leri ve sabit sayıları toplayalım:
\(3x + 11 = 54\)
Şimdi \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki taraftan 11 çıkaralım:
\(3x + 11 - 11 = 54 - 11\)
\(3x = 43\)
Şimdi her iki tarafı 3'e bölelim:
\(x = \frac{43}{3}\) - Adım 5: Kontrol Etme ve Değerlendirme
Burada bir sorun var! Bir kişinin yaşı kesirli olamaz. Bu durum, soruda verilen sayılarda bir hata olduğunu veya sorunun kurgusunun gerçekçi olmadığını gösterir.
Eğer sorudaki sayılar tam sayı sonuç verecek şekilde olsaydı, adımlarımız doğru olurdu. Örneğin, toplam yaş 57 olsaydı: \(3x + 11 = 57 \Rightarrow 3x = 46 \Rightarrow x = 46/3\) (yine kesirli).
Eğer toplam yaş 56 olsaydı: \(3x + 11 = 56 \Rightarrow 3x = 45 \Rightarrow x = 15\) olurdu. Bu durumda en küçük kardeş 15, ortanca 19, en büyük 22 yaşında olurdu ve yaşları toplamı \(15+19+22=56\) olurdu.
Örnek 8:
Bir otobüs firması, bilet fiyatlarını belirlerken sabit bir ücret ve gidilen kilometre başına ek bir ücret almaktadır. Eğer 100 km için bilet fiyatı 70 TL ise ve 150 km için bilet fiyatı 90 TL ise, 200 km yolculuk için bilet fiyatı kaç TL olur? 🚌
Çözüm:
Bu, ulaşım ücretlerinin nasıl belirlendiğine dair gerçek bir örnektir ve denklem kurma becerisi gerektirir.
- Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
Sabit ücreti \(s\) ile gösterelim.
Kilometre başına ek ücreti \(k\) ile gösterelim.
Sabit ücret = \(s\) TL
Kilometre başına ücret = \(k\) TL/km - Adım 2: Verilen Bilgilerle Denklemleri Kurma
Her yolculuk için toplam bilet fiyatı = Sabit ücret + (Gidilen kilometre × Kilometre başına ücret)
1. Yolculuk (100 km): \(s + 100k = 70\)
2. Yolculuk (150 km): \(s + 150k = 90\) - Adım 3: Denklemleri Çözerek \(s\) ve \(k\) Değerlerini Bulma
Bu iki denklemi kullanarak \(s\) ve \(k\) değerlerini bulabiliriz. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım (Bu, \(s\)'yi yok edecektir):
\( (s + 150k) - (s + 100k) = 90 - 70 \)
\( s + 150k - s - 100k = 20 \)
\( 50k = 20 \)
Şimdi \(k\)'yı bulalım:
\( k = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4 \) TL/km
Şimdi \(k\) değerini ilk denklemde yerine koyarak \(s\)'yi bulalım:
\( s + 100 \times 0.4 = 70 \)
\( s + 40 = 70 \)
\( s = 70 - 40 = 30 \) TL
Yani, sabit ücret 30 TL ve kilometre başına ücret 0.4 TL'dir. - Adım 4: İstenen Fiyatı Hesaplama
Şimdi 200 km yolculuk için bilet fiyatını hesaplayabiliriz:
Bilet fiyatı = \(s + 200k\)
Bilet fiyatı = \(30 + 200 \times 0.4\)
Bilet fiyatı = \(30 + 80\)
Bilet fiyatı = \(110\) TL - Adım 5: Kontrol Etme
Sabit ücret 30 TL, km başına 0.4 TL ise:
100 km: \(30 + 100 \times 0.4 = 30 + 40 = 70\) TL (Doğru)
150 km: \(30 + 150 \times 0.4 = 30 + 60 = 90\) TL (Doğru)
200 km: \(30 + 200 \times 0.4 = 30 + 80 = 110\) TL (Hesapladığımız değer)
Her şey tutarlı! 💯
Örnek 9:
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının 2 katı, erkek öğrencilerin sayısının 3 katına eşittir. Sınıfta toplam 25 öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? 🧑🎓👩🎓
Çözüm:
Bu problem, iki grup arasındaki ilişkiyi ve toplam sayıyı kullanarak denklem kurmayı gerektirir.
- Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
Kız öğrencilerin sayısını \(k\) ile gösterelim.
Erkek öğrencilerin sayısını \(e\) ile gösterelim.
Kız öğrenci sayısı = \(k\)
Erkek öğrenci sayısı = \(e\) - Adım 2: Denklemleri Kurma
Sorudan iki denklem elde edebiliriz:
1. İlişki: "Kız öğrencilerin sayısının 2 katı, erkek öğrencilerin sayısının 3 katına eşittir."
\(2k = 3e\)
2. Toplam öğrenci sayısı: "Sınıfta toplam 25 öğrenci var."
\(k + e = 25\) - Adım 3: Denklemleri Tek Bilinmeyene İndirgeme
İkinci denklemden \(e\)'yi \(k\) cinsinden yazalım:
\(e = 25 - k\)
Şimdi bu \(e\) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
\(2k = 3(25 - k)\) - Adım 4: Denklemi Çözme
Parantezi dağıtalım:
\(2k = 75 - 3k\)
Şimdi \(k\)'lı terimleri bir tarafa toplayalım. Her iki tarafa \(3k\) ekleyelim:
\(2k + 3k = 75 - 3k + 3k\)
\(5k = 75\)
Şimdi her iki tarafı 5'e bölelim:
\( \frac{5k}{5} = \frac{75}{5} \)
\(k = 15\) - Adım 5: Kontrol Etme
Kız öğrenci sayısı 15 ise:
Erkek öğrenci sayısı \(e = 25 - k = 25 - 15 = 10\).
Toplam öğrenci sayısı \(15 + 10 = 25\). Bu doğru.
Kızların sayısının 2 katı \(2 \times 15 = 30\).
Erkeklerin sayısının 3 katı \(3 \times 10 = 30\).
Bu da doğru! ✅
Örnek 10:
Bir çiftçi, tarlasının önce çeyreğini, sonra da kalan kısmının yarısını ekip biçmiştir. Çiftçinin hiç ekip biçmediği tarla kısmı 30 dönüm olduğuna göre, tarlanın tamamı kaç dönümdür? 🌾
Çözüm:
Bu problem, kesirler ve bilinmeyenli denklem kurma mantığını birleştirir.
- Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
Tarlanın tamamının alanını \(x\) dönüm olarak kabul edelim.
Tarlanın tamamı = \(x\) dönüm - Adım 2: Ekilen Kısımları Hesaplama
İlk olarak ekilen kısım: Tarlanın çeyreği = \( \frac{1}{4}x \)
Kalan kısım: \( x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x \)
Sonra ekilen kısım: Kalan kısmın yarısı = \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{8}x \)
Toplam ekilen kısım: \( \frac{1}{4}x + \frac{3}{8}x \)
Bu toplamı hesaplamak için paydaları eşitleyelim: \( \frac{2}{8}x + \frac{3}{8}x = \frac{5}{8}x \) - Adım 3: Ekilmeyen Kısım Üzerinden Denklemi Kurma
Tarlanın tamamı \(x\) idi ve \( \frac{5}{8}x \) kısmı ekildi.
Ekilmeyen kısım = Tarlanın tamamı - Toplam ekilen kısım
Ekilmeyen kısım = \( x - \frac{5}{8}x = \frac{3}{8}x \)
Soruda ekilmeyen kısmın 30 dönüm olduğu söylenmiş.
Denklemimiz: \( \frac{3}{8}x = 30 \) - Adım 4: Denklemi Çözme
\(x\)'i bulmak için denklemin her iki tarafını \( \frac{8}{3} \) ile çarpalım (veya önce 8 ile çarpıp sonra 3'e bölelim):
\( x = 30 \times \frac{8}{3} \)
\( x = \frac{30 \times 8}{3} \)
\( x = 10 \times 8 \)
\( x = 80 \) - Adım 5: Kontrol Etme
Tarlanın tamamı 80 dönüm ise:
İlk ekilen kısım: \( \frac{1}{4} \times 80 = 20 \) dönüm.
Kalan kısım: \( 80 - 20 = 60 \) dönüm.
Sonra ekilen kısım: \( \frac{1}{2} \times 60 = 30 \) dönüm.
Toplam ekilen kısım: \( 20 + 30 = 50 \) dönüm.
Ekilmeyen kısım: \( 80 - 50 = 30 \) dönüm.
Sonuç doğru! 🥳
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/7-sinif-matematik-bir-bilinmeyenli-denklem-kurma-problemleri/sorular