💡 7. Sınıf Matematik: Analiz: limitler, türevler ve integraller Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir öğrencinin matematik dersi deneme sınavlarından aldığı puanlar şöyledir: \( 75, 80, 95, 70 \). Bu öğrencinin puanlarının aritmetik ortalamasını bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
Aritmetik ortalamayı bulmak için şu adımları izleriz:
Adım 1: Tüm verileri toplayalım.
Toplam \( = 75 + 80 + 95 + 70 = 320 \)
Adım 2: Toplamı veri sayısına bölelim.
Veri sayısı \( = 4 \)
Ortalama:
\[ \frac{320}{4} = 80 \]
✅ Bu öğrencinin puanlarının ortalaması \( 80 \) olarak hesaplanır.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir gruptaki çocukların yaşları \( 12, 15, 10, 18, 15, 13, 15 \) şeklindedir. Bu veri grubunun tepe değerini (mod) ve medyanını (ortanca) bulunuz. 🎂
Çözüm ve Açıklama
Verileri analiz etmek için önce küçükten büyüğe sıralayalım:
Sıralı Liste: \( 10, 12, 13, 15, 15, 15, 18 \)
Tepe Değer (Mod): En çok tekrar eden sayıdır.
\( 15 \) sayısı \( 3 \) kez tekrar ettiği için tepe değer \( 15 \)'tir.
Medyan (Ortanca): Sıralanmış listede tam ortadaki sayıdır.
\( 7 \) tane veri olduğu için \( 4 \). sıradaki sayı medyandır.
✅ Medyan değeri \( 15 \)'tir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir bitkinin boyu dikildiğinde \( 10 \) cm'dir. Bitki her ay düzenli olarak \( 3 \) cm uzamaktadır. Bu bitkinin boyunun zamana göre değişimini gösteren çizgi grafiği verilerine göre, \( 5 \). ayın sonundaki boyu kaç cm olur? 🌱
Çözüm ve Açıklama
Bitkinin boyundaki değişimi adım adım analiz edelim:
Başlangıç Boyu: \( 10 \) cm
Aylık Artış: \( 3 \) cm
5 Aylık Toplam Artış:
\[ 5 \times 3 = 15 \]
Son Boy: Başlangıç boyuna toplam artışı ekleyelim.
\[ 10 + 15 = 25 \]
✅ Bitkinin \( 5 \). ay sonundaki boyu \( 25 \) cm olacaktır.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir markette \( 3 \) kg elma \( 45 \) TL'ye satılmaktadır. Aynı elmalardan \( 8 \) kg almak isteyen bir kişi kaç TL ödeme yapmalıdır? 🍎
Çözüm ve Açıklama
Elma miktarı arttıkça ödenecek tutar da artacağı için burada bir doğru orantı vardır:
Orantıyı kuralım:
\( 3 \) kg elma \( 45 \) TL ise
\( 8 \) kg elma \( x \) TL'dir.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3 \times x = 8 \times 45 \]
\[ 3x = 360 \]
\[ x = \frac{360}{3} \]
\[ x = 120 \]
✅ 8 kg elma için \( 120 \) TL ödenmelidir.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Aynı kapasitede çalışan \( 4 \) işçi bir duvarı \( 15 \) saatte boyayabilmektedir. İşçi sayısı \( 6 \)'ya çıkarılırsa, aynı duvar kaç saatte boyanır? 🧱
Çözüm ve Açıklama
İşçi sayısı arttığında işin bitme süresi kısalacağı için bu bir ters orantı problemidir:
Ters orantıda karşılıklı çarpımlar birbirine eşittir:
\( 4 \) işçi \( \rightarrow 15 \) saat
\( 6 \) işçi \( \rightarrow x \) saat
Denklemi kuralım:
\[ 4 \times 15 = 6 \times x \]
\[ 60 = 6x \]
\[ x = \frac{60}{6} \]
\[ x = 10 \]
✅ İşçi sayısı \( 6 \) olursa duvar \( 10 \) saatte boyanır.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir sınıftaki \( 36 \) öğrencinin %25'i matematik kursuna gitmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerin dağılımı bir daire grafiği ile gösterilirse, matematik kursuna gidenleri gösteren dilimin merkez açısı kaç derece olur? 📐
Çözüm ve Açıklama
Daire grafiğinin tamamı \( 360^\circ \) derecedir. Orantı kurarak merkez açıyı bulabiliriz:
Yöntem 1: Yüzde üzerinden hesaplama.
\[ 360 \times \frac{25}{100} \]
%25 bir bütünün çeyreği (dörtte biri) demektir.
\[ \frac{360}{4} = 90 \]
✅ Matematik kursuna giden öğrencilerin merkez açısı \( 90^\circ \) olur.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir okulun kütüphanesindeki kitapların türlerine göre dağılımı şu şekildedir: Roman (%40), Hikaye (%35) ve Şiir (%25). Kütüphanede toplam \( 800 \) kitap olduğuna göre, roman sayısı şiir sayısından kaç fazladır? 📚
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu iki farklı türün yüzdelik farkını bularak hızlıca çözebiliriz:
Adım 1: Yüzdelik farkı bulalım.
Fark \( = %40 - %25 = %15 \)
Adım 2: Toplam kitap sayısının %15'ini hesaplayalım.
\[ 800 \times \frac{15}{100} \]
Sıfırları sadeleştirelim:
\[ 8 \times 15 = 120 \]
✅ Roman sayısı şiir sayısından \( 120 \) adet fazladır.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir otomobil sabit hızla \( 3 \) saatte \( 270 \) km yol almaktadır. Bu otomobilin gittiği yolun zamana oranı (hızı) sabit olduğuna göre, otomobil \( 7 \) saatte kaç km yol gider? 🚘
Çözüm ve Açıklama
Bu bir oran-orantı problemidir. Önce aracın \( 1 \) saatte gittiği yolu (birim oran) bulalım:
Birim Oran:
\[ \frac{270}{3} = 90 \] km/saat
7 Saatte Gidilen Yol:
\[ 7 \times 90 = 630 \]
✅ Otomobil aynı hızla \( 7 \) saatte \( 630 \) km yol alır.
7. Sınıf Matematik: Analiz: limitler, türevler ve integraller Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir öğrencinin matematik dersi deneme sınavlarından aldığı puanlar şöyledir: \( 75, 80, 95, 70 \). Bu öğrencinin puanlarının aritmetik ortalamasını bulunuz. 💡
Çözüm:
Aritmetik ortalamayı bulmak için şu adımları izleriz:
Adım 1: Tüm verileri toplayalım.
Toplam \( = 75 + 80 + 95 + 70 = 320 \)
Adım 2: Toplamı veri sayısına bölelim.
Veri sayısı \( = 4 \)
Ortalama:
\[ \frac{320}{4} = 80 \]
✅ Bu öğrencinin puanlarının ortalaması \( 80 \) olarak hesaplanır.
Örnek 2:
Bir gruptaki çocukların yaşları \( 12, 15, 10, 18, 15, 13, 15 \) şeklindedir. Bu veri grubunun tepe değerini (mod) ve medyanını (ortanca) bulunuz. 🎂
Çözüm:
Verileri analiz etmek için önce küçükten büyüğe sıralayalım:
Sıralı Liste: \( 10, 12, 13, 15, 15, 15, 18 \)
Tepe Değer (Mod): En çok tekrar eden sayıdır.
\( 15 \) sayısı \( 3 \) kez tekrar ettiği için tepe değer \( 15 \)'tir.
Medyan (Ortanca): Sıralanmış listede tam ortadaki sayıdır.
\( 7 \) tane veri olduğu için \( 4 \). sıradaki sayı medyandır.
✅ Medyan değeri \( 15 \)'tir.
Örnek 3:
Bir bitkinin boyu dikildiğinde \( 10 \) cm'dir. Bitki her ay düzenli olarak \( 3 \) cm uzamaktadır. Bu bitkinin boyunun zamana göre değişimini gösteren çizgi grafiği verilerine göre, \( 5 \). ayın sonundaki boyu kaç cm olur? 🌱
Çözüm:
Bitkinin boyundaki değişimi adım adım analiz edelim:
Başlangıç Boyu: \( 10 \) cm
Aylık Artış: \( 3 \) cm
5 Aylık Toplam Artış:
\[ 5 \times 3 = 15 \]
Son Boy: Başlangıç boyuna toplam artışı ekleyelim.
\[ 10 + 15 = 25 \]
✅ Bitkinin \( 5 \). ay sonundaki boyu \( 25 \) cm olacaktır.
Örnek 4:
Bir markette \( 3 \) kg elma \( 45 \) TL'ye satılmaktadır. Aynı elmalardan \( 8 \) kg almak isteyen bir kişi kaç TL ödeme yapmalıdır? 🍎
Çözüm:
Elma miktarı arttıkça ödenecek tutar da artacağı için burada bir doğru orantı vardır:
Orantıyı kuralım:
\( 3 \) kg elma \( 45 \) TL ise
\( 8 \) kg elma \( x \) TL'dir.
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3 \times x = 8 \times 45 \]
\[ 3x = 360 \]
\[ x = \frac{360}{3} \]
\[ x = 120 \]
✅ 8 kg elma için \( 120 \) TL ödenmelidir.
Örnek 5:
Aynı kapasitede çalışan \( 4 \) işçi bir duvarı \( 15 \) saatte boyayabilmektedir. İşçi sayısı \( 6 \)'ya çıkarılırsa, aynı duvar kaç saatte boyanır? 🧱
Çözüm:
İşçi sayısı arttığında işin bitme süresi kısalacağı için bu bir ters orantı problemidir:
Ters orantıda karşılıklı çarpımlar birbirine eşittir:
\( 4 \) işçi \( \rightarrow 15 \) saat
\( 6 \) işçi \( \rightarrow x \) saat
Denklemi kuralım:
\[ 4 \times 15 = 6 \times x \]
\[ 60 = 6x \]
\[ x = \frac{60}{6} \]
\[ x = 10 \]
✅ İşçi sayısı \( 6 \) olursa duvar \( 10 \) saatte boyanır.
Örnek 6:
Bir sınıftaki \( 36 \) öğrencinin %25'i matematik kursuna gitmektedir. Bu sınıftaki öğrencilerin dağılımı bir daire grafiği ile gösterilirse, matematik kursuna gidenleri gösteren dilimin merkez açısı kaç derece olur? 📐
Çözüm:
Daire grafiğinin tamamı \( 360^\circ \) derecedir. Orantı kurarak merkez açıyı bulabiliriz:
Yöntem 1: Yüzde üzerinden hesaplama.
\[ 360 \times \frac{25}{100} \]
%25 bir bütünün çeyreği (dörtte biri) demektir.
\[ \frac{360}{4} = 90 \]
✅ Matematik kursuna giden öğrencilerin merkez açısı \( 90^\circ \) olur.
Örnek 7:
Bir okulun kütüphanesindeki kitapların türlerine göre dağılımı şu şekildedir: Roman (%40), Hikaye (%35) ve Şiir (%25). Kütüphanede toplam \( 800 \) kitap olduğuna göre, roman sayısı şiir sayısından kaç fazladır? 📚
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı türün yüzdelik farkını bularak hızlıca çözebiliriz:
Adım 1: Yüzdelik farkı bulalım.
Fark \( = %40 - %25 = %15 \)
Adım 2: Toplam kitap sayısının %15'ini hesaplayalım.
\[ 800 \times \frac{15}{100} \]
Sıfırları sadeleştirelim:
\[ 8 \times 15 = 120 \]
✅ Roman sayısı şiir sayısından \( 120 \) adet fazladır.
Örnek 8:
Bir otomobil sabit hızla \( 3 \) saatte \( 270 \) km yol almaktadır. Bu otomobilin gittiği yolun zamana oranı (hızı) sabit olduğuna göre, otomobil \( 7 \) saatte kaç km yol gider? 🚘
Çözüm:
Bu bir oran-orantı problemidir. Önce aracın \( 1 \) saatte gittiği yolu (birim oran) bulalım:
Birim Oran:
\[ \frac{270}{3} = 90 \] km/saat
7 Saatte Gidilen Yol:
\[ 7 \times 90 = 630 \]
✅ Otomobil aynı hızla \( 7 \) saatte \( 630 \) km yol alır.