Açı ortay Ders Notu

Açıortay Nedir? 📐

Açıortay, bir açıyı oluşturan iki ışının kesiştiği noktadan başlayıp, açının ölçüsünü iki eşit parçaya bölen bir ışındır. Başka bir deyişle, açıortay, açının köşesinden çıkan ve açının kollarını eşit uzaklıkta kesen bir doğru parçasıdır. Bu ışın, açının iç bölgesinde yer alır.

Açıortay Kavramı ve Özellikleri 🔑

• Bir açının açıortayı çizildiğinde, açıortay bu açıyı iki tane eş açıya ayırır.
• Eğer bir \( \angle ABC \) açımız varsa ve bu açının açıortayı BD ışını ise, o zaman \( m(\angle ABD) = m(\angle DBC) \) olur.
• Ayrıca, \( m(\angle ABC) = m(\angle ABD) + m(\angle DBC) \) olduğundan, açıortay \( m(\angle ABC) \)'nin yarısı kadar iki açı oluşturur: \( m(\angle ABD) = m(\angle DBC) = \frac{m(\angle ABC)}{2} \).

Açıortay Çizimi ve Uygulamaları ✍️

Bir açının açıortayını çizmek için pergel ve cetvel kullanılabilir. Pergel ile açının köşesine batırılıp bir yay çizilir. Bu yay, açının kollarını kestiği noktalardan yine pergel yardımıyla ve aynı açıklıkla iki farklı yay daha çizilir. Bu iki yayın kesiştiği nokta ile açının köşesi birleştirildiğinde açıortay elde edilir.

Günlük hayatta da açıortay kavramına rastlamak mümkündür:

• Bir odanın köşesinden tavana doğru uzanan bir ip, eğer o köşedeki iki duvarla eşit açılar yapıyorsa, o ip o köşedeki açının açıortayı üzerindedir.
• Bir futbol maçında, kaleye vurulan bir topun, iki kale direğiyle eşit açılar yapacak şekilde ilerlemesi, açıortay prensibine bir örnektir.

Çözümlü Örnekler 💡

Örnek 1:

Bir \( \angle XYZ \) açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olarak verilmiştir. Bu açının açıortayının çizilmesiyle oluşan iki küçük açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Açıortay, açıyı iki eşit parçaya böler. Bu nedenle, \( 70^\circ \) olan açının açıortayı çizildiğinde oluşan her bir küçük açının ölçüsü:

\[ \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]

Sonuç olarak, oluşan iki küçük açının her biri \( 35^\circ \) olur.

Örnek 2:

Bir \( \angle PQR \) açısının açıortayı QS ışınıdır. Eğer \( m(\angle PQS) = 45^\circ \) ise, \( m(\angle PQR) \) kaç derecedir?

Çözüm:

QS ışını, \( \angle PQR \) açısının açıortayı olduğuna göre, \( m(\angle PQS) = m(\angle SQR) \) olmalıdır. Bize \( m(\angle PQS) = 45^\circ \) olarak verilmiş.

O halde, \( m(\angle SQR) = 45^\circ \) olur.

Büyük açının ölçüsü bu iki küçük açının toplamıdır:

\[ m(\angle PQR) = m(\angle PQS) + m(\angle SQR) \] \[ m(\angle PQR) = 45^\circ + 45^\circ \] \[ m(\angle PQR) = 90^\circ \]

Yani, \( \angle PQR \) açısı bir dik açıdır.

Örnek 3:

Bir doğru açı, bir açıortay ile ikiye ayrılıyor. Oluşan açılardan birinin ölçüsü \( 90^\circ \) ise, diğer açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Doğru açı \( 180^\circ \) ölçüsündedir. Açıortay, bu açıyı iki eşit parçaya böler.

Eğer oluşan açılardan biri \( 90^\circ \) ise, diğer açının ölçüsü de aynı olmalıdır çünkü açıortay açıyı eşit böler.

\[ \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]

Bu durumda, her iki açı da \( 90^\circ \) olur.

Üçgenlerde Açıortay 🔺

Bir üçgenin bir köşesinden çıkan ve o köşedeki açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına o köşeye ait açıortay denir. Her üçgenin üç tane açıortayı vardır ve bu üç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına üçgenin "iç teğet çemberinin merkezi" denir.

Örnek 4:

Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 60^\circ \) ve \( m(\angle B) = 80^\circ \) olarak verilmiştir. A köşesine ait açıortay çizildiğinde, bu açıortayın ayırdığı iki küçük açının ölçüsü kaçar derecedir?

Çözüm:

A köşesine ait açıortay, \( m(\angle A) \) açısını iki eşit parçaya böler.

\[ \frac{m(\angle A)}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

Bu durumda, A köşesinden çıkan açıortayın ayırdığı iki küçük açının her biri \( 30^\circ \) olur.

B köşesine ait açıortay ise \( m(\angle B) \) açısını böler:

\[ \frac{m(\angle B)}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \]

Yani, B köşesinden çıkan açıortayın ayırdığı iki küçük açının her biri \( 40^\circ \) olur.

Üçgenin C açısını bulalım:

\[ m(\angle C) = 180^\circ - (m(\angle A) + m(\angle B)) \] \[ m(\angle C) = 180^\circ - (60^\circ + 80^\circ) \] \[ m(\angle C) = 180^\circ - 140^\circ \] \[ m(\angle C) = 40^\circ \]

C köşesine ait açıortay ise \( m(\angle C) \) açısını böler:

\[ \frac{m(\angle C)}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ \]

Yani, C köşesinden çıkan açıortayın ayırdığı iki küçük açının her biri \( 20^\circ \) olur.