A Ders Notu

Rasyonel Sayılar ve Sayı Doğrusu 🔢

Bir tam sayının başka bir tam sayıya bölümü şeklinde ifade edilebilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir. Bir rasyonel sayı \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılır. Burada a pay, b ise paydadır. Rasyonel sayılarda payda asla 0 olamaz, çünkü bir sayının 0'a bölümü tanımsızdır.

• a ve b birer tam sayıdır.
• \( b \neq 0 \) olmalıdır.
• Tam sayılar aynı zamanda birer rasyonel sayıdır; örneğin \( 5 = \frac{5}{1} \) şeklinde yazılabilir.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi 📍

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirlememiz gerekir. Basit kesirler her zaman 0 ile 1 veya -1 ile 0 arasındadır.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim.
Bu sayı 0 ile 1 arasındadır. 0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya böleriz ve 3. adımı işaretleriz.

Rasyonel Sayılarda Genişletme ve Sadeleştirme ✂️

Rasyonel sayının payını ve paydasını aynı sıfır olmayan tam sayı ile çarpmaya genişletme, aynı sayıya bölmeye ise sadeleştirme denir. Bu işlemler rasyonel sayının değerini değiştirmez, sadece görünümünü değiştirir.

İşlem	Örnek
Genişletme (2 ile)	\( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
Sadeleştirme (3 ile)	\( \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3} \)

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi 🧮

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade etmek için payda 10, 100 veya 1000 olacak şekilde genişletilir veya pay, paydaya bölünür.

Çözümlü Örnek 1: \( \frac{2}{5} \) rasyonel sayısını ondalık gösterelim.

Paydayı 10 yapmak için kesri 2 ile genişletiriz: \[ \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4 \]

Çözümlü Örnek 2: \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayısını ondalık gösterelim.

Paydayı 100 yapmak için kesri 25 ile genişletiriz: \[ \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 \]

Devirli Ondalık Gösterim 🔄

Paydası 10, 100, 1000 yapılamayan rasyonel sayılar bölme işlemi yapıldığında ondalık kısımda bazı rakamlar tekrar eder. Bu duruma devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden rakamın üzerine çizgi çekilerek gösterilir.

Örnek: \( \frac{2}{3} \) işlemini yapalım. \[ 2 \div 3 = 0,666... = 0,\bar{6} \] Burada 6 rakamı sürekli tekrar ettiği için 6'nın üzerine bir çizgi eklenir.

Rasyonel Sayılarda Karşılaştırma ve Sıralama ⚖️

Rasyonel sayıları sıralarken paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendiğinde payı büyük olan rasyonel sayı daha büyüktür. Negatif rasyonel sayılarda ise sıralama tam tersidir; yani sayı doğrusunda 0'a daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{3}{5} \) sayılarını karşılaştıralım.
Paydaları 10'da eşitleyelim:
\( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \)
\( \frac{3}{5} = \frac{6}{10} \)
\( 6 > 5 \) olduğu için \( \frac{3}{5} > \frac{1}{2} \) sonucuna ulaşırız.