💡 6. Sınıf Matematik: Tam Sayılar ve Mutlak Değer Çözümlü Örnekler

👉 Tam sayılar, pozitif ve negatif değerleri ifade etmek için kullanılır. Sıfır, ne pozitif ne de negatiftir.

• 📈 Yukarı, kazanç, artış gibi durumlar pozitif (+) tam sayılarla gösterilir.
• 📉 Aşağı, kayıp, azalış gibi durumlar negatif (-) tam sayılarla gösterilir.

Şimdi durumları tam sayılarla ifade edelim:

• a) Deniz seviyesinden \( 50 \) metre yukarıda uçan bir martı: \( +50 \) veya sadece \( 50 \) 🐦
• b) Deniz seviyesinden \( 15 \) metre derinde yüzen bir balık: \( -15 \) 🐟
• c) Sıfırın altında \( 7 \) derece hava sıcaklığı: \( -7 \) \( ^\circ\text{C} \) ❄️
• d) Kumbaraya atılan \( 20 \) TL: \( +20 \) veya sadece \( 20 \) TL 💰
• e) Bankadan çekilen \( 100 \) TL: \( -100 \) TL 💸

✅ İşte tam sayılarla günlük hayattaki durumları ifade etmek bu kadar kolay!

👉 Tam sayıları karşılaştırırken sayı doğrusunu düşünebiliriz. Sayı doğrusunda sağa doğru gittikçe sayılar büyür, sola doğru gittikçe küçülür.

• Pozitif tam sayılar her zaman negatif tam sayılardan büyüktür.
• Sıfır, tüm negatif tam sayılardan büyüktür.
• Negatif tam sayılarda, sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür (örneğin \( -2 \) > \( -12 \)).
• Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman pozitif veya sıfırdır.

Şimdi karşılaştırmaları yapalım:

• a) \( +8 \) \( > \) \( -5 \) (Pozitif sayı her zaman negatif sayıdan büyüktür.) ✅
• b) \( -12 \) \( < \) \( -2 \) (Negatif sayılarda, sıfıra daha yakın olan \( -2 \) daha büyüktür.) ✅
• c) \( 0 \) \( > \) \( -10 \) (Sıfır, tüm negatif sayılardan büyüktür.) ✅
• d) Önce \( |-7| \) değerini bulalım: \( |-7| = 7 \). O zaman \( -7 \) ile \( 7 \) sayılarını karşılaştıracağız.
  \( -7 \) \( < \) \( 7 \) (Negatif sayı pozitif sayıdan küçüktür.) ✅

💡 Bir tam sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfır noktasına olan uzaklığıdır. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamayacağı için, mutlak değerin sonucu her zaman pozitif bir sayı veya sıfırdır.
Mutlak değer sembolü "\( | \dots | \)" şeklindedir.

Şimdi sayıların mutlak değerlerini hesaplayalım:

• a) \( |-15| \): \( -15 \) sayısının sıfıra olan uzaklığı \( 15 \) birimdir. Bu yüzden \( |-15| = 15 \). ✅
• b) \( |23| \): \( 23 \) sayısının sıfıra olan uzaklığı \( 23 \) birimdir. Bu yüzden \( |23| = 23 \). ✅
• c) \( |0| \): \( 0 \) sayısının sıfıra olan uzaklığı \( 0 \) birimdir. Bu yüzden \( |0| = 0 \). ✅
• d) \( |-100| \): \( -100 \) sayısının sıfıra olan uzaklığı \( 100 \) birimdir. Bu yüzden \( |-100| = 100 \). ✅

👉 Tam sayıları sıralarken yine sayı doğrusunu düşünebiliriz. Sayı doğrusunda en soldaki sayı en küçük, en sağdaki sayı ise en büyüktür.

Sıralama adımları:

• 1️⃣ Öncelikle negatif tam sayıları belirleyelim: \( -10, -3, -1 \).
• 2️⃣ Negatif tam sayılar arasında sıfıra en uzak olan en küçüktür. Bu durumda \( -10 \) en küçüktür, sonra \( -3 \), sonra \( -1 \) gelir.
• 3️⃣ Sonra sıfır gelir: \( 0 \).
• 4️⃣ Son olarak pozitif tam sayıları belirleyelim: \( 5, 12 \).
• 5️⃣ Pozitif tam sayılar arasında normal sıralama yaparız: \( 5 \) ve \( 12 \).

Bu adımlara göre sıralama şu şekildedir:
\( -10 < -3 < -1 < 0 < 5 < 12 \) ✅

💡 Hava sıcaklıklarını tam sayılarla ifade ettiğimizde, daha küçük bir sayı daha soğuk bir havayı temsil eder. Sıralama yaparken yine sayı doğrusu mantığını kullanacağız.

Verilen sıcaklıklar:

• Erzurum: \( -8^\circ\text{C} \)
• Ankara: \( -2^\circ\text{C} \)
• İstanbul: \( 3^\circ\text{C} \)

Sıralama adımları:

• 1️⃣ En küçük (en soğuk) sıcaklık negatif sayılar arasından bulunur. Sıfıra en uzak olan negatif sayı en küçüktür. Bu durumda \( -8^\circ\text{C} \) (Erzurum) en soğuktur.
• 2️⃣ Sonraki negatif sıcaklık \( -2^\circ\text{C} \) (Ankara) gelir.
• 3️⃣ Pozitif sıcaklıklar negatif sıcaklıklardan her zaman daha sıcaktır. \( 3^\circ\text{C} \) (İstanbul) en sıcak olanıdır.

Bu durumda şehirlerin sıralaması en soğuktan en sıcağa doğru şöyledir:
Erzurum \( (-8^\circ\text{C}) \) < Ankara \( (-2^\circ\text{C}) \) < İstanbul \( (3^\circ\text{C}) \) ✅

💡 Bankacılık işlemlerini tam sayılarla ifade edebiliriz. Hesaba para yatırmak pozitif (+), hesaptan para çekmek ise negatif (-) olarak ifade edilir.

Ayşe Hanım'ın başlangıç bakiyesi: \( +250 \) TL.

İşlemleri ve bunların tam sayı karşılıklarını inceleyelim:

• Pazartesi: Hesabına \( 100 \) TL yatırdı. Bu durumu \( +100 \) olarak ifade ederiz.
• Çarşamba: Hesabından \( 150 \) TL çekti. Bu durumu \( -150 \) olarak ifade ederiz.
• Cuma: Hesabına \( 50 \) TL yatırdı. Bu durumu \( +50 \) olarak ifade ederiz.

Şimdi Ayşe Hanım'ın bakiyesini adım adım hesaplayalım:

• 1️⃣ Başlangıç bakiyesi: \( 250 \) TL.
• 2️⃣ Pazartesi işleminden sonra: \( 250 + 100 = 350 \) TL.
• 3️⃣ Çarşamba işleminden sonra: \( 350 - 150 = 200 \) TL.
• 4️⃣ Cuma işleminden sonra: \( 200 + 50 = 250 \) TL.

Ayşe Hanım'ın hafta sonundaki toplam bakiyesi \( 250 \) TL'dir. ✅

👉 Sayı doğrusu üzerinde sağa gitmek pozitif yönde ilerlemek, sola gitmek ise negatif yönde ilerlemektir. Her bir birim, sayıyı \( 1 \) artırır veya azaltır.

Adım adım \( C \) noktasını bulalım:

• 1️⃣ \( A \) noktası: \( -6 \) sayısının üzerindedir.
• 2️⃣ \( B \) noktasını bulalım: \( B \) noktası, \( A \) noktasının \( 4 \) birim sağındadır. Sayı doğrusunda sağa gitmek demek sayıyı artırmak demektir.
  \( -6 \) sayısından \( 4 \) birim sağa ilerlersek:
  \( -6, -5, -4, -3, -2 \). Yani \( B \) noktası \( -2 \) üzerindedir.
• 3️⃣ \( C \) noktasını bulalım: \( C \) noktası, \( B \) noktasının \( 9 \) birim solundadır. Sayı doğrusunda sola gitmek demek sayıyı azaltmak demektir.
  \( -2 \) sayısından \( 9 \) birim sola ilerlersek:
  \( -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11 \). Yani \( C \) noktası \( -11 \) üzerindedir.
• 4️⃣ \( C \) noktasının mutlak değerini bulalım: \( C \) noktası \( -11 \) olduğu için, mutlak değeri \( |-11| \) olacaktır.
  \( |-11| = 11 \).

C noktasının temsil ettiği tam sayının mutlak değeri \( 11 \)'dir. ✅

💡 Deniz seviyesini \( 0 \) kabul ederiz. Deniz seviyesinin üstü pozitif (+), altı ise negatif (-) tam sayılarla ifade edilir. Uzaklık kavramı için mutlak değer kullanırız.

a) Durumları tam sayılarla ifade edelim:

• Dağcı: Deniz seviyesinden \( 1200 \) metre yüksekliktedir. Bu durumu \( +1200 \) veya sadece \( 1200 \) olarak ifade ederiz. 🏔️
• Kaşif: Deniz seviyesinin \( 300 \) metre altındaki bir mağaradadır. Bu durumu \( -300 \) olarak ifade ederiz. 🔦

b) Deniz seviyesine uzaklıklarını mutlak değerle bulalım ve karşılaştıralım:

• 1️⃣ Dağcının deniz seviyesine uzaklığı: Dağcının bulunduğu noktanın tam sayı değeri \( 1200 \)'dür. Uzaklık mutlak değeri ile bulunur:
  \( |1200| = 1200 \) metre.
• 2️⃣ Kaşifin deniz seviyesine uzaklığı: Kaşifin bulunduğu noktanın tam sayı değeri \( -300 \)'dür. Uzaklık mutlak değeri ile bulunur:
  \( |-300| = 300 \) metre.
• 3️⃣ Uzaklıkları karşılaştıralım: \( 1200 \) metre ile \( 300 \) metreyi karşılaştırıyoruz.
  \( 1200 > 300 \) olduğu için, dağcı deniz seviyesine daha uzaktır. ✅