Rasyonel sayılar Ders Notu

Rasyonel Sayılar 🔢

Rasyonel sayılar, tam sayıların birbirine oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır. Bu sayılar, kesirler ve ondalık sayılarla yakından ilişkilidir. 6. sınıf müfredatında rasyonel sayıların ne olduğunu anlamak, kesirlerle dört işlem yapabilmek ve sayı doğrusunda göstermek temel hedeflerimizdendir.

Rasyonel Sayı Nedir?

Bir a tam sayısı ve sıfırdan farklı bir b tam sayısı için \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir.

Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, 5 sayısı \( \frac{5}{1} \) şeklinde yazılabilir.
Her sonlu ondalık sayı bir rasyonel sayıdır. Örneğin, 0.75 sayısı \( \frac{75}{100} \) veya sadeleştirilmiş haliyle \( \frac{3}{4} \) şeklinde yazılabilir.
Her devirli ondalık sayı bir rasyonel sayıdır.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterilmesi

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek için öncelikle kesirleri tam sayılı kesre veya basit kesre çeviririz. Ardından, payda kadar aralığa bölerek istediğimiz sayıyı işaretleriz.

Örnek 1: \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim.

Sayı doğrusunda 0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya böleriz. Bu parçalardan 3. olan nokta \( \frac{3}{4} \) sayısını gösterir.

Örnek 2: \( 1\frac{1}{2} \) rasyonel sayısını sayı doğrusunda gösterelim.

Bu sayı 1 ile 2 arasındadır. 1 ile 2 arasını 2 eşit parçaya böleriz. Bu parçalardan 1. olan nokta \( 1\frac{1}{2} \) sayısını gösterir. Bu aynı zamanda \( \frac{3}{2} \) kesrine eşittir.

Rasyonel Sayılarla Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma İşlemi

Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse, kesirler genişletilerek veya sadeleştirilerek paydalar eşitlenir.

Örnek 3: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{5} \) işlemini yapalım.

Önce paydaları eşitleriz. 3 ve 5'in en küçük ortak katı 15'tir. \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \] \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \] Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \[ \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15} \]

Çarpma İşlemi

Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

Örnek 4: \( \frac{2}{7} \times \frac{3}{4} \) işlemini yapalım.

Payları çarpalım: \( 2 \times 3 = 6 \) Paydaları çarpalım: \( 7 \times 4 = 28 \) Sonuç: \[ \frac{6}{28} \] Bu kesri sadeleştirebiliriz: \[ \frac{6 \div 2}{28 \div 2} = \frac{3}{14} \]

Bölme İşlemi

Rasyonel sayılarla bölme işlemi yapılırken, birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

Örnek 5: \( \frac{3}{8} \div \frac{1}{2} \) işlemini yapalım.

Birinci kesir \( \frac{3}{8} \) aynen kalır. İkinci kesir \( \frac{1}{2} \) ters çevrilerek \( \frac{2}{1} \) olur. Şimdi çarpma işlemi yaparız: \[ \frac{3}{8} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{8 \times 1} = \frac{6}{8} \] Sadeleştirilmiş hali: \[ \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} \]

Rasyonel Sayıların Karşılaştırılması

Rasyonel sayıları karşılaştırmak için öncelikle paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydalar eşitlendikten sonra payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek 6: \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{5} \) sayılarını karşılaştıralım.

Paydaları eşitlemek için 3 ve 5'in ortak katı olan 15'i kullanırız. \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} \] Şimdi payları karşılaştırırız: 10 > 9. Bu nedenle \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \) olur. Yani \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \) dir.