💡 6. Sınıf Matematik: Paraleller ve kesenler Çözümlü Örnekler

İç ters açılar birbirine eşittir. Bu nedenle,

t

keseninin oluşturduğu diğer iç ters açının ölçüsü de \( 55^\circ \) olacaktır. ✅ Kural:* İç ters açılar birbirine eşittir. Sonuç:* Diğer iç ters açı \( = 55^\circ \)

Yöndeş açılar birbirine eşittir. Dolayısıyla, \( 110^\circ \) olan yöndeş açıya sahip diğer açının ölçüsü de \( 110^\circ \) olur. 📌 Kural:* Yöndeş açılar birbirine eşittir. Sonuç:* Diğer yöndeş açı \( = 110^\circ \)

Karşı durumlu açılar birbirini \( 180^\circ \) dereceye tamamlar, yani toplamları \( 180^\circ \) olur. Kural:* Karşı durumlu açılar bütünlerdir. Hesaplama:* Diğer karşı durumlu açı \( = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) Sonuç:* Diğer karşı durumlu açının ölçüsü \( 110^\circ \) 'dir. 💯

Öncelikle, iç ters açılar birbirine eşit olduğu için,

d2

doğrusu ile

t

keseninin oluşturduğu \( 80^\circ \) olan açı,

d1

doğrusu ile

t

keseninin oluşturduğu \( 80^\circ \) olan açıya eşittir. Şimdi bu \( 80^\circ \) 'lik açının komşu bütünlerini bulalım: Kural:* Bütünler açılar toplamı \( 180^\circ \) 'dir. Hesaplama:* Komşu bütünler açı \( = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) Sonuç:* \( 100^\circ \) 'dir. ✨

Bu soruyu adım adım çözelim: 1. Yöndeş Açılar: Soruda verilen \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır. Yöndeş açılar birbirine eşit olduğundan, bu tren rayı ile köprü ayağının oluşturduğu açının ölçüsü de \( 60^\circ \) olur. 2. İç Ters Açılar: Bizden istenen, köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu iç ters açının ölçüsüdür. Eğer ilk ray ile köprü ayağının oluşturduğu açı \( 60^\circ \) ise, bu açının iç tersi olan açı da \( 60^\circ \) olur. Ancak soruda dikkat etmemiz gereken nokta, "diğer tren rayıyla" ifadesidir. 3. Karşı Durumlu Açılar: İlk ray ile köprü ayağının oluşturduğu \( 60^\circ \) 'lik açının bulunduğu taraftaki diğer ray ile köprü ayağının oluşturduğu açı karşı durumlu açıdır. Karşı durumlu açılar toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, bu açı \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. 4. İstenen Açının Bulunması: Soruda bizden istenen, köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu açının iç tersidir. Eğer ilk ray ile köprü ayağının açısı \( 60^\circ \) ise, bu açının yöndeş açısı diğer rayda da \( 60^\circ \) olur. Ancak bizden istenen bu \( 60^\circ \) 'lik açının iç tersi değil, diğer ray ile oluşan açının iç tersidir. Daha net bir ifadeyle: * Ray 1 ile Kesen: \( 60^\circ \) * Ray 1 ile Kesen'in Yöndeşi: \( 60^\circ \) (Diğer ray üzerinde aynı yöne bakan açı) * Ray 1 ile Kesen'in Karşı Durumlusu: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (Diğer ray üzerinde içte ve ters yönde) Soruda "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." deniyor. Yani aslında verilen \( 60^\circ \) ilk ray ile kesenin açısı. Diğer ray ile kesenin oluşturduğu açı ise karşı durumlu olduğu için \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. Bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersi soruluyor. Yanlış Anlama:* Eğer \( 60^\circ \) ilk ray ile kesenin açısı ise, bunun iç tersi diğer ray üzerinde \( 60^\circ \) olur. Ama soru bu \( 60^\circ \) 'nin yöndeşi olduğunu söylüyor. Doğru Yaklaşım:* Verilen \( 60^\circ \) açısı, bir ray ile kesenin açısıdır. Bu açının yöndeşi (yani diğer ray ile aynı yöne bakan açı) \( 60^\circ \) 'dir. Bu \( 60^\circ \) 'lik açının iç tersi sorulmuyor. Soruda "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." ifadesi, aslında bize ilk ray ve kesenin açısının \( 60^\circ \) olduğunu dolaylı yoldan söylüyor. Tekrar toparlarsak: * Ray 1 ile Kesen arasındaki açı \( = 60^\circ \) olsun. * Soruda verilen \( 60^\circ \) ise, bu açının yöndeşidir. Yani diğer ray ile kesenin oluşturduğu açılardan biri \( 60^\circ \) olur (aynı yöne bakan). * Bizden istenen ise, köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu açının iç tersidir. Eğer diğer ray ile kesenin bir açısı \( 60^\circ \) ise, bu açının iç tersi de \( 60^\circ \) olur. Ancak, "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." ifadesi biraz kafa karıştırıcı. Genellikle bu tür sorularda, verilen açı doğrudan bir açıdır. Eğer \( 60^\circ \) açısı, bir ray ile kesenin açısı ise ve bu açı "diğer ray ile kesenin oluşturduğu açının yöndeşi" ise, o zaman diğer ray ile kesenin açısı da \( 60^\circ \) olur. Bu durumda, bu \( 60^\circ \) 'nin iç tersi de \( 60^\circ \) olur. Şimdi başka bir yorum yapalım: * Ray 1 ile Kesen'in oluşturduğu bir açı \( \alpha \) olsun. * Soruda verilen \( 60^\circ \) açısı, bu \( \alpha \) açısının yöndeşidir. Yani \( \alpha = 60^\circ \). * Bizden istenen, köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu açının iç tersidir. * Diğer tren rayı ile kesenin oluşturduğu açılar, \( \alpha \) açısıyla karşı durumludır. Yani \( 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. * Bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersi de \( 120^\circ \) olur. Sorunun ifadesi "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." şeklinde. Bu, şu anlama gelir: Verilen \( 60^\circ \), aslında bir açı değildir. Bu \( 60^\circ \), bir başka açının yöndeşidir. Bu "bir başka açı" ise, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açıdır. Yani, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açı \( 60^\circ \) 'dir. Şimdi, bu \( 60^\circ \) 'lik açının iç tersi sorulmuyor. "köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu açının iç tersi" soruluyor. * Ray 1 ile Kesen arasındaki açı \( = 60^\circ \). * Diğer ray ile Kesen arasındaki açı (karşı durumlu) \( = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). * Bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersi soruluyor. İç tersi yine \( 120^\circ \) olur. Bir daha bakalım: "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." Bu ifade, aslında bize ilk ray ile kesenin açısının \( 60^\circ \) olduğunu söylüyor. Eğer ilk ray ile kesenin açısı \( 60^\circ \) ise, o zaman diğer ray ile kesenin oluşturduğu açılar \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. Bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersi soruluyor. İç tersi de \( 120^\circ \) olur. Bu soruda, \( 60^\circ \) açısının kendisi değil, onunla ilişkili diğer açıların ölçüsü önemli. * Ray 1 ile Kesen arasındaki açı: \( 60^\circ \) * Bu açının oluşturduğu diğer açılar: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (bütünler) ve \( 60^\circ \) (ters açı). * Diğer ray ile Kesen arasındaki açılar: \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (karşı durumlu) ve \( 60^\circ \) (iç ters). Soruda verilen \( 60^\circ \) açısı, bir ray ile kesenin açısıdır. Bu açının yöndeşi (yani diğer ray ile aynı yöne bakan açı) soruluyor. Eğer ilk ray ile kesenin açısı \( 60^\circ \) ise, diğer ray ile kesenin aynı yöne bakan açısı da \( 60^\circ \) olur. Bu \( 60^\circ \) 'lik açının iç tersi soruluyor. Eğer diğer ray ile kesenin bir açısı \( 60^\circ \) ise, bu açının iç tersi de \( 60^\circ \) olur. Eğer başlangıçtaki \( 60^\circ \) açısı, bir ray ile kesenin açısı ise ve bu açı diğer ray ile kesenin açısının yöndeşi ise, o zaman diğer ray ile kesenin açısı da \( 60^\circ \) olur. Bu \( 60^\circ \) 'nin iç tersi soruluyor. Yani, cevap \( 60^\circ \) olmalı. Tekrar okuyalım: "Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, tren raylarından biriyle köprü ayağının oluşturduğu açının yöndeş açısıdır." Bu şu demek: 1. Bir tren rayı ile köprü ayağının oluşturduğu açı \( x \) olsun. 2. Soruda verilen \( 60^\circ \) açısı, bu \( x \) açısının yöndeşidir. O halde \( x = 60^\circ \). 3. Şimdi, köprü ayağının diğer tren rayıyla oluşturduğu açıyı bulalım. Bu açı, \( x \) açısıyla karşı durumludur. Yani \( 180^\circ - x = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \). 4. Bizden istenen, bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersidir. Bir açının iç tersi kendisine eşittir. O halde iç tersi de \( 120^\circ \) olur. Sonuç: \( 120^\circ \) Adım 1:* Bir tren rayı ile köprü ayağının oluşturduğu açı \( 60^\circ \) olarak belirlenir. (Sorudaki "yöndeş açısıdır" ifadesi, bu açının \( 60^\circ \) olduğunu belirtir.) Adım 2:* Diğer tren rayı ile köprü ayağının oluşturduğu açı, ilk açıyla karşı durumlu olduğundan \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) olur. Adım 3:* Soruda istenen, bu \( 120^\circ \) 'lik açının iç tersidir. İç ters açılar birbirine eşit olduğu için cevap \( 120^\circ \) olur.

Bu senaryoda, masa kenarları paralel doğruları, masa örtüsünün kenarı ise kesen doğruyu temsil eder. Kural:* İç ters açılar birbirine eşittir. Verilen:* Bir masa kenarı ile masa örtüsü kenarının oluşturduğu açı \( 75^\circ \). Sonuç:* Bu açının iç tersi olan açının ölçüsü de \( 75^\circ \) olacaktır. ✅

Bu problemi adım adım çözelim: 1. İlk Kesen ve Paralel Doğrular:

d1

ve

d2

paraleldir.

t1

keseni

d1

doğrusunu \( 40^\circ \) 'lik bir açıyla kesiyor. *

t1

ile

d1

arasındaki \( 40^\circ \) 'lik açı,

t1

ile

d2

arasındaki iç ters açı ile eşittir. Bu nedenle,

t1

ile

d2

arasındaki iç ters açı da \( 40^\circ \) olur. * Ayrıca,

t1

ile

d1

arasındaki \( 40^\circ \) 'lik açının karşı durumlu açısı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur. 2. İkinci Kesen:

t2

keseni

d2

doğrusunu \( B \) noktasında kesiyor ve

t1

ile

t2

birbirine paraleldir. *

t1

ve

t2

paralel olduğu için,

t1

keseninin

d1

doğrusuyla oluşturduğu açılarla,

t2

keseninin

d2

doğrusuyla oluşturduğu açılar arasında özel ilişkiler vardır. 3. İstenen Açıyı Bulma: Bizden istenen,

t1

keseni ile

d2

doğrusunun oluşturduğu karşı durumlu açılardan birinin ölçüsüdür. * Yukarıda bulduğumuz gibi,

t1

ile

d1

arasındaki \( 40^\circ \) 'lik açının karşı durumlu açısı \( 140^\circ \) idi. * Paralel doğrular ve kesenler konusundaki özelliklere göre,

t1

ile

d1

arasındaki karşı durumlu açı,

t1

ile

d2

arasındaki karşı durumlu açı ile ilişkilidir. Eğer \( d1 \parallel d2 \) ve

t1

bir kesen ise: *

t1

ile

d1

arasındaki \( 40^\circ \) açının karşı durumlu açısı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur. * Bu \( 140^\circ \) 'lik açı,

t1

ile

d2

arasındaki karşı durumlu açıya eşittir.

t2

keseninin varlığı bu soruda kafa karıştırıcı olabilir, ancak istenen açı

t1

ve

d2

arasındaki ilişkiden bulunur. Adım 1:* \( d1 \parallel d2 \) ve

t1

keseni

d1

doğrusunu \( 40^\circ \) ile keser. Adım 2:*

t1

ile

d1

arasındaki \( 40^\circ \) açının karşı durumlu açısı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur. Adım 3:* Paralel doğrular ve kesenler kuralına göre,

t1

ile

d1

arasındaki karşı durumlu açı,

t1

ile

d2

arasındaki karşı durumlu açıya eşittir. Sonuç:* \( 140^\circ \)

Bu soruda, yol kenarındaki direkler paralel doğruları, eğimli yol ise kesen doğruyu temsil eder. Direklerin yükseklikleri burada kafa karıştırıcı olabilir, çünkü açıları doğrudan etkilemez. Önemli olan, yolun direklerle yaptığı açılardır. Adım 1:* Yolun birinci direkle yaptığı açı \( 50^\circ \) olarak verilmiştir. Adım 2:* İki yol kenarı paralel olduğundan ve yol bunları kestiğinden, yolun birinci direkle yaptığı \( 50^\circ \) 'lik açının iç tersi olan açı, diğer yol kenarı (ikinci direğin bulunduğu kenar) ile yolun kesişiminde oluşur. Kural:* İç ters açılar birbirine eşittir. Sonuç:* Yolun ikinci direkle yaptığı iç ters açı da \( 50^\circ \) olacaktır. ✅

Karşı durumlu açılar birbirini \( 180^\circ \) dereceye tamamlar. Bu bilgiyi kullanarak \( x \) değerini bulabiliriz. Kural:* Karşı durumlu açılar bütünlerdir (toplamları \( 180^\circ \)). Denklem:* \( (3x + 10^\circ) + (5x - 30^\circ) = 180^\circ \) Denklemi Çözme:* * Benzer terimleri birleştir: \( 8x - 20^\circ = 180^\circ \) * Sabit terimi diğer tarafa at: \( 8x = 180^\circ + 20^\circ \) * Toplama işlemini yap: \( 8x = 200^\circ \) * \( x \)'i bulmak için her iki tarafı 8'e böl: \( x = \frac{200^\circ}{8} \) * Bölme işlemini yap: \( x = 25^\circ \) Açılardan Birinin Ölçüsünü Bulma:* * İlk açı: \( 3x + 10^\circ = 3(25^\circ) + 10^\circ = 75^\circ + 10^\circ = 85^\circ \) * İkinci açı (kontrol amaçlı): \( 5x - 30^\circ = 5(25^\circ) - 30^\circ = 125^\circ - 30^\circ = 95^\circ \) Kontrol:* \( 85^\circ + 95^\circ = 180^\circ \). Denklemimiz doğrudur. Sonuç:* \( x = 25^\circ \) ve açılardan biri \( 85^\circ \) (diğeri \( 95^\circ \)) 'dir. 💯