Paraleller ve kesenler Ders Notu

Paraleller ve Kesenler 📐

Bu bölümde, matematikte temel bir kavram olan paralelleri ve bu paralelleri kesen doğruları inceleyeceğiz. Paralel doğrular, düzlemde birbirlerini hiçbir zaman kesmeyen, aralarındaki uzaklık sabit kalan doğrulardır. Kesen doğrular ise iki veya daha fazla doğruyu farklı noktalarda kesen doğrulardır.

Paralel Doğrular

Birbirini kesmeyen ve aynı düzlemde bulunan iki doğruya paralel doğrular denir. Paralel doğruları göstermek için ∥ sembolü kullanılır. Örneğin, d1 doğrusu d2 doğrusuna paralelse, bunu d1 ∥ d2 şeklinde ifade ederiz.

Kesen Doğrular ve Oluşan Açılar

Bir k doğrusu, d1 ve d2 paralel doğrularını keserse, bu kesişim sonucunda bazı açılar oluşur. Bu açılar birbirleriyle özel ilişkilere sahiptir.

İç Ters Açılar

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin farklı tarafında kalan ve doğruların arasında kalan (içerideki) açılara iç ters açılar denir. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Eğer k doğrusu, d1 ve d2 paralel doğrularını keserse, oluşan iç ters açılardan bir çiftinin ölçüsü \( \alpha \) ise, diğer iç ters açının ölçüsü de \( \alpha \) olur.

Yöndeş Açılar

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin aynı tarafında kalan ve doğruların aynı yöne bakan açılara yöndeş açılar denir. Yöndeş açıların ölçüleri de birbirine eşittir.

Örneğin, k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan ve sağ üstte kalan açı ile, k doğrusunun d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan ve sağ üstte kalan açı yöndeştir.

Karşı Durumlu Açılar

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin farklı tarafında kalan ve doğruların arasında kalan (içerideki) açılara karşı durumlu açılar denir. Karşı durumlu açıların ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olur.

Eğer k doğrusu, d1 ve d2 paralel doğrularını keserse, oluşan karşı durumlu açılardan birinin ölçüsü \( \beta \) ise, diğerinin ölçüsü \( 180^\circ - \beta \) olur.

Dış Ters Açılar

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan, kesenin farklı tarafında kalan ve doğruların dışında kalan açılara dış ters açılar denir. Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Tümler ve Bütünler Açılar

Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan iki açıya tümler açılar denir.
Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) olan iki açıya bütünler açılar denir.

Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılar arasında tümler ve bütünler ilişkilileri de bulunur.

Pratik Uygulamalar

Paralel doğrular ve kesenler konusu, geometride pek çok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir binanın yapımında kullanılan kirişlerin paralel olması, sokakların kesişimi gibi durumlar bu konunun pratik örnekleridir.

Örnek Soru

Bir d1 doğrusu ile d2 doğrusu birbirine paraleldir. Bir k keseni bu doğruları kesmektedir. k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 70^\circ \) ise, diğer noktalarda oluşan açılardan iç ters, yöndeş ve karşı durumlu açıların ölçülerini bulunuz.

İç ters açının ölçüsü: \( 70^\circ \)
Yöndeş açının ölçüsü: \( 70^\circ \)
Karşı durumlu açının ölçüsü: \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)