💡 6. Sınıf Matematik: Paralelkenar Çözümlü Örnekler

Bir paralelkenarın çevresi, komşu iki kenarının uzunluklarının toplamının 2 katına eşittir.

• Paralelkenarın komşu kenar uzunlukları: \( a = 8 \) cm ve \( b = 5 \) cm.
• Paralelkenarın çevresi formülü: \( Çevre = 2 \times (a + b) \)
• Değerleri formülde yerine koyalım: \( Çevre = 2 \times (8 \text{ cm} + 5 \text{ cm}) \)
• Toplama işlemini yapalım: \( Çevre = 2 \times (13 \text{ cm}) \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( Çevre = 26 \text{ cm} \)

✅ Sonuç: Paralelkenarın çevresi 26 cm'dir.

Paralelkenarın özelliklerini kullanarak açılarını bulalım:

• Paralelkenarda ardışık açılar bütünlerdir, yani toplamları \( 180^\circ \) olur. Verilen açılar zaten bu özelliği sağlamaktadır: \( 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ \).
• Paralelkenarda karşılıklı açılar birbirine eşittir.
• Bu durumda, \( 70^\circ \) olan açının karşısındaki açı da \( 70^\circ \) olur.
• Aynı şekilde, \( 110^\circ \) olan açının karşısındaki açı da \( 110^\circ \) olur.

👉 Paralelkenarın açıları \( 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ \) şeklindedir.

Paralelkenarın alanını hesaplamak için taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliği çarparız.

• Paralelkenarın tabanı: \( a = 12 \) cm
• Paralelkenarın yüksekliği: \( h = 6 \) cm
• Paralelkenarın alanı formülü: \( Alan = taban \times yükseklik \)
• Değerleri formülde yerine koyalım: \( Alan = 12 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( Alan = 72 \text{ cm}^2 \)

✅ Sonuç: Paralelkenarın alanı 72 cm²'dir.

Paralelkenarın çevresi formülünü kullanarak bilinmeyen kenarı bulalım.

• Paralelkenarın çevresi: \( Çevre = 30 \) cm
• Kısa kenarı: \( b = 6 \) cm
• Paralelkenarın çevresi formülü: \( Çevre = 2 \times (a + b) \), burada \( a \) uzun kenardır.
• Formülde verilenleri yerine koyalım: \( 30 \text{ cm} = 2 \times (a + 6 \text{ cm}) \)
• Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölelim: \( 15 \text{ cm} = a + 6 \text{ cm} \)
• \( a \) değerini bulmak için 6 cm'yi karşıya atalım: \( a = 15 \text{ cm} - 6 \text{ cm} \)
• \( a = 9 \text{ cm} \)

👉 Paralelkenarın uzun kenarı 9 cm'dir.

Bu soruda paralelkenarın alanını hesaplayarak bahçenin zemin alanını bulacağız.

• Bahçenin paralelkenar şeklindeki zeminin tabanı: \( 10 \) metre
• Bu tabana ait yükseklik: \( 7 \) metre
• Paralelkenarın alanı formülü: \( Alan = taban \times yükseklik \)
• Alanı hesaplayalım: \( Alan = 10 \text{ m} \times 7 \text{ m} \)
• \( Alan = 70 \text{ m}^2 \)

✅ Sonuç: Bahçenin zemini 70 metrekare alana sahiptir. Bu bilgi, ne kadar malzeme (örneğin fayans) gerektiğini belirlemek için kullanılabilir.

Bu soruda dikkat etmemiz gereken nokta, verilen yüksekliğin hangi kenara ait olduğudur. Alan hesaplanırken taban ve o tabana ait yükseklik kullanılır.

• Paralelkenarın kısa kenarı: \( 70 \) cm
• Paralelkenarın uzun kenarı: \( 120 \) cm
• Kısa kenara ait yükseklik: \( h_{kısa} = 50 \) cm
• Paralelkenarın alanı formülü: \( Alan = taban \times yükseklik \)
• Burada taban olarak kısa kenarı (70 cm) ve o kenara ait yüksekliği (50 cm) kullanmalıyız.
• Alanı hesaplayalım: \( Alan = 70 \text{ cm} \times 50 \text{ cm} \)
• \( Alan = 3500 \text{ cm}^2 \)

👉 Eğer soruda uzun kenara ait yükseklik verilseydi, onu kullanırdık. Bu örnekte kısa kenara ait yükseklik verildiği için onu kullandık. Masanın üst yüzeyinin alanı 3500 cm²'dir.

Bu soruyu iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözeceğiz.

• İlk durumdaki paralelkenarın alanı: \( x \times y = 48 \)
• İkinci durumda taban \( x+2 \) ve yükseklik \( y-1 \) olur. Yeni alan \( 50 \) cm²'dir.
• İkinci durum denklemi: \( (x+2) \times (y-1) = 50 \)
• İkinci denklemi açalım: \( xy - x + 2y - 2 = 50 \)
• İlk denklemden \( xy = 48 \) olduğunu biliyoruz. Bunu yerine koyalım: \( 48 - x + 2y - 2 = 50 \)
• Sadeleştirelim: \( 46 - x + 2y = 50 \)
• \( -x + 2y = 50 - 46 \)
• \( -x + 2y = 4 \)
• Şimdi elimizde iki denklem var:
  1) \( xy = 48 \)
  2) \( -x + 2y = 4 \)
• İkinci denklemden \( x \) değerini çekelim: \( x = 2y - 4 \)
• Bu \( x \) değerini birinci denklemde yerine koyalım: \( (2y - 4) \times y = 48 \)
• Denklemi açalım: \( 2y^2 - 4y = 48 \)
• Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2y^2 - 4y - 48 = 0 \)
• Denklemi 2'ye bölelim: \( y^2 - 2y - 24 = 0 \)
• Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (y - 6)(y + 4) = 0 \)
• Buradan \( y = 6 \) veya \( y = -4 \) bulunur. Yükseklik negatif olamayacağı için \( y = 6 \) cm'dir.
• Şimdi \( y = 6 \) değerini \( x = 2y - 4 \) denkleminde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım: \( x = 2(6) - 4 = 12 - 4 = 8 \)
• Yani \( x = 8 \) cm'dir.

✅ Kontrol edelim: İlk alan \( 8 \times 6 = 48 \) cm². Yeni taban \( 8+2=10 \) cm, yeni yükseklik \( 6-1=5 \) cm. Yeni alan \( 10 \times 5 = 50 \) cm². Sonuçlar tutmaktadır. 👉 Paralelkenarın tabanı \( 8 \) cm ve yüksekliği \( 6 \) cm'dir.

Bu soruda, pilotun izlediği paralelkenar şeklindeki rotanın çevresini hesaplamamız gerekiyor. Paralelkenarın çevresi, komşu iki kenarının toplamının iki katıdır.

• Paralelkenar rotanın kısa kenarı: \( a = 600 \) metre
• Paralelkenar rotanın uzun kenarı: \( b = 800 \) metre
• Paralelkenarın çevresi formülü: \( Çevre = 2 \times (a + b) \)
• Değerleri formülde yerine koyalım: \( Çevre = 2 \times (600 \text{ m} + 800 \text{ m}) \)
• Toplama işlemini yapalım: \( Çevre = 2 \times (1400 \text{ m}) \)
• Çarpma işlemini yapalım: \( Çevre = 2800 \text{ m} \)

👉 Soruda verilen \( 60^\circ \) açı, paralelkenarın alanını hesaplamak için gerekli olabilirdi ancak çevresini hesaplamak için gerekli değildir. Pilot, bu rota üzerinde toplam 2800 metre mesafe katetmiştir.