🎓 6. Sınıf
📚 6. Sınıf Matematik
💡 6. Sınıf Matematik: Paralel Doğrular ve Üçgenin Açıları Çözümlü Örnekler
6. Sınıf Matematik: Paralel Doğrular ve Üçgenin Açıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları ile bu doğruları kesen bir t doğrusu veriliyor. t doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 75^\circ \) ise, diğer açılar kaçar derecedir? 💡
Çözüm:
Paralel doğrular ve kesen kavramlarını hatırlayalım.
1. Yöndeş Açılar: Kesişen t doğrusu ile d1 doğrusu arasındaki \( 75^\circ \) 'lik açı ile d2 doğrusu üzerinde aynı yöne bakan açı eşittir. Yani, yöndeş açılar da \( 75^\circ \) olur. 2. Ters Açılar: Kesişim noktasındaki \( 75^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 75^\circ \) olur. 3. Bütünler Açılar: Bir doğru üzerindeki açıların toplamı \( 180^\circ \) 'dir. \( 75^\circ \) 'lik açının yanındaki komşu bütünler açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur. 4. Diğer Açılar: Bu \( 105^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 105^\circ \) olacaktır. Sonuç olarak, oluşan açılar \( 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ \) şeklinde gruplanır. 👉
1. Yöndeş Açılar: Kesişen t doğrusu ile d1 doğrusu arasındaki \( 75^\circ \) 'lik açı ile d2 doğrusu üzerinde aynı yöne bakan açı eşittir. Yani, yöndeş açılar da \( 75^\circ \) olur. 2. Ters Açılar: Kesişim noktasındaki \( 75^\circ \) 'lik açının ters açısı da \( 75^\circ \) olur. 3. Bütünler Açılar: Bir doğru üzerindeki açıların toplamı \( 180^\circ \) 'dir. \( 75^\circ \) 'lik açının yanındaki komşu bütünler açı \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olur. 4. Diğer Açılar: Bu \( 105^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 105^\circ \) olacaktır. Sonuç olarak, oluşan açılar \( 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ \) şeklinde gruplanır. 👉
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 50^\circ \), B açısı \( 60^\circ \) olduğuna göre, C açısı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) 'dir. Bu temel bilgiyi kullanarak C açısını bulabiliriz.
1. Verilen Açılar: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). 2. Toplam Açı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \). 3. Yerine Koyma: \( 50^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \). 4. Basitleştirme: \( 110^\circ + \angle C = 180^\circ \). 5. C Açısını Bulma: \( \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \). C açısı \( 70^\circ \) olarak bulunur. ✅
1. Verilen Açılar: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). 2. Toplam Açı: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \). 3. Yerine Koyma: \( 50^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \). 4. Basitleştirme: \( 110^\circ + \angle C = 180^\circ \). 5. C Açısını Bulma: \( \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \). C açısı \( 70^\circ \) olarak bulunur. ✅
Örnek 3:
İki paralel doğruyu kesen bir üçüncü doğru çizildiğinde, oluşan "iç ters" açılar birbirine eşittir. Eğer bu açılardan biri \( (2x + 10)^\circ \) ve diğeri \( (4x - 30)^\circ \) ise, x'in değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
İç ters açıların eşitliği prensibini kullanacağız.
1. Eşitlik Kurma: İç ters açılar eşit olduğundan, \( (2x + 10)^\circ = (4x - 30)^\circ \) denklemini kurarız. 2. x'li Terimleri Bir Tarafa Toplama: \( 10 + 30 = 4x - 2x \). 3. Sayıları Bir Tarafa Toplama: \( 40 = 2x \). 4. x'i Bulma: \( x = \frac{40}{2} = 20 \). x'in değeri 20'dir. Bu değeri açılarda yerine koyarak açıları da bulabiliriz: \( 2(20) + 10 = 50^\circ \) ve \( 4(20) - 30 = 80 - 30 = 50^\circ \). 🎉
1. Eşitlik Kurma: İç ters açılar eşit olduğundan, \( (2x + 10)^\circ = (4x - 30)^\circ \) denklemini kurarız. 2. x'li Terimleri Bir Tarafa Toplama: \( 10 + 30 = 4x - 2x \). 3. Sayıları Bir Tarafa Toplama: \( 40 = 2x \). 4. x'i Bulma: \( x = \frac{40}{2} = 20 \). x'in değeri 20'dir. Bu değeri açılarda yerine koyarak açıları da bulabiliriz: \( 2(20) + 10 = 50^\circ \) ve \( 4(20) - 30 = 80 - 30 = 50^\circ \). 🎉
Örnek 4:
Bir üçgenin iç açılarından ikisi birbirine eşit ve üçüncü açı bu iki açıdan \( 30^\circ \) fazladır. Bu üçgenin en büyük açısı kaç derecedir? 🌟
Çözüm:
Eşit olan açılara \( x \) diyelim. Bu durumda üçüncü açı \( x + 30^\circ \) olur.
1. Üçgenin İç Açıları Toplamı: \( x + x + (x + 30^\circ) = 180^\circ \). 2. Denklemi Düzenleme: \( 3x + 30^\circ = 180^\circ \). 3. x'li Terimi Yalnız Bırakma: \( 3x = 180^\circ - 30^\circ \). 4. Hesaplama: \( 3x = 150^\circ \). 5. x'i Bulma: \( x = \frac{150^\circ}{3} = 50^\circ \). Bu durumda üçgenin açıları \( 50^\circ, 50^\circ \) ve \( 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \) olur. En büyük açı \( 80^\circ \)'dir. 🏆
1. Üçgenin İç Açıları Toplamı: \( x + x + (x + 30^\circ) = 180^\circ \). 2. Denklemi Düzenleme: \( 3x + 30^\circ = 180^\circ \). 3. x'li Terimi Yalnız Bırakma: \( 3x = 180^\circ - 30^\circ \). 4. Hesaplama: \( 3x = 150^\circ \). 5. x'i Bulma: \( x = \frac{150^\circ}{3} = 50^\circ \). Bu durumda üçgenin açıları \( 50^\circ, 50^\circ \) ve \( 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ \) olur. En büyük açı \( 80^\circ \)'dir. 🏆
Örnek 5:
Bir tren rayı düşünelim. Raylar birbirine paraleldir. Bir hemzemin geçidinde, rayları kesen bir yol vardır. Yolun raylarla yaptığı açılardan biri \( 120^\circ \) ise, bu yolun diğer rayla yaptığı açılardan en küçük olanı kaç derecedir? 🛤️
Çözüm:
Bu problem, paralel doğrular ve kesen kavramının günlük hayattaki bir uygulamasıdır.
1. Paralel Raylar: Tren rayları birbirine paraleldir (d1 || d2). 2. Kesici Yol: Hemzemin geçidindeki yol, bu paralel rayları kesen bir doğrudur (t). 3. Verilen Açı: Yolun bir rayla yaptığı açılardan biri \( 120^\circ \). Bu açı, yolun rayla yaptığı geniş açılardan biridir. 4. Bütünler Açı: Bir doğru üzerindeki iki komşu açının toplamı \( 180^\circ \) olacağından, \( 120^\circ \) açısının bütünler açısı \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur. Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, yolun aynı rayla yaptığı dar açılardan biridir. 5. Yöndeş ve Ters Açılar: Paralel doğrular ve kesen konusunda öğrendiğimiz gibi, kesen yolun diğer rayla yaptığı açılar da aynı şekilde oluşur. - \( 120^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 120^\circ \) olacaktır. - \( 60^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 60^\circ \) olacaktır. 6. En Küçük Açı: Yolun diğer rayla yaptığı açılar \( 120^\circ \) ve \( 60^\circ \) olacaktır. Bunlardan en küçüğü \( 60^\circ \)'dir. 🚦
1. Paralel Raylar: Tren rayları birbirine paraleldir (d1 || d2). 2. Kesici Yol: Hemzemin geçidindeki yol, bu paralel rayları kesen bir doğrudur (t). 3. Verilen Açı: Yolun bir rayla yaptığı açılardan biri \( 120^\circ \). Bu açı, yolun rayla yaptığı geniş açılardan biridir. 4. Bütünler Açı: Bir doğru üzerindeki iki komşu açının toplamı \( 180^\circ \) olacağından, \( 120^\circ \) açısının bütünler açısı \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) olur. Bu \( 60^\circ \) 'lik açı, yolun aynı rayla yaptığı dar açılardan biridir. 5. Yöndeş ve Ters Açılar: Paralel doğrular ve kesen konusunda öğrendiğimiz gibi, kesen yolun diğer rayla yaptığı açılar da aynı şekilde oluşur. - \( 120^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 120^\circ \) olacaktır. - \( 60^\circ \) 'lik açının yöndeş ve ters açıları da \( 60^\circ \) olacaktır. 6. En Küçük Açı: Yolun diğer rayla yaptığı açılar \( 120^\circ \) ve \( 60^\circ \) olacaktır. Bunlardan en küçüğü \( 60^\circ \)'dir. 🚦
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın çatısının tasarımını yaparken üçgen şeklindeki parçalar kullanıyor. Bu üçgenin bir köşesindeki açı \( 90^\circ \) (dik açı) ve diğer iki açısı \( x \) ve \( 2x \) olarak belirleniyor. Bu üçgenin \( x \) açısı kaç derecedir? 🏗️
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemidir ve üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) bilgisini kullanacağız.
1. Üçgenin Açıları: \( 90^\circ, x, 2x \). 2. Toplam Açı Denklemi: \( 90^\circ + x + 2x = 180^\circ \). 3. x'li Terimleri Birleştirme: \( 90^\circ + 3x = 180^\circ \). 4. Sabit Terimi Karşıya Atma: \( 3x = 180^\circ - 90^\circ \). 5. Hesaplama: \( 3x = 90^\circ \). 6. x'i Bulma: \( x = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ \). Böylece \( x = 30^\circ \) ve \( 2x = 60^\circ \) olur. Üçgenin açıları \( 90^\circ, 30^\circ, 60^\circ \) olur. 📏
1. Üçgenin Açıları: \( 90^\circ, x, 2x \). 2. Toplam Açı Denklemi: \( 90^\circ + x + 2x = 180^\circ \). 3. x'li Terimleri Birleştirme: \( 90^\circ + 3x = 180^\circ \). 4. Sabit Terimi Karşıya Atma: \( 3x = 180^\circ - 90^\circ \). 5. Hesaplama: \( 3x = 90^\circ \). 6. x'i Bulma: \( x = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ \). Böylece \( x = 30^\circ \) ve \( 2x = 60^\circ \) olur. Üçgenin açıları \( 90^\circ, 30^\circ, 60^\circ \) olur. 📏
Örnek 7:
Bir merdivenin basamakları, zemine ve duvara göre belirli açılar yapar. Eğer merdivenin zemine yaptığı açı \( 70^\circ \) ise, merdivenin duvarla yaptığı dar açı kaç derecedir? Merdiven, duvar ve zemin bir üçgen oluşturur. 🪜
Çözüm:
Bu durumda, merdiven, zemin ve duvarın oluşturduğu şekli bir dik üçgen olarak düşünebiliriz (duvarın zemine dik olduğunu varsayarak).
1. Dik Üçgen Varsayımı: Duvar ile zemin arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir. 2. Verilen Açı: Merdivenin zemine yaptığı açı \( 70^\circ \). 3. Üçgenin İç Açıları Toplamı: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır. 4. Bilinmeyen Açıyı Bulma: Merdivenin duvarla yaptığı dar açıya \( y \) diyelim. O zaman \( 90^\circ + 70^\circ + y = 180^\circ \) olur. 5. Denklemi Çözme: \( 160^\circ + y = 180^\circ \). 6. y'yi Hesaplama: \( y = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \). Merdivenin duvarla yaptığı dar açı \( 20^\circ \)'dir. 🏠
1. Dik Üçgen Varsayımı: Duvar ile zemin arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir. 2. Verilen Açı: Merdivenin zemine yaptığı açı \( 70^\circ \). 3. Üçgenin İç Açıları Toplamı: Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır. 4. Bilinmeyen Açıyı Bulma: Merdivenin duvarla yaptığı dar açıya \( y \) diyelim. O zaman \( 90^\circ + 70^\circ + y = 180^\circ \) olur. 5. Denklemi Çözme: \( 160^\circ + y = 180^\circ \). 6. y'yi Hesaplama: \( y = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \). Merdivenin duvarla yaptığı dar açı \( 20^\circ \)'dir. 🏠
Örnek 8:
İki paralel doğruyu kesen bir t doğrusu veriliyor. t doğrusunun üstteki paralel doğruyu kestiği noktada oluşan pozitif yönlü açılardan biri \( \alpha \) ve alttaki paralel doğruyu kestiği noktada oluşan negatif yönlü açılardan biri \( \beta \) olarak adlandırılıyor. Eğer \( \alpha = (3y + 15)^\circ \) ve \( \beta = (180 - 2y)^\circ \) ise ve bu iki açı iç ters açıları oluşturuyorsa, y'nin değeri kaçtır? 🧭
Çözüm:
Bu soruda hem paralel doğruların kesişimi hem de iç ters açı kavramları bir arada kullanılıyor.
1. İç Ters Açıların Eşitliği: Soruda \( \alpha \) ve \( \beta \) açılarının iç ters açıları oluşturduğu belirtiliyor. Bu durumda \( \alpha = \beta \) olmalıdır. 2. Denklem Kurma: \( (3y + 15)^\circ = (180 - 2y)^\circ \). 3. y'li Terimleri Bir Tarafa Toplama: \( 3y + 2y = 180 - 15 \). 4. Sayıları Bir Tarafa Toplama: \( 5y = 165 \). 5. y'yi Bulma: \( y = \frac{165}{5} = 33 \). y'nin değeri 33'tür. Bu durumda \( \alpha = 3(33) + 15 = 99 + 15 = 114^\circ \) ve \( \beta = 180 - 2(33) = 180 - 66 = 114^\circ \) olur. Bu iki açı birbirine eşittir ve iç ters açıları oluştururlar. 🗺️
1. İç Ters Açıların Eşitliği: Soruda \( \alpha \) ve \( \beta \) açılarının iç ters açıları oluşturduğu belirtiliyor. Bu durumda \( \alpha = \beta \) olmalıdır. 2. Denklem Kurma: \( (3y + 15)^\circ = (180 - 2y)^\circ \). 3. y'li Terimleri Bir Tarafa Toplama: \( 3y + 2y = 180 - 15 \). 4. Sayıları Bir Tarafa Toplama: \( 5y = 165 \). 5. y'yi Bulma: \( y = \frac{165}{5} = 33 \). y'nin değeri 33'tür. Bu durumda \( \alpha = 3(33) + 15 = 99 + 15 = 114^\circ \) ve \( \beta = 180 - 2(33) = 180 - 66 = 114^\circ \) olur. Bu iki açı birbirine eşittir ve iç ters açıları oluştururlar. 🗺️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/6-sinif-matematik-paralel-dogrular-ve-ucgenin-acilari/sorular