Kontrol: \( n = 9 \) için \( 5 \times 9 - 3 = 45 - 3 = 42 \).
Cevap: Örüntünün 9. terimi 42'dir. ✅
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Zeynep'in kumbarasında başlangıçta 20 TL vardır. Zeynep her hafta kumbarasına 5 TL eklemektedir. Haftalık biriken toplam parayı veren cebirsel ifadeyi yazınız. (1. hafta sonunda kumbarada 25 TL olacaktır.)
Çözüm ve Açıklama
Haftalara göre para miktarını listeleyelim: 💰
1. Hafta: \( 20 + 5 = 25 \) TL
2. Hafta: \( 25 + 5 = 30 \) TL
3. Hafta: \( 30 + 5 = 35 \) TL
Örüntümüz: 25, 30, 35, ...
Artış miktarı 5 olduğu için kural \( 5n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için \( 5 \times 1 = 5 \). İlk hafta 25 TL olması için 20 eklemeliyiz.
Cebirsel İfade: \( 5n + 20 \)
Not: Buradaki \( n \) geçen hafta sayısını temsil eder.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Kibrit çöpleriyle oluşturulan bir örüntüde;
1. adımda 1 kare oluşturmak için 4 çöp,
2. adımda yan yana 2 kare oluşturmak için 7 çöp,
3. adımda yan yana 3 kare oluşturmak için 10 çöp kullanılmaktadır.
Buna göre \( n \) tane kare oluşturmak için gereken çöp sayısını veren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Adım sayıları ile çöp sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim: 🪵
Adım 1: 4 çöp
Adım 2: 7 çöp
Adım 3: 10 çöp
Örüntü: 4, 7, 10, ... şeklinde ilerliyor.
Artış miktarı: \( 7 - 4 = 3 \). Kural \( 3n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için: \( 3 \times 1 = 3 \). İlk terim 4 olduğu için \( 1 \) ekleriz.
Genel Kural: \( 3n + 1 \)
Bu ifade sayesinde istediğimiz kadar kare için kaç çöp gerektiğini hesaplayabiliriz. ✨
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir sayı örüntüsünün 3. terimi 17, 4. terimi 21'dir. Bu örüntünün cebirsel ifadesini ve 100. terimini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Ardışık iki terim verildiği için artış miktarını kolayca bulabiliriz: 🧠
Artış miktarı: \( 21 - 17 = 4 \).
Kural \( 4n \) ile başlar.
3. terimi kullanarak sabit sayıyı bulalım: \( n = 3 \) için \( 4 \times 3 = 12 \).
3. terimin 17 olması için: \( 12 + 5 = 17 \).
Cebirsel İfade: \( 4n + 5 \).
100. Terim: \( n = 100 \) için \( 4 \times 100 + 5 = 405 \).
Bir kafede masalar yan yana birleştirilmektedir. 1 masa etrafına 6 sandalye, 2 masa birleştirildiğinde 10 sandalye, 3 masa birleştirildiğinde 14 sandalye dizilebilmektedir. Masa sayısı \( n \) ile gösterilirse, sandalye sayısını veren cebirsel ifade nedir? 20 masa birleştirilirse kaç sandalye gerekir?
Çözüm ve Açıklama
Masa ve sandalye sayıları arasındaki ilişkiyi kurala dökelim: 🪑
Masa Sayısı (n) | Sandalye Sayısı
1 masa: 6
2 masa: 10
3 masa: 14
Artış miktarı: \( 10 - 6 = 4 \). Kural \( 4n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için: \( 4 \times 1 = 4 \). 6 olması için 2 ekleriz.
Genel Kural: \( 4n + 2 \)
20 Masa İçin: \( n = 20 \) yazalım.
\( 4 \times 20 + 2 = 80 + 2 = 82 \)
Sonuç: Cebirsel ifade \( 4n + 2 \)'dir ve 20 masa için 82 sandalye gerekir. ☕
6. Sınıf Matematik: Örüntülerde cebirsel ifade Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
2, 5, 8, 11, ... şeklinde devam eden sayı örüntüsünün cebirsel ifadesini (genel kuralını) bulunuz.
Çözüm:
Örüntünün genel kuralını bulmak için şu adımları izleyelim: 💡
Adım 1: Sayılar arasındaki artış miktarını bulalım.
\( 5 - 2 = 3 \), \( 8 - 5 = 3 \). Artış miktarı \( 3 \)'tür.
Adım 2: Artış miktarını \( n \) değişkeninin önüne katsayı olarak yazalım: \( 3n \).
Adım 3: Birinci terimi (2) elde etmek için \( n = 1 \) yazalım. \( 3 \times 1 = 3 \) olur.
Adım 4: 3 sayısından kaç çıkarırsak ilk terim olan 2'yi buluruz? \( 3 - 1 = 2 \).
Sonuç: Örüntünün cebirsel ifadesi \( 3n - 1 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Genel kuralı \( 4n + 7 \) olan bir sayı örüntüsünün 10. terimi kaçtır?
Çözüm:
Bir örüntüde istenilen adımdaki sayıyı bulmak için \( n \) yerine o adım numarasını yazarız: 👇
Örüntünün kuralı: \( 4n + 7 \)
Bizden 10. terim istendiği için \( n = 10 \) almalıyız.
İşlem: \( 4 \times 10 + 7 \)
\( 40 + 7 = 47 \)
Cevap: Örüntünün 10. terimi \( 47 \)'dir. 🎯
Örnek 3:
7, 13, 19, 25, ... sayı örüntüsünün cebirsel ifadesini bulunuz ve bu örüntünün 50. terimini hesaplayınız.
Çözüm:
Önce kuralı bulalım, sonra terimi hesaplayalım: 📝
Kuralı Bulma:
Artış miktarı: \( 13 - 7 = 6 \). Kural \( 6n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için: \( 6 \times 1 = 6 \). İlk terim 7 olduğu için \( 1 \) eklemeliyiz.
Cebirsel ifade: \( 6n + 1 \).
50. Terimi Hesaplama:
\( n = 50 \) için: \( 6 \times 50 + 1 \)
\( 300 + 1 = 301 \)
Sonuç: Genel kural \( 6n + 1 \) ve 50. terim \( 301 \)'dir. 🚀
Örnek 4:
Cebirsel ifadesi \( 5n - 3 \) olan bir örüntünün kaçıncı terimi 42 eder?
Çözüm:
Bu soruda sonucu bildiğimiz için terim numarasını (n) bulmak için tersten işlem yapabiliriz: 🔍
Kontrol: \( n = 9 \) için \( 5 \times 9 - 3 = 45 - 3 = 42 \).
Cevap: Örüntünün 9. terimi 42'dir. ✅
Örnek 5:
Zeynep'in kumbarasında başlangıçta 20 TL vardır. Zeynep her hafta kumbarasına 5 TL eklemektedir. Haftalık biriken toplam parayı veren cebirsel ifadeyi yazınız. (1. hafta sonunda kumbarada 25 TL olacaktır.)
Çözüm:
Haftalara göre para miktarını listeleyelim: 💰
1. Hafta: \( 20 + 5 = 25 \) TL
2. Hafta: \( 25 + 5 = 30 \) TL
3. Hafta: \( 30 + 5 = 35 \) TL
Örüntümüz: 25, 30, 35, ...
Artış miktarı 5 olduğu için kural \( 5n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için \( 5 \times 1 = 5 \). İlk hafta 25 TL olması için 20 eklemeliyiz.
Cebirsel İfade: \( 5n + 20 \)
Not: Buradaki \( n \) geçen hafta sayısını temsil eder.
Örnek 6:
Kibrit çöpleriyle oluşturulan bir örüntüde;
1. adımda 1 kare oluşturmak için 4 çöp,
2. adımda yan yana 2 kare oluşturmak için 7 çöp,
3. adımda yan yana 3 kare oluşturmak için 10 çöp kullanılmaktadır.
Buna göre \( n \) tane kare oluşturmak için gereken çöp sayısını veren cebirsel ifadeyi bulunuz.
Çözüm:
Adım sayıları ile çöp sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim: 🪵
Adım 1: 4 çöp
Adım 2: 7 çöp
Adım 3: 10 çöp
Örüntü: 4, 7, 10, ... şeklinde ilerliyor.
Artış miktarı: \( 7 - 4 = 3 \). Kural \( 3n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için: \( 3 \times 1 = 3 \). İlk terim 4 olduğu için \( 1 \) ekleriz.
Genel Kural: \( 3n + 1 \)
Bu ifade sayesinde istediğimiz kadar kare için kaç çöp gerektiğini hesaplayabiliriz. ✨
Örnek 7:
Bir sayı örüntüsünün 3. terimi 17, 4. terimi 21'dir. Bu örüntünün cebirsel ifadesini ve 100. terimini bulunuz.
Çözüm:
Ardışık iki terim verildiği için artış miktarını kolayca bulabiliriz: 🧠
Artış miktarı: \( 21 - 17 = 4 \).
Kural \( 4n \) ile başlar.
3. terimi kullanarak sabit sayıyı bulalım: \( n = 3 \) için \( 4 \times 3 = 12 \).
3. terimin 17 olması için: \( 12 + 5 = 17 \).
Cebirsel İfade: \( 4n + 5 \).
100. Terim: \( n = 100 \) için \( 4 \times 100 + 5 = 405 \).
Bir kafede masalar yan yana birleştirilmektedir. 1 masa etrafına 6 sandalye, 2 masa birleştirildiğinde 10 sandalye, 3 masa birleştirildiğinde 14 sandalye dizilebilmektedir. Masa sayısı \( n \) ile gösterilirse, sandalye sayısını veren cebirsel ifade nedir? 20 masa birleştirilirse kaç sandalye gerekir?
Çözüm:
Masa ve sandalye sayıları arasındaki ilişkiyi kurala dökelim: 🪑
Masa Sayısı (n) | Sandalye Sayısı
1 masa: 6
2 masa: 10
3 masa: 14
Artış miktarı: \( 10 - 6 = 4 \). Kural \( 4n \) ile başlar.
\( n = 1 \) için: \( 4 \times 1 = 4 \). 6 olması için 2 ekleriz.
Genel Kural: \( 4n + 2 \)
20 Masa İçin: \( n = 20 \) yazalım.
\( 4 \times 20 + 2 = 80 + 2 = 82 \)
Sonuç: Cebirsel ifade \( 4n + 2 \)'dir ve 20 masa için 82 sandalye gerekir. ☕