💡 6. Sınıf Matematik: Ortak Kat Ortak Bölen Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için öncelikle her bir sayının bölenlerini ayrı ayrı belirlemeliyiz.

• 18 sayısının bölenleri: Bir sayıyı kalansız bölen sayılardır. 18'i bölen sayılar: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\).
• 24 sayısının bölenleri: 24'ü bölen sayılar: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\).

Şimdi her iki sayının bölen listesine bakarak ortak olanları belirleyelim. Ortak bölenler, her iki listede de bulunan sayılardır.

• 18'in bölenleri: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
• 24'ün bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)

Her iki listede de bulunan sayılar \(1, 2, 3\) ve \(6\)'dır.
Bu nedenle, 18 ve 24 sayılarının ortak bölenleri \(1, 2, 3\) ve \(6\)'dır.

4 ve 6 sayılarının 40'tan küçük katlarını listeleyelim ve ortak olanları belirleyelim.

• 4 sayısının katları: \(4 \times 1 = 4\), \(4 \times 2 = 8\), \(4 \times 3 = 12\), \(4 \times 4 = 16\), \(4 \times 5 = 20\), \(4 \times 6 = 24\), \(4 \times 7 = 28\), \(4 \times 8 = 32\), \(4 \times 9 = 36\)
• 6 sayısının katları: \(6 \times 1 = 6\), \(6 \times 2 = 12\), \(6 \times 3 = 18\), \(6 \times 4 = 24\), \(6 \times 5 = 30\), \(6 \times 6 = 36\)

40'tan küçük ortak katlar:

• 4'ün 40'tan küçük katları: \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36\)
• 6'nın 40'tan küçük katları: \(6, 12, 18, 24, 30, 36\)

Her iki listede de bulunan sayılar \(12, 24, 36\)'dır.

Bu nedenle, 4 ve 6 sayılarının 40'tan küçük ortak katları \(12, 24, 36\)'dır.

Bu problem, ortak kat ve kalanlı bölme kavramlarını birleştiriyor.

• Öğrenci sayısı 2'ye bölündüğünde 1 kalanını veriyor.
• Öğrenci sayısı 3'e bölündüğünde de 1 kalanını veriyor.

Bu durumda, öğrenci sayısından 1 çıkardığımızda elde ettiğimiz sayı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünebilir demektir. Başka bir deyişle, öğrenci sayısı \(-1\), 2 ve 3'ün ortak katıdır. 👇

1. 2 ve 3'ün katlarını listeleyelim:
   • 2'nin katları: \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, \dots\)
   • 3'ün katları: \(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots\)
2. 2 ve 3'ün ortak katlarını bulalım: Ortak katlar: \(6, 12, 18, 24, \dots\)
3. Sınıftaki öğrenci sayısı bu ortak katların 1 fazlası olmalı:
   • \(6 + 1 = 7\)
   • \(12 + 1 = 13\)
   • \(18 + 1 = 19\)
   • \(24 + 1 = 25\)
4. Sınıftaki öğrenci sayısı 20'den fazla olduğuna göre: Yukarıdaki seçeneklerden 20'den büyük olan ilk sayı \(25\)'tir.

👉 Bu durumda, sınıfta en az \(25\) öğrenci vardır. ✅

Bu problemde, hem \(48\) cm'lik tahta parçasını hem de \(60\) cm'lik tahta parçasını eşit ve en büyük parçalara ayırmamız isteniyor. Bu durum, \(48\) ve \(60\) sayılarının Ortak Bölenlerinin En Büyüğü (OBEB)'ni bulmamız gerektiği anlamına gelir.

1. 48 sayısının bölenlerini bulalım: \(48\) sayısını kalansız bölen sayılar: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\).
2. 60 sayısının bölenlerini bulalım: \(60\) sayısını kalansız bölen sayılar: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\).
3. Ortak bölenleri belirleyelim: Her iki listede de bulunan sayılar: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
4. Ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım: Bu ortak bölenler arasında en büyük olan sayı \(12\)'dir.

Yani, marangozun elde edeceği her bir parçanın uzunluğu \(12\) cm olmalıdır.

Bu problemde, iki farklı zaman aralığıyla hareket eden otobüslerin ne zaman tekrar aynı anda durakta olacağını bulmamız gerekiyor. Bu, 15 ve 20 sayılarının Ortak Katlarının En Küçüğü (OKEK)'nü bulma problemidir. 💡

1. 15'in katlarını listeleyelim: \(15, 30, 45, 60, 75, 90, \dots\)
2. 20'nin katlarını listeleyelim: \(20, 40, 60, 80, 100, \dots\)
3. Ortak katları belirleyelim: Her iki listede de bulunan ortak katlar: \(60, 120, \dots\)
4. Ortak katların en küçüğünü (OKEK) bulalım: Ortak katların en küçüğü \(60\)'tır. Bu, iki otobüsün \(60\) dakika sonra tekrar aynı anda duraktan geçeceği anlamına gelir.
5. Zamanı hesaplayalım: Otobüsler ilk kez saat 08:00'de aynı anda geçti. \(60\) dakika \(1\) saate eşittir. \(08:00 + 1 \text{ saat} = 09:00\).

👉 Dolayısıyla, iki otobüs bir sonraki kez saat 09:00'da yine aynı anda duraktan geçerler. ✅

Ebru Hanım, boncukları eşit sayıda ve en az paket kullanarak paketlemek istiyorsa, her paketteki boncuk sayısının hem 36'nın hem de 48'in ortak böleni olması ve bu bölenin en büyük olması gerekir. Yani, 36 ve 48 sayılarının Ortak Bölenlerinin En Büyüğü (OBEB)'ni bulmalıyız. 📌

1. 36 sayısının bölenlerini bulalım: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).
2. 48 sayısının bölenlerini bulalım: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\).
3. Ortak bölenleri belirleyelim: Her iki listede de bulunan sayılar: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
4. Ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım: Bu ortak bölenler arasında en büyük olan sayı \(12\)'dir.

👉 Ebru Hanım'ın her pakete \(12\) boncuk koyması gerekir. Bu durumda kırmızı boncuklar için \(36 \div 12 = 3\) paket, mavi boncuklar için \(48 \div 12 = 4\) paket olmak üzere toplam \(3+4=7\) paket kullanmış olur. ✅

Bu problem, iki farklı periyodik olayın ne zaman tekrar aynı anda gerçekleşeceğini bulma problemidir. Bu durumda, 6 ve 9 sayılarının Ortak Katlarının En Küçüğü (OKEK)'nü bulmalıyız. 💡

1. 6 sayısının katlarını listeleyelim: \(6, 12, 18, 24, 30, 36, \dots\)
2. 9 sayısının katlarını listeleyelim: \(9, 18, 27, 36, 45, \dots\)
3. Ortak katları belirleyelim: Her iki listede de bulunan ortak katlar: \(18, 36, \dots\)
4. Ortak katların en küçüğünü (OKEK) bulalım: Ortak katların en küçüğü \(18\)'dir.

👉 Bu, asansör bakımı ve su deposu temizliğinin bir sonraki kez \(18\) ay sonra yine aynı anda yapılacağı anlamına gelir. ✅

Fırıncının her bir tepsiye koyacağı ürün sayısının hem 56'yı hem de 42'yi tam bölmesi ve bu sayının mümkün olan en büyük sayı olması gerekiyor. Bu durumda, 56 ve 42 sayılarının Ortak Bölenlerinin En Büyüğü (OBEB)'nü bulmalıyız. 🥐

1. 56 sayısının bölenlerini bulalım: \(1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\).
2. 42 sayısının bölenlerini bulalım: \(1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\).
3. Ortak bölenleri belirleyelim: Her iki listede de bulunan sayılar: \(1, 2, 7, 14\).
4. Ortak bölenlerin en büyüğünü bulalım: Bu ortak bölenler arasında en büyük olan sayı \(14\)'tür.

👉 Fırıncının her bir tepsiye en fazla \(14\) ürün koyması gerekir. Bu durumda \(56 \div 14 = 4\) tepsi simit ve \(42 \div 14 = 3\) tepsi poğaça hazırlamış olur. ✅