Ortak Kat Ortak Bölen Ders Notu

Doğal sayılarla çalışırken, sayıların birbirleriyle olan ilişkilerini anlamak önemlidir. Bu ders notunda, bir sayının çarpanları (bölenleri), katları ve iki sayının ortak çarpanları ile ortak katları konularını adım adım inceleyeceğiz.

1. Bir Doğal Sayının Çarpanları (Bölenleri) 💡

Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen her doğal sayı, o sayının çarpanı veya böleni olarak adlandırılır. Her doğal sayı, 1'e ve kendisine kalansız bölünür. Bu nedenle 1 ve sayının kendisi, her zaman o sayının çarpanlarıdır.

• Bir sayının çarpanlarını bulmak için, o sayıyı hangi iki doğal sayının çarpımı olarak yazabileceğimizi düşünürüz.

Örnekler:

• 12 sayısının çarpanları:
  • \(1 \times 12 = 12\)
  • \(2 \times 6 = 12\)
  • \(3 \times 4 = 12\)

  12'nin çarpanları (bölenleri) küçükten büyüğe doğru: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

• 20 sayısının çarpanları:
  • \(1 \times 20 = 20\)
  • \(2 \times 10 = 20\)
  • \(4 \times 5 = 20\)

  20'nin çarpanları (bölenleri) küçükten büyüğe doğru: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Asal Sayılar ⭐

Sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

• 1 asal sayı değildir.
• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.

İlk Asal Sayılar:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

3. Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma 📊

Bir doğal sayıyı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir. Bunu yapmak için genellikle "bölen listesi" yöntemini kullanırız.

Bölen Listesi (Asal Çarpanlara Ayırma) Yöntemi:

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara böleriz. Bölme işlemi 1'e ulaşana kadar devam eder.

Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\[ \begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \]

Yandaki bölen listesine göre, 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu asal çarpanların çarpımı şeklinde yazılışı ise \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5\) veya \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)'tir.

4. Ortak Bölenler ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Kavramı 🤝

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri, bu sayıların her ikisini de kalansız bölebilen sayılardır. Bu ortak bölenlerin en büyüğüne ise en büyük ortak bölen denir.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının ortak bölenlerini ve en büyük ortak bölenini bulalım.

• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Bu iki sayının ortak bölenleri (her ikisinde de bulunan bölenler): 1, 2, 3, 6.

Ortak bölenlerin en büyüğü ise 6'dır.

5. Ortak Katlar ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) Kavramı 🔄

Bir doğal sayının katları, o sayının 1, 2, 3, ... gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları, bu sayıların her ikisinin de katı olan sayılardır. Bu ortak katların en küçüğüne ise en küçük ortak kat denir.

Örnek: 4 ve 6 sayılarının ortak katlarını ve en küçük ortak katını bulalım.

• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

Bu iki sayının ortak katları (her ikisinde de bulunan katlar): 12, 24, 36, ...

Ortak katların en küçüğü ise 12'dir.