💡 6. Sınıf Matematik: Ortak bölen Çözümlü Örnekler

Ortak bölenleri bulmak için öncelikle her iki sayının da bölenlerini ayrı ayrı bulmalıyız.

• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Şimdi bu iki listeye bakarak ortak olan sayıları belirleyelim.
👉 Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. ✅

En büyük ortak böleni bulmak için ortak bölenleri bulup en büyüğünü seçebiliriz veya asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz.
Önce ortak bölenleri bulalım:

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 27'nin bölenleri: 1, 3, 9, 27

Ortak bölenler 1, 3 ve 9'dur. Bunların en büyüğü 9'dur.
👉 Dolayısıyla, 18 ve 27'nin EBOB'u 9'dur. ✅

Bu soruda, elma sayısının hem 3'ün hem de 4'ün katı olması gerektiğini anlıyoruz. Yani elma sayısı 3 ve 4'ün ortak katlarından biri olmalıdır.
Öncelikle 3 ve 4'ün ortak katlarını bulalım:

• 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Ortak katları 12, 24, ... şeklinde devam eder.
Soruda elma sayısının 20'den az olduğu belirtilmiş.
👉 Bu durumda sepetteki elma sayısı 12 olabilir. ✅

Ali'nin bilye sayısının hem 2'nin hem de 3'ün ortak katı olması gerekir. Yani bilye sayısı 2 ve 3'ün ortak katlarından biri olmalıdır.
2 ve 3'ün ortak katlarını bulalım:

• 2'nin katları: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...
• 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...

Ortak katları 6, 12, 18, ... şeklinde devam eder.
Soruda Ali'nin bilye sayısının 10 ile 20 arasında olduğu belirtilmiş.
👉 Bu aralıkta yer alan ortak katlar 12 ve 18'dir. Dolayısıyla Ali'nin 12 veya 18 bilyesi olabilir. ✅

Bu tür soruları çözmek için biraz daha dikkatli olmalıyız. Domates sayısını bir sayıya böldüğümüzde kalanların bir örüntüsü olabilir.
Domates sayısına D diyelim.

• D'yi 6'ya bölersek kalan 2 olur. Yani D = 6k + 2 şeklinde yazılabilir.
• D'yi 8'e bölersek kalan 4 olur. Yani D = 8m + 4 şeklinde yazılabilir.

Şimdi bu denklemleri inceleyelim. Her iki tarafa da 4 eklersek:

• D + 4 = 6k + 2 + 4 = 6k + 6 = 6(k + 1)
• D + 4 = 8m + 4 + 4 = 8m + 8 = 8(m + 1)

Bu demektir ki D + 4 sayısı hem 6'nın hem de 8'in ortak katıdır.
6 ve 8'in en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:

• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...
• 8'in katları: 8, 16, 24, 32, ...

EKOK(6, 8) = 24'tür.
Yani D + 4 sayısı 24'ün katları olmalıdır: 24, 48, 72, ...
Şimdi D'yi bulmak için her birinden 4 çıkaralım:

• D = 24 - 4 = 20
• D = 48 - 4 = 44
• D = 72 - 4 = 68

Soruda domates sayısının 50'den az olduğu belirtilmiş.
👉 Bu durumda çiftçinin 20 veya 44 domatesi olabilir. Ancak soruda tek bir cevap bekleniyorsa, genellikle en küçük olası değer alınır veya ek bir koşul belirtilir. Bu durumda 20 ve 44 olası cevaplardır. Eğer soruda "en az kaç domatesi vardır" diye sorsaydı cevap 20 olurdu. Eğer "en fazla kaç domatesi vardır" diye sorsaydı ve 50'den az olmasını isteseydi cevap 44 olurdu. Sorunun genel yapısı gereği 20 veya 44 olarak kabul edilebilir. ✅

Bu problemi de bir önceki yeni nesil soru gibi çözebiliriz.
Öğrenci sayısına Ö diyelim.

• Ö'yü 5'e bölersek kalan 3 olur. Yani Ö = 5a + 3
• Ö'yü 7'ye bölersek kalan 5 olur. Yani Ö = 7b + 5

Her iki denklemde de bölen ile kalan arasındaki farkı inceleyelim:

• 5 - 3 = 2
• 7 - 5 = 2

Bu farklar eşit! Bu durumda, öğrenci sayısından bu farkı (2) çıkarırsak, elde ettiğimiz sayı hem 5'in hem de 7'nin ortak katı olur.
Yani Ö - 2 sayısı 5 ve 7'nin ortak katıdır.
5 ve 7'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
5 ve 7 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir.
EKOK(5, 7) = 5 \times 7 = 35.
Ö - 2 sayısı 35'in katları olmalıdır: 35, 70, 105, ...
Şimdi Ö'yü bulmak için her birine 2 ekleyelim:

• Ö = 35 + 2 = 37
• Ö = 70 + 2 = 72
• Ö = 105 + 2 = 107

Soruda sınıfta 40'tan az öğrenci olduğu belirtilmiş.
👉 Bu durumda sınıfta 37 öğrenci vardır. ✅

Öncelikle her iki sayının da bölenlerini ayrı ayrı listeleyelim:

• 45'in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45
• 60'ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Şimdi bu iki listedeki ortak elemanları belirleyelim.
👉 Ortak bölenler: 1, 3, 5, 15'tir. ✅

Soruda verilen bilgilere göre, iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 12'dir. Sayılardan biri 36 olarak verilmiş. Diğer sayıyı bulmaya çalışalım.
Eğer iki sayının EBOB'u 12 ise, bu sayılar 12'nin katları olmalıdır. Ayrıca, bu sayılar 12'ye bölündüğünde elde edilen sonuçlar kendi aralarında aralarında asal olmalıdır.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) 24: EBOB(36, 24) = 12'dir. (36 = 12 \times 3, 24 = 12 \times 2. 3 ve 2 aralarında asaldır.) ✅
• B) 48: EBOB(36, 48) = 12'dir. (36 = 12 \times 3, 48 = 12 \times 4. 3 ve 4 aralarında asaldır.) ✅
• C) 60: EBOB(36, 60) = 12'dir. (36 = 12 \times 3, 60 = 12 \times 5. 3 ve 5 aralarında asaldır.) ✅
• D) 72: EBOB(36, 72) = 36'dır. (Çünkü 72, 36'nın katıdır.) ❌

Eğer iki sayıdan biri diğerinin katıysa, EBOB o sayının kendisidir. Burada 72, 36'nın katıdır, bu yüzden EBOB 36 olur, 12 değil.
👉 Dolayısıyla, diğer sayı 72 olamaz. Cevap D'dir. ✅

Bu problemi de daha önceki yeni nesil sorular gibi çözebiliriz. Elma sayısına E diyelim.

• E'yi 4'e bölersek kalan 3 olur. Yani E = 4a + 3
• E'yi 6'ya bölersek kalan 5 olur. Yani E = 6b + 5

Yine bölen ile kalan arasındaki farka bakalım:

• 4 - 3 = 1
• 6 - 5 = 1

Farklar eşit (1). Bu durumda E - 1 sayısı hem 4'ün hem de 6'nın ortak katı olmalıdır.
4 ve 6'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:

• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, ...

EKOK(4, 6) = 12'dir.
Yani E - 1 sayısı 12'nin katları olmalıdır: 12, 24, 36, 48, ...
Şimdi E'yi bulmak için her birine 1 ekleyelim:

• E = 12 + 1 = 13
• E = 24 + 1 = 25
• E = 36 + 1 = 37
• E = 48 + 1 = 49

Soruda elma sayısının 30'dan fazla ve 40'tan az olduğu belirtilmiş.
👉 Bu aralığa uyan tek sayı 37'dir. Dolayısıyla manavın 37 elması vardır. ✅