Ortak bölen Ders Notu

6. Sınıf Matematik: Ortak Bölenler 🔢

Bir sayının bölenleri, o sayıyı kalansız olarak bölen doğal sayılardır. Örneğin, 12 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri ise, bu sayıların her birini kalansız olarak bölebilen sayılardır. Bu ders notunda, ortak bölenleri bulma yöntemlerini ve özelliklerini detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.

Ortak Bölen Nedir?

İki sayının ortak bölenlerini bulmak için öncelikle her bir sayının bölenlerini ayrı ayrı buluruz. Daha sonra, bu iki kümedeki ortak elemanları belirleriz. Bu ortak elemanlar, o iki sayının ortak bölenleridir.

Örnek 1: Ortak Bölenleri Bulma

24 ve 36 sayılarının ortak bölenlerini bulalım:

• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Bu iki kümedeki ortak elemanlar şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Bu sayılar, 24 ve 36'nın ortak bölenleridir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve EBOB ile gösterilir. EBOB, sayılarla ilgili problemlerde sıkça karşımıza çıkar.

Örnek 2: EBOB Bulma

Yukarıdaki örnekte bulduğumuz 24 ve 36 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 idi. Bu ortak bölenlerin en büyüğü 12'dir. Dolayısıyla, EBOB(24, 36) = 12'dir.

EBOB Bulma Yöntemleri

EBOB bulmanın birkaç farklı yöntemi vardır:

1. Bölen Listesi Yöntemi

Bu yöntemde, önce sayılar ayrı ayrı listelenir ve ortak bölenleri bulunur. En büyük ortak bölen bu listedeki en büyük sayıdır. Yukarıdaki örneklerde bu yöntem kullanılmıştır.

2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Bu yöntemde, sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlar belirlenir ve bu ortak asal çarpanların en küçük üslü olanları çarpılarak EBOB bulunur.

Örnek 3: Asal Çarpanlara Ayırma ile EBOB

40 ve 60 sayılarının EBOB'unu asal çarpanlara ayırma yöntemiyle bulalım:

• 40 = \( 2^3 \times 5 \)
• 60 = \( 2^2 \times 3 \times 5 \)

Ortak asal çarpanlar 2 ve 5'tir. Bu ortak asal çarpanların en küçük üslü olanları şunlardır: \( 2^2 \) ve \( 5^1 \). Bu değerleri çarptığımızda EBOB'u buluruz:

\[ \text{EBOB}(40, 60) = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20 \]

Yani, 40 ve 60'ın en büyük ortak böleni 20'dir.

Ortak Bölenlerin Özellikleri

• Herhangi iki sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların tüm ortak bölenlerini böler.
• Bir sayının kendisiyle olan EBOB'u, o sayının kendisine eşittir. Örneğin, EBOB(15, 15) = 15.
• Bir sayının 1 ile olan EBOB'u her zaman 1'dir. Örneğin, EBOB(15, 1) = 1.

Günlük Yaşamdan Örnekler

Ortak bölenler ve EBOB kavramları günlük hayatımızda da karşımıza çıkar:

• Pasta Kesme: Bir pastayı eşit dilimlere ayırmak istediğimizde, dilim sayısının pastanın tamamını kalansız bölmesi gerekir. Eğer iki farklı pastayı aynı sayıda eşit dilime ayırmak istiyorsak, bu dilim sayısı her iki pastanın da böleni olmalıdır.
• Paketleme: Elinizde farklı sayıda özdeş çikolata ve şeker varsa ve bunları en büyük sayıda eşit paketlere ayırmak istiyorsanız, paket sayısını bulmak için çikolata ve şeker sayılarının EBOB'unu hesaplarsınız.
• Mutfak Tartısı: 12 kg ve 18 kg'lık iki farklı un çuvalını, en büyük ağırlıkta ve eşit miktarlarda tartmak istediğimizde, bu tartı miktarı her iki çuvalın da böleni olmalıdır. En büyük tartı miktarı için EBOB kullanılır.

Örnek 4: Günlük Yaşam Problemi

Bir manavda 48 elma ve 72 portakal bulunmaktadır. Manav, bu meyveleri hiç artmayacak şekilde ve her birinde eşit sayıda meyve olacak biçimde en büyük paketlere ayırmak istiyor. Bir pakette en fazla kaç meyve olabilir?

Bu soruda, paket sayısının hem 48'in hem de 72'nin böleni olması gerektiğini ve en büyük paket sayısını aradığımızı anlıyoruz. Bu nedenle, 48 ve 72'nin EBOB'unu bulmalıyız.

Asal çarpanlara ayıralım:

• 48 = \( 2^4 \times 3 \)
• 72 = \( 2^3 \times 3^2 \)

Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. En küçük üslü olanları alalım: \( 2^3 \) ve \( 3^1 \).

\[ \text{EBOB}(48, 72) = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24 \]

Bir pakette en fazla 24 meyve olabilir.

Ortak Katlar

İki sayının ortak katları, her iki sayının da tam bölünebildiği sayılardır. Örneğin, 4 ve 6'nın ortak katları 12, 24, 36, 48... şeklinde devam eder.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK ile gösterilir. EKOK, sayılarla ilgili problemlerin çözümünde EBOB kadar önemli bir kavramdır.

Örnek 5: EKOK Bulma

4 ve 6 sayılarının EKOK'unu bulalım.

• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...

Ortak katlar 12, 24, ... şeklindedir. En küçüğü 12'dir. Dolayısıyla, EKOK(4, 6) = 12'dir.

EKOK Bulma Yöntemleri

1. Kat Listesi Yöntemi

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi, sayıların katları listelenerek en küçük ortak kat bulunur.

2. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan ve olmayan tüm asal çarpanların en büyük üslü olanları çarpılarak EKOK bulunur.

Örnek 6: Asal Çarpanlara Ayırma ile EKOK

18 ve 24 sayılarının EKOK'unu bulalım:

• 18 = \( 2 \times 3^2 \)
• 24 = \( 2^3 \times 3 \)

Tüm asal çarpanlar (2 ve 3) ve bu asal çarpanların en büyük üslü olanları şunlardır: \( 2^3 \) ve \( 3^2 \).

\[ \text{EKOK}(18, 24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]

Yani, 18 ve 24'ün en küçük ortak katı 72'dir.

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.

\[ a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \]

Örnek 7: EBOB ve EKOK İlişkisi

12 ve 18 sayılarının EBOB'unu ve EKOK'unu bulup bu ilişkiyi kontrol edelim.

• 12 = \( 2^2 \times 3 \)
• 18 = \( 2 \times 3^2 \)

EBOB(12, 18) = \( 2 \times 3 = 6 \)

EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

Şimdi çarpımları kontrol edelim:

Sayıların çarpımı: \( 12 \times 18 = 216 \)

EBOB ve EKOK çarpımı: \( 6 \times 36 = 216 \)

Görüldüğü gibi, \( 216 = 216 \). İlişki doğrulanmıştır.