💡 6. Sınıf Matematik: Merkez açı ve gördüğü yayın uzunluğu Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir çemberin merkezinden geçen ve çemberi iki eş parçaya bölen doğru parçasına ne ad verilir? Ayrıca, yarıçapı \( r = 4 \) cm olan bir çemberin uzunluğunu (çevresini) \( \pi = 3 \) alarak hesaplayınız. ⭕
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu adım adım çözelim:
Tanım: Çemberin merkezinden geçen ve çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına çap denir. Çap, yarıçapın 2 katıdır ve \( R \) ile gösterilir.
Verilenler: Yarıçap \( r = 4 \) cm ve \( \pi = 3 \).
Formül: Çemberin uzunluğu (çevresi) = \( 2 \times \pi \times r \)
Hesaplama:
\[ 2 \times 3 \times 4 = 24 \]
✅ Sonuç: Çemberin uzunluğu 24 cm olarak bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir bisiklet tekerleğinin merkez açısı \( 360^\circ \) olan tam bir turu, tekerleğin çevresine eşittir. Yarıçapı \( r = 30 \) cm olan bir tekerlek, tam bir tur attığında kaç cm yol alır? (\( \pi = 3,14 \) alınız.) 🚲
Çözüm ve Açıklama
Tekerleğin bir tam turu, çemberin çevre uzunluğuna eşittir.
Adım 1: Formülümüzü hatırlayalım. Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
Adım 2: Verilen değerleri yerleştirelim. \( r = 30 \) ve \( \pi = 3,14 \).
✅ Tekerlek bir tam turda 188,4 cm yol alır. Bu aynı zamanda \( 360^\circ \)'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğudur.
3
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Annesi, Elif'e doğum günü için dairesel bir pasta yapmıştır. Elif, pastayı merkezden geçecek şekilde tam 4 eş dilime ayırıyor. Bir dilimin dış kenarındaki (yayındaki) krema uzunluğunu bulmak istiyor. Pastanın yarıçapı \( r = 10 \) cm ise, bir dilimin yay uzunluğu kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🎂
Çözüm ve Açıklama
Pastanın tamamı bir çemberdir ve 4 eş dilim, çemberin 4'te 1'i demektir.
Adım 1: Önce pastanın tamamının çevresini bulalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 10 = 60 \) cm.
Adım 2: Pasta 4 eş dilime ayrıldığına göre, bir dilimin yay uzunluğu toplam çevrenin 4'te 1'idir.
Adım 3: Bölme işlemini yapalım:
\[ 60 \div 4 = 15 \]
✅ Bir dilimin yay uzunluğu 15 cm olur. Bu yay, \( 90^\circ \)'lik bir merkez açıya karşılık gelir.
4
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Uzunluğu 48 cm olan bir tel bükülerek bir çember oluşturuluyor. Bu çemberin yarıçapı kaç cm olur? (\( \pi = 3 \) alınız.) 📏
Çözüm ve Açıklama
Telin uzunluğu, oluşturulan çemberin çevresine eşittir.
Verilen: Çevre = \( 48 \) cm, \( \pi = 3 \).
Formül: Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
Adım 1: Değerleri formülde yerine koyalım:
\[ 48 = 2 \times 3 \times r \]
\[ 48 = 6 \times r \]
Adım 2: Yarıçapı bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
\[ r = 48 \div 6 \]
\[ r = 8 \]
✅ Çemberin yarıçapı 8 cm olarak bulunur.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir yarım çemberin yay uzunluğu 12 cm'dir. Bu çemberin çapı kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🌓
Çözüm ve Açıklama
Yarım çember, tam bir çemberin çevresinin yarısıdır.
Adım 1: Yarısı 12 cm ise, tam çemberin çevresini bulalım:
\[ 12 \times 2 = 24 \]
Adım 2: Çevre formülünü kullanarak çapı (R) bulalım. Çevre = \( \pi \times R \) (Çünkü \( 2 \times r = R \)).
\[ 24 = 3 \times R \]
Adım 3: Çapı bulmak için bölme yapalım:
\[ R = 24 \div 3 \]
\[ R = 8 \]
✅ Yarım çemberin ait olduğu tam çemberin çapı 8 cm'dir.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sporcu, yarıçapı \( r = 20 \) metre olan dairesel bir pistin etrafında koşmaktadır. Sporcu, pistin tam olarak \( 180^\circ \)'lik bir kısmını (yani yarısını) koştuğunda kaç metre yol almış olur? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🏃♂️
Çözüm ve Açıklama
Sporcunun aldığı yol, çemberin çevre uzunluğunun yarısına eşittir.
Adım 1: Pistin toplam çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 20 = 120 \) metre.
Adım 2: Sporcu pistin yarısını (\( 180^\circ \)) koştuğu için bu uzunluğu 2'ye bölelim.
\[ 120 \div 2 = 60 \]
✅ Sporcu 60 metre yol almıştır.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Yarıçapı \( r = 6 \) cm olan bir çemberin çevresi ile bir karenin çevresi birbirine eşittir. Buna göre karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🟦🔘
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda iki farklı geometrik şeklin çevrelerini eşitlememiz gerekiyor.
Adım 1: Önce çemberin çevresini bulalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 6 = 36 \) cm.
Adım 2: Soruda karenin çevresinin de 36 cm olduğu söylenmiş.
Adım 3: Karenin 4 eş kenarı olduğu için bir kenarını bulmak için çevreyi 4'e bölelim.
Karenin bir kenarı = \( a \) olsun.
\[ 4 \times a = 36 \]
\[ a = 36 \div 4 \]
\[ a = 9 \]
✅ Karenin bir kenar uzunluğu 9 cm olarak bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir duvar saati tam olarak saat 03:00'ü gösterdiğinde, yelkovan ile akrep arasındaki küçük merkez açının gördüğü yayın uzunluğu, yelkovanın ucunun bir tam turda aldığı yolun kaçta kaçıdır? 🕒
Çözüm ve Açıklama
Saat üzerindeki sayıların her biri birer duraktır ve toplam 12 durak vardır.
Adım 1: Saatin tamamı \( 360^\circ \)'dir.
Adım 2: Saat 03:00 olduğunda akrep 3'te, yelkovan 12'dedir. Aradaki fark 3 birimdir.
Adım 3: Toplam 12 birimden 3 birimlik bir yay söz konusudur.
Adım 4: Oranı bulalım:
\[ 3 \div 12 = \frac{1}{4} \]
✅ Bu yay, tüm çevrenin 4'te 1'ine (çeyreğine) eşittir. Merkez açı ise \( 90^\circ \)'dir.
6. Sınıf Matematik: Merkez açı ve gördüğü yayın uzunluğu Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberin merkezinden geçen ve çemberi iki eş parçaya bölen doğru parçasına ne ad verilir? Ayrıca, yarıçapı \( r = 4 \) cm olan bir çemberin uzunluğunu (çevresini) \( \pi = 3 \) alarak hesaplayınız. ⭕
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
Tanım: Çemberin merkezinden geçen ve çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına çap denir. Çap, yarıçapın 2 katıdır ve \( R \) ile gösterilir.
Verilenler: Yarıçap \( r = 4 \) cm ve \( \pi = 3 \).
Formül: Çemberin uzunluğu (çevresi) = \( 2 \times \pi \times r \)
Hesaplama:
\[ 2 \times 3 \times 4 = 24 \]
✅ Sonuç: Çemberin uzunluğu 24 cm olarak bulunur.
Örnek 2:
Bir bisiklet tekerleğinin merkez açısı \( 360^\circ \) olan tam bir turu, tekerleğin çevresine eşittir. Yarıçapı \( r = 30 \) cm olan bir tekerlek, tam bir tur attığında kaç cm yol alır? (\( \pi = 3,14 \) alınız.) 🚲
Çözüm:
Tekerleğin bir tam turu, çemberin çevre uzunluğuna eşittir.
Adım 1: Formülümüzü hatırlayalım. Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
Adım 2: Verilen değerleri yerleştirelim. \( r = 30 \) ve \( \pi = 3,14 \).
✅ Tekerlek bir tam turda 188,4 cm yol alır. Bu aynı zamanda \( 360^\circ \)'lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğudur.
Örnek 3:
Annesi, Elif'e doğum günü için dairesel bir pasta yapmıştır. Elif, pastayı merkezden geçecek şekilde tam 4 eş dilime ayırıyor. Bir dilimin dış kenarındaki (yayındaki) krema uzunluğunu bulmak istiyor. Pastanın yarıçapı \( r = 10 \) cm ise, bir dilimin yay uzunluğu kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🎂
Çözüm:
Pastanın tamamı bir çemberdir ve 4 eş dilim, çemberin 4'te 1'i demektir.
Adım 1: Önce pastanın tamamının çevresini bulalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 10 = 60 \) cm.
Adım 2: Pasta 4 eş dilime ayrıldığına göre, bir dilimin yay uzunluğu toplam çevrenin 4'te 1'idir.
Adım 3: Bölme işlemini yapalım:
\[ 60 \div 4 = 15 \]
✅ Bir dilimin yay uzunluğu 15 cm olur. Bu yay, \( 90^\circ \)'lik bir merkez açıya karşılık gelir.
Örnek 4:
Uzunluğu 48 cm olan bir tel bükülerek bir çember oluşturuluyor. Bu çemberin yarıçapı kaç cm olur? (\( \pi = 3 \) alınız.) 📏
Çözüm:
Telin uzunluğu, oluşturulan çemberin çevresine eşittir.
Verilen: Çevre = \( 48 \) cm, \( \pi = 3 \).
Formül: Çevre = \( 2 \times \pi \times r \)
Adım 1: Değerleri formülde yerine koyalım:
\[ 48 = 2 \times 3 \times r \]
\[ 48 = 6 \times r \]
Adım 2: Yarıçapı bulmak için her iki tarafı 6'ya bölelim:
\[ r = 48 \div 6 \]
\[ r = 8 \]
✅ Çemberin yarıçapı 8 cm olarak bulunur.
Örnek 5:
Bir yarım çemberin yay uzunluğu 12 cm'dir. Bu çemberin çapı kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🌓
Çözüm:
Yarım çember, tam bir çemberin çevresinin yarısıdır.
Adım 1: Yarısı 12 cm ise, tam çemberin çevresini bulalım:
\[ 12 \times 2 = 24 \]
Adım 2: Çevre formülünü kullanarak çapı (R) bulalım. Çevre = \( \pi \times R \) (Çünkü \( 2 \times r = R \)).
\[ 24 = 3 \times R \]
Adım 3: Çapı bulmak için bölme yapalım:
\[ R = 24 \div 3 \]
\[ R = 8 \]
✅ Yarım çemberin ait olduğu tam çemberin çapı 8 cm'dir.
Örnek 6:
Bir sporcu, yarıçapı \( r = 20 \) metre olan dairesel bir pistin etrafında koşmaktadır. Sporcu, pistin tam olarak \( 180^\circ \)'lik bir kısmını (yani yarısını) koştuğunda kaç metre yol almış olur? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🏃♂️
Çözüm:
Sporcunun aldığı yol, çemberin çevre uzunluğunun yarısına eşittir.
Adım 1: Pistin toplam çevre uzunluğunu hesaplayalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 20 = 120 \) metre.
Adım 2: Sporcu pistin yarısını (\( 180^\circ \)) koştuğu için bu uzunluğu 2'ye bölelim.
\[ 120 \div 2 = 60 \]
✅ Sporcu 60 metre yol almıştır.
Örnek 7:
Yarıçapı \( r = 6 \) cm olan bir çemberin çevresi ile bir karenin çevresi birbirine eşittir. Buna göre karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? (\( \pi = 3 \) alınız.) 🟦🔘
Çözüm:
Bu soruda iki farklı geometrik şeklin çevrelerini eşitlememiz gerekiyor.
Adım 1: Önce çemberin çevresini bulalım.
Çevre = \( 2 \times 3 \times 6 = 36 \) cm.
Adım 2: Soruda karenin çevresinin de 36 cm olduğu söylenmiş.
Adım 3: Karenin 4 eş kenarı olduğu için bir kenarını bulmak için çevreyi 4'e bölelim.
Karenin bir kenarı = \( a \) olsun.
\[ 4 \times a = 36 \]
\[ a = 36 \div 4 \]
\[ a = 9 \]
✅ Karenin bir kenar uzunluğu 9 cm olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir duvar saati tam olarak saat 03:00'ü gösterdiğinde, yelkovan ile akrep arasındaki küçük merkez açının gördüğü yayın uzunluğu, yelkovanın ucunun bir tam turda aldığı yolun kaçta kaçıdır? 🕒
Çözüm:
Saat üzerindeki sayıların her biri birer duraktır ve toplam 12 durak vardır.
Adım 1: Saatin tamamı \( 360^\circ \)'dir.
Adım 2: Saat 03:00 olduğunda akrep 3'te, yelkovan 12'dedir. Aradaki fark 3 birimdir.
Adım 3: Toplam 12 birimden 3 birimlik bir yay söz konusudur.
Adım 4: Oranı bulalım:
\[ 3 \div 12 = \frac{1}{4} \]
✅ Bu yay, tüm çevrenin 4'te 1'ine (çeyreğine) eşittir. Merkez açı ise \( 90^\circ \)'dir.