💡 6. Sınıf Matematik: Kesirleri Sıralama ve Sayı Doğrusunda Gösterme Çözümlü Örnekler

Kesirleri sıralamak için öncelikle paydalarına bakarız.

• Eğer paydalar eşitse, payı en büyük olan kesir en büyüktür.

Bu örnekte tüm kesirlerin paydaları 5'tir. Paylara baktığımızda ise 4 > 3 > 1 olduğunu görürüz.

Dolayısıyla kesirlerin büyükten küçüğe sıralanışı şöyledir:

\( \frac{4}{5} > \frac{3}{5} > \frac{1}{5} \)

✅ Cevap: \( \frac{4}{5} > \frac{3}{5} > \frac{1}{5} \)

Paydaları farklı olan kesirleri sıralarken farklı bir yöntem kullanırız.

• Eğer paylar eşitse, paydası en küçük olan kesir en büyüktür.

Bu örnekte tüm kesirlerin payları 2'dir. Paydalara baktığımızda ise 3 < 5 < 7 olduğunu görürüz. Paydası en küçük olan kesir \( \frac{2}{3} \) en büyük kesirdir. Paydası en büyük olan kesir \( \frac{2}{7} \) ise en küçük kesirdir.

Dolayısıyla kesirlerin küçükten büyüğe sıralanışı şöyledir:

\( \frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{3} \)

💡 İpucu: Paylar eşitken, kesir ne kadar çok parçaya bölünürse, her bir parça o kadar küçülür.

✅ Cevap: \( \frac{2}{7} < \frac{2}{5} < \frac{2}{3} \)

Paydaları farklı ve payları da farklı olan kesirleri karşılaştırmak için paydaları eşitleyebiliriz.

6 ve 8'in en küçük ortak katı 24'tür.

• \( \frac{5}{6} \) kesrini 4 ile genişletelim: \( \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} \)
• \( \frac{7}{8} \) kesrini 3 ile genişletelim: \( \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} \)

Şimdi kesirlerimiz \( \frac{20}{24} \) ve \( \frac{21}{24} \) oldu. Paydalar eşitlendiği için paylara bakarız.

21 > 20 olduğu için \( \frac{21}{24} > \frac{20}{24} \) olur.

Bu da demektir ki \( \frac{7}{8} > \frac{5}{6} \)

✅ Cevap: \( \frac{7}{8} > \frac{5}{6} \)

Öncelikle kesirleri sayı doğrusunda göstermek için paydalarını eşitlemek veya kesirlerin değerlerini anlamak faydalı olacaktır.

\( \frac{1}{2} \) kesrini 2 ile genişletirsek \( \frac{2}{4} \) olur. Şimdi kesirlerimiz \( \frac{1}{4} \), \( \frac{2}{4} \) ve \( \frac{3}{4} \) oldu. Bu kesirlerin hepsi 0 ile 1 arasındadır ve paydaları eşittir.

Sıfır ile bir arasını 4 eşit parçaya böleriz.

• 0'dan başlayarak ilk parça \( \frac{1}{4} \) olur.
• İkinci parça \( \frac{2}{4} \) (veya \( \frac{1}{2} \)) olur.
• Üçüncü parça \( \frac{3}{4} \) olur.

Sayı doğrusunda soldan sağa doğru kesirler büyür.

Sayı doğrusunda gösterim ve sıralama:

0 --- [ \( \frac{1}{4} \) ] --- [ \( \frac{1}{2} \) ] --- [ \( \frac{3}{4} \) ] --- 1

Sıralama: \( \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \)

✅ Cevap: Kesirler sayı doğrusunda gösterilmiş ve sıralanmıştır: \( \frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \)

Bu soruyu çözmek için Ayşe, Mehmet ve Zeynep'in yedikleri pasta miktarlarını karşılaştırmalıyız. Bunun için kesirlerin paydalarını eşitlememiz gerekiyor.

3, 6 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir.

• Ayşe'nin yediği pasta: \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} \)
• Mehmet'in yediği pasta: \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)
• Zeynep'in yediği pasta: \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)

Şimdi kesirlerimiz \( \frac{8}{12} \), \( \frac{2}{12} \) ve \( \frac{3}{12} \) oldu. Paydalar eşit olduğu için paylara bakarız.

8 > 3 > 2

Bu durumda en büyük pay Ayşe'ye aittir.

👉 En çok pastayı Ayşe yemiştir.

✅ Cevap: Ayşe

Manavın elindeki tüm elmalar bütün olarak düşünüldüğünde 1 tam kesrine eşittir. Bunu \( \frac{5}{5} \) şeklinde yazabiliriz.

• Manav satılan elma miktarı: \( \frac{3}{5} \)
• Manavın elindeki toplam elma: \( \frac{5}{5} \)

Geriye kalan elma miktarını bulmak için toplam elma miktarından satılan elma miktarını çıkarırız.

Geriye kalan = Toplam - Satılan

Geriye kalan = \( \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \)

Paydalar eşit olduğu için payları çıkarırız: \( 5 - 3 = 2 \)

Geriye kalan elma miktarı: \( \frac{2}{5} \)

💡 Günlük Hayat Notu: Bu tür problemler, bir bütünün parçalarını anlama konusunda bize yardımcı olur.

✅ Cevap: Elmalarının \( \frac{2}{5} \) 'i kalmıştır.

Öncelikle kesirlerin paydalarını eşitleyelim. 3, 6 ve 2'nin en küçük ortak katı 6'dır.

• \( \frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)
• \( \frac{5}{6} \) (paydası zaten 6)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)

Kesirlerimiz \( \frac{4}{6} \), \( \frac{5}{6} \) ve \( \frac{3}{6} \) oldu. Paydalar eşitlendiği için paylara göre sıralama yapabiliriz.

Küçükten büyüğe sıralama: 3 < 4 < 5

Kesirlerin küçükten büyüğe sıralanışı: \( \frac{3}{6} < \frac{4}{6} < \frac{5}{6} \)

Bu da orijinal kesirlerle: \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6} \)

Sayı doğrusunda göstermek için 0 ile 1 arasını 6 eşit parçaya böleriz.

0 --- [ \( \frac{1}{6} \) ] --- [ \( \frac{2}{6} \) ] --- [ \( \frac{3}{6} \) (\( \frac{1}{2} \)) ] --- [ \( \frac{4}{6} \) (\( \frac{2}{3} \)) ] --- [ \( \frac{5}{6} \) ] --- 1

✅ Cevap: Sıralama \( \frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6} \) 'dır ve kesirler sayı doğrusunda bu sırayla gösterilir.

Soruda verilen bilgiye göre \( \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \) ve \( \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \). Yani \( \frac{3}{4} > \frac{c}{d} \) olmalıdır.

Şimdi şıklardaki kesirleri \( \frac{3}{4} \) ile karşılaştıralım.

Paydaları eşitlemek için 4 ve şıklardaki paydaların ortak katını kullanabiliriz.

• A) \( \frac{1}{2} \): \( \frac{3}{4} \) ve \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \). \( \frac{3}{4} > \frac{2}{4} \) (Bu olabilir)
• B) \( \frac{3}{4} \): \( \frac{3}{4} \) kesri \( \frac{3}{4} \) 'ten büyük olamaz. Eşitlik durumu soruda belirtilmemiş, büyüktür denmiş. Bu nedenle bu kesir olamaz.
• C) \( \frac{5}{8} \): \( \frac{3}{4} = \frac{6}{8} \). \( \frac{6}{8} > \frac{5}{8} \) (Bu olabilir)
• D) \( \frac{7}{12} \): \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \). \( \frac{9}{12} > \frac{7}{12} \) (Bu olabilir)

Soruda \( \frac{3}{4} \) kesrinin \( \frac{c}{d} \) kesrinden büyük olduğu belirtilmiştir. Bu durumda \( \frac{c}{d} \) kesri \( \frac{3}{4} \) olamaz, çünkü \( \frac{3}{4} \) kendisinden büyük olamaz.

👉 Eğer soru \( \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} \) şeklinde olsaydı, B şıkkı da olabilirdi.

✅ Cevap: B) \( \frac{3}{4} \)

Bu soruyu çözmek için Ali ve Veli'nin koştuğu mesafeleri temsil eden kesirleri karşılaştırmamız gerekiyor.

Ali'nin koştuğu mesafe: \( \frac{5}{7} \)

Veli'nin koştuğu mesafe: \( \frac{3}{4} \)

Kesirleri karşılaştırmak için paydalarını eşitleyelim. 7 ve 4'ün en küçük ortak katı 28'dir.

• Ali: \( \frac{5}{7} = \frac{5 \times 4}{7 \times 4} = \frac{20}{28} \)
• Veli: \( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{21}{28} \)

Şimdi kesirlerimiz \( \frac{20}{28} \) ve \( \frac{21}{28} \) oldu. Paydalar eşit olduğu için paylara bakarız.

21 > 20

Bu durumda \( \frac{21}{28} > \frac{20}{28} \) olur. Yani Veli daha fazla yol koşmuştur.

💡 Spor ve Yarış Analizi: Bu tür karşılaştırmalar, yarışlarda kimin önde olduğunu anlamak için kullanılır.

✅ Cevap: Yarışı Veli daha önde götürmektedir.