Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi Ders Notu

Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kesirler, bir bütünün eş parçalara ayrılması durumunda bu parçalardan bir veya birkaçını ifade eden sayılardır. Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yaparken dikkat etmemiz gereken temel kural, paydaların eşit olmasıdır. Eğer paydalar eşitse, toplama veya çıkarma işlemi paylar arasında yapılır ve sonuç yeni bir kesir olarak yazılırken payda aynı kalır.

Paydaları Eşit Kesirlerde Toplama İşlemi

Paydaları eşit olan kesirleri toplarken, paydalar aynı kalır ve paylar toplanır. Bu işlemi bir örnekle açıklayalım:

Örnek 1: \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \) işlemini yapalım.

Bu kesirlerin paydaları eşittir (5). Bu durumda payları toplarız:

\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} \]

Sonuç \( \frac{3}{5} \) olur.

Paydaları Eşit Kesirlerde Çıkarma İşlemi

Paydaları eşit olan kesirleri çıkarırken de benzer bir yol izleriz. Paydalar aynı kalır ve paylar birbirinden çıkarılır.

Örnek 2: \( \frac{7}{8} - \frac{3}{8} \) işlemini yapalım.

Burada da paydalar eşittir (8). Payları çıkarırız:

\[ \frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7-3}{8} = \frac{4}{8} \]

Elde ettiğimiz \( \frac{4}{8} \) kesri sadeleştirilebilir. Hem payı hem de paydası 4'e bölünebilir:

\[ \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} \]

Yani sonuç \( \frac{1}{2} \) olur.

Paydaları Farklı Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Eğer toplama veya çıkarma yapacağımız kesirlerin paydaları farklıysa, öncelikle bu kesirleri paydaları eşit hale getirmemiz gerekir. Bunun için kesirlerin en küçük ortak katını (EKOK) buluruz ve kesirleri bu EKOK'a eşitleyen genişletme işlemleri yaparız.

Örnek 3: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \) işlemini yapalım.

Bu kesirlerin paydaları 3 ve 2'dir. Bu iki sayının EKOK'u 6'dır. Şimdi kesirleri paydası 6 olacak şekilde genişletelim:

• \( \frac{1}{3} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)
• \( \frac{1}{2} \) kesrini 3 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)

Şimdi kesirlerin paydaları eşitlendiğine göre toplama işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \]

Sonuç \( \frac{5}{6} \) olur.

Örnek 4: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \) işlemini yapalım.

Paydalar 4 ve 6'dır. Bu sayıların EKOK'u 12'dir. Kesirleri paydası 12 olacak şekilde genişletelim:

• \( \frac{3}{4} \) kesrini 3 ile genişletirsek: \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \)
• \( \frac{1}{6} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)

Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \]

Sonuç \( \frac{7}{12} \) olur.

Tam Sayılı Kesirlerde Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tam sayılı kesirlerle işlem yaparken, öncelikle bu kesirleri bileşik kesre çevirmek işlemi kolaylaştırır. Daha sonra yukarıda anlatılan adımlar izlenir.

Örnek 5: \( 1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{4} \) işlemini yapalım.

Önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim:

• \( 1 \frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2} \)
• \( 2 \frac{1}{4} = \frac{(2 \times 4) + 1}{4} = \frac{9}{4} \)

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz. Paydalar 2 ve 4'tür. EKOK'ları 4'tür. \( \frac{3}{2} \) kesrini 2 ile genişletelim:

• \( \frac{3}{2} \times 2 = \frac{6}{4} \)

İşlemimiz şu hale gelir:

\[ \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{6+9}{4} = \frac{15}{4} \]

Elde ettiğimiz \( \frac{15}{4} \) bileşik kesrini tekrar tam sayılı kesre çevirebiliriz:

\[ \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} \]

Sonuç \( 3 \frac{3}{4} \) olur.

Örnek 6: \( 3 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{6} \) işlemini yapalım.

Önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirelim:

• \( 3 \frac{1}{3} = \frac{(3 \times 3) + 1}{3} = \frac{10}{3} \)
• \( 1 \frac{1}{6} = \frac{(1 \times 6) + 1}{6} = \frac{7}{6} \)

Paydalar 3 ve 6'dır. EKOK'ları 6'dır. \( \frac{10}{3} \) kesrini 2 ile genişletelim:

• \( \frac{10}{3} \times 2 = \frac{20}{6} \)

Şimdi çıkarma işlemini yapalım:

\[ \frac{20}{6} - \frac{7}{6} = \frac{20-7}{6} = \frac{13}{6} \]

Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirelim:

\[ \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6} \]

Sonuç \( 2 \frac{1}{6} \) olur.

Günlük hayatta alışveriş yaparken veya bir tarifteki malzemeleri ayarlarken kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, bir pastanın \( \frac{1}{4} \) 'ünü yediniz ve daha sonra \( \frac{1}{8} \) 'ini daha yediniz. Toplamda pastanın ne kadarını yediğinizi bulmak için kesirleri toplamanız gerekir.