💡 6. Sınıf Matematik: İki paralel ve bir kesenin oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. k doğrusu ise bu iki doğruyu kesmektedir.
Açılardan biri 70° olarak verilmiştir. Buna göre, oluşan diğer açıları bulunuz.
👉 İpucu: Paralel doğrular ve kesen konusunda öğrendiğiniz yöndeş, iç ters, dış ters ve karşı durumlu açılar kavramlarını hatırlayınız.
Çözüm ve Açıklama
Verilen 70°'lik açı ile yöndeş olan açı da 70°'dir.
Verilen 70°'lik açı ile iç ters olan açı da 70°'dir.
Verilen 70°'lik açı ile karşı durumlu (aynı yöne bakmayan, bütünler) olan açı, \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olur.
Bu 110°'lik açı ile yöndeş olan açı da 110°'dir.
Bu 110°'lik açı ile iç ters olan açı da 110°'dir.
Bu 110°'lik açı ile karşı durumlu (aynı yöne bakmayan, bütünler) olan açı da 70°'dir.
✅ Böylece, oluşan açılar 70°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°, 110° olarak bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
Şekilde, k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \alpha \) açısıdır. Kesişim noktasında oluşan diğer açılardan biri ise 130° olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \alpha \) açısının ölçüsünü bulunuz.
👉 Hatırlatma: Karşı durumlu açılar bütünlerdir.
Çözüm ve Açıklama
Şekilde, 130°'lik açı ile \( \alpha \) açısı karşı durumlu açılardır.
Karşı durumlu açılar, toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır (bütünler açılar).
Denklemden \( \alpha \) açısını bulmak için 130°'yi karşıya atarız: \( \alpha = 180^\circ - 130^\circ \).
Sonuç olarak, \( \alpha = 50^\circ \) bulunur.
✅ Demek ki \( \alpha \) açısı 50°'dir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki paralel doğru olan d1 ve d2'yi kesen k doğrusu veriliyor.
d1 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( 3x \) derece, d2 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu açılardan biri ise \( 2x + 10^\circ \) derecedir.
Bu iki açı iç ters açılardır. Buna göre \( x \) değerini ve bu açıların ölçülerini bulunuz.
💡 Bilgi: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm ve Açıklama
İç ters açılar birbirine eşit olduğu için, \( 3x = 2x + 10^\circ \) denklemini kurarız.
Denklemde \( x \) terimlerini bir tarafa toplarız: \( 3x - 2x = 10^\circ \).
Bu durumda \( x = 10^\circ \) bulunur.
Şimdi \( x \) değerini kullanarak açıların ölçülerini hesaplayalım:
✅ Sonuç olarak, \( x \) değeri 10°'dir ve her iki iç ters açının ölçüsü de 30°'dir.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir inşaat mühendisi, birbirine paralel olan iki demiryolunu birleştirmek için bir köprü projesi tasarlıyor.
Bu köprünün bir ayağı, demiryollarını kesen bir doğru parçası şeklinde olacak. Mühendis, bu doğru parçasının demiryollarıyla yaptığı açılardan birinin 55° olduğunu ölçüyor.
Buna göre, köprü ayağının diğer demiryoluyla oluşturacağı iç ters açının ölçüsü kaç derece olur?
👉 Günlük Hayat Bağlantısı: Paralel doğrular ve kesen kavramı, mühendislik ve mimarlıkta sıkça kullanılır.
Çözüm ve Açıklama
İnşaat mühendisi, demiryollarını paralel doğrular olarak düşünebiliriz.
Köprü ayağı ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Mühendisin ölçtüğü 55°'lik açı, bir paralel doğru ile kesenin oluşturduğu açıdır.
Bizden istenen, diğer paralel doğru ile oluşan iç ters açıdır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, diğer demiryoluyla oluşan iç ters açının ölçüsü de 55° olacaktır.
✅ Köprü ayağının diğer demiryoluyla oluşturacağı iç ters açının ölçüsü 55°'dir.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan birine \( A \) diyelim. d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan birine ise \( B \) diyelim.
Eğer \( A \) açısı ile \( B \) açısı yöndeş açılar ise ve \( A = 2 \times B \) ilişkisi varsa, \( A \) ve \( B \) açılarının ölçülerini bulunuz.
💡 Hatırlatma: Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm ve Açıklama
Soruda \( A \) ve \( B \) açılarının yöndeş açılar olduğu belirtilmiş.
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğu için \( A = B \) olmalıdır.
Ancak soruda \( A = 2 \times B \) ilişkisi de verilmiş.
Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde: \( B = 2 \times B \) olur.
Bu denklemin tek çözümü \( B = 0^\circ \) olur ki bu bir açı ölçüsü için mantıklı değildir.
Sorunun kurgusunda bir hata olabilir veya açılar farklı konumlarda tarif edilmiştir.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları karşı durumlu açılar olsaydı, \( A + B = 180^\circ \) olurdu. Bu durumda \( 2B + B = 180^\circ \Rightarrow 3B = 180^\circ \Rightarrow B = 60^\circ \) ve \( A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \) olurdu.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları iç ters açılar olsaydı, \( A = B \) olurdu ve yine \( B = 2B \Rightarrow B = 0^\circ \) olurdu.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları dış ters açılar olsaydı, \( A = B \) olurdu ve yine \( B = 2B \Rightarrow B = 0^\circ \) olurdu.
✅ Soruda verilen bilgilerle, yöndeş açılar için \( A = 2 \times B \) eşitliği çelişkilidir. Eğer açılar farklı bir ilişkiyle verilmişse çözüm değişir.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir tren rayı düşünelim. İki tren rayı birbirine paraleldir.
Bu paralel rayları kesen bir makas kolu hayal edin. Makas kolunun bir rayla yaptığı açı 40°'dir.
Bu makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açının ölçüsü kaç derecedir?
👉 Uygulama Alanı: Tren makasları, rayların yönünü değiştirmek için kullanılır ve paralel doğrular prensibine dayanır.
Çözüm ve Açıklama
Tren rayları birbirine paraleldir (d1 || d2).
Makas kolu ise bu paralel rayları kesen bir doğrudur (k doğrusu).
Makas kolunun bir rayla yaptığı 40°'lik açı, kesenle paralel doğru arasındaki açılardan biridir.
Bizden istenen, makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açıdır.
Karşı durumlu açılar, aynı yöne bakmayan ve toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır (bütünler açılar).
Bu nedenle, diğer rayla oluşan karşı durumlu açının ölçüsü \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur.
✅ Makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açının ölçüsü 140°'dir.
7
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
d1 ve d2 doğruları paraleldir. k doğrusu bu doğruları kesiyor.
Şekilde, k doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \beta \) açısıdır. Bu \( \beta \) açısı ile d2'yi kestiği noktada oluşan dış ters açının ölçüsü birbirine eşittir.
Eğer \( \beta \) açısının ölçüsü 120° ise, bu dış ters açının ölçüsü kaç derecedir?
💡 Tanım: Dış ters açılar, paralel doğruların dışında kalan ve ters yönlere bakan açılardır.
Çözüm ve Açıklama
Soruda \( \beta \) açısı ile d2'yi kestiği noktada oluşan açının dış ters açılar olduğu belirtilmiş.
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
\( \beta \) açısının ölçüsü 120° olarak verilmiş.
Bu nedenle, \( \beta \) açısının dış ters açısının ölçüsü de 120° olacaktır.
✅ Dış ters açının ölçüsü 120°'dir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir mimar, modern bir binanın giriş holünün tasarımını yapıyor.
Holün zemini, birbirine paralel iki uzun duvarla sınırlı. Bu paralel duvarları birbirine bağlayan, zemine dik olmayan bir merdiven yerleştirilecek.
Merdivenin bir paralel duvara yaptığı açı 75° olarak ölçülüyor. Buna göre, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü kaç derecedir?
👉 Mimari Uygulama: Paralel doğrular ve kesen açılar, mimari projelerde mekanların oranlarını ve açılarını belirlemek için kullanılır.
Çözüm ve Açıklama
Paralel duvarlar, birbirine paralel iki doğru olarak düşünülebilir (d1 || d2).
Merdiven ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur (k doğrusu).
Merdivenin bir paralel duvara yaptığı 75°'lik açı, kesenle paralel doğru arasındaki açılardan biridir.
Bizden istenen, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsüdür.
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü de 75° olacaktır.
✅ Merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü 75°'dir.
9
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \gamma \) açısıdır. d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri ise \( \delta \) açısıdır.
Eğer \( \gamma \) ve \( \delta \) açıları karşı durumlu açılar ise ve \( \delta = 3 \times \gamma \) ilişkisi varsa, \( \gamma \) ve \( \delta \) açılarının ölçülerini bulunuz.
💡 Kural: Karşı durumlu açılar bütünlerdir, yani toplamları \( 180^\circ \) eder.
Çözüm ve Açıklama
\( \gamma \) ve \( \delta \) açıları karşı durumlu açılar olduğu için, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır: \( \gamma + \delta = 180^\circ \).
Ayrıca soruda \( \delta = 3 \times \gamma \) ilişkisi verilmiş.
Bu ilişkiyi ilk denklemde \( \delta \) yerine yazalım: \( \gamma + (3 \times \gamma) = 180^\circ \).
✅ Sonuç olarak, \( \gamma \) açısı 45° ve \( \delta \) açısı 135°'dir.
6. Sınıf Matematik: İki paralel ve bir kesenin oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Şekilde, d1 ve d2 doğruları birbirine paraleldir. k doğrusu ise bu iki doğruyu kesmektedir.
Açılardan biri 70° olarak verilmiştir. Buna göre, oluşan diğer açıları bulunuz.
👉 İpucu: Paralel doğrular ve kesen konusunda öğrendiğiniz yöndeş, iç ters, dış ters ve karşı durumlu açılar kavramlarını hatırlayınız.
Çözüm:
Verilen 70°'lik açı ile yöndeş olan açı da 70°'dir.
Verilen 70°'lik açı ile iç ters olan açı da 70°'dir.
Verilen 70°'lik açı ile karşı durumlu (aynı yöne bakmayan, bütünler) olan açı, \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olur.
Bu 110°'lik açı ile yöndeş olan açı da 110°'dir.
Bu 110°'lik açı ile iç ters olan açı da 110°'dir.
Bu 110°'lik açı ile karşı durumlu (aynı yöne bakmayan, bütünler) olan açı da 70°'dir.
✅ Böylece, oluşan açılar 70°, 70°, 110°, 110°, 70°, 70°, 110°, 110° olarak bulunur.
Örnek 2:
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
Şekilde, k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \alpha \) açısıdır. Kesişim noktasında oluşan diğer açılardan biri ise 130° olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \alpha \) açısının ölçüsünü bulunuz.
👉 Hatırlatma: Karşı durumlu açılar bütünlerdir.
Çözüm:
Şekilde, 130°'lik açı ile \( \alpha \) açısı karşı durumlu açılardır.
Karşı durumlu açılar, toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır (bütünler açılar).
Denklemden \( \alpha \) açısını bulmak için 130°'yi karşıya atarız: \( \alpha = 180^\circ - 130^\circ \).
Sonuç olarak, \( \alpha = 50^\circ \) bulunur.
✅ Demek ki \( \alpha \) açısı 50°'dir.
Örnek 3:
İki paralel doğru olan d1 ve d2'yi kesen k doğrusu veriliyor.
d1 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( 3x \) derece, d2 doğrusunu kesen k doğrusunun oluşturduğu açılardan biri ise \( 2x + 10^\circ \) derecedir.
Bu iki açı iç ters açılardır. Buna göre \( x \) değerini ve bu açıların ölçülerini bulunuz.
💡 Bilgi: İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm:
İç ters açılar birbirine eşit olduğu için, \( 3x = 2x + 10^\circ \) denklemini kurarız.
Denklemde \( x \) terimlerini bir tarafa toplarız: \( 3x - 2x = 10^\circ \).
Bu durumda \( x = 10^\circ \) bulunur.
Şimdi \( x \) değerini kullanarak açıların ölçülerini hesaplayalım:
✅ Sonuç olarak, \( x \) değeri 10°'dir ve her iki iç ters açının ölçüsü de 30°'dir.
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, birbirine paralel olan iki demiryolunu birleştirmek için bir köprü projesi tasarlıyor.
Bu köprünün bir ayağı, demiryollarını kesen bir doğru parçası şeklinde olacak. Mühendis, bu doğru parçasının demiryollarıyla yaptığı açılardan birinin 55° olduğunu ölçüyor.
Buna göre, köprü ayağının diğer demiryoluyla oluşturacağı iç ters açının ölçüsü kaç derece olur?
👉 Günlük Hayat Bağlantısı: Paralel doğrular ve kesen kavramı, mühendislik ve mimarlıkta sıkça kullanılır.
Çözüm:
İnşaat mühendisi, demiryollarını paralel doğrular olarak düşünebiliriz.
Köprü ayağı ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur.
Mühendisin ölçtüğü 55°'lik açı, bir paralel doğru ile kesenin oluşturduğu açıdır.
Bizden istenen, diğer paralel doğru ile oluşan iç ters açıdır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, diğer demiryoluyla oluşan iç ters açının ölçüsü de 55° olacaktır.
✅ Köprü ayağının diğer demiryoluyla oluşturacağı iç ters açının ölçüsü 55°'dir.
Örnek 5:
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan birine \( A \) diyelim. d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan birine ise \( B \) diyelim.
Eğer \( A \) açısı ile \( B \) açısı yöndeş açılar ise ve \( A = 2 \times B \) ilişkisi varsa, \( A \) ve \( B \) açılarının ölçülerini bulunuz.
💡 Hatırlatma: Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Çözüm:
Soruda \( A \) ve \( B \) açılarının yöndeş açılar olduğu belirtilmiş.
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğu için \( A = B \) olmalıdır.
Ancak soruda \( A = 2 \times B \) ilişkisi de verilmiş.
Bu iki eşitliği birleştirdiğimizde: \( B = 2 \times B \) olur.
Bu denklemin tek çözümü \( B = 0^\circ \) olur ki bu bir açı ölçüsü için mantıklı değildir.
Sorunun kurgusunda bir hata olabilir veya açılar farklı konumlarda tarif edilmiştir.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları karşı durumlu açılar olsaydı, \( A + B = 180^\circ \) olurdu. Bu durumda \( 2B + B = 180^\circ \Rightarrow 3B = 180^\circ \Rightarrow B = 60^\circ \) ve \( A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \) olurdu.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları iç ters açılar olsaydı, \( A = B \) olurdu ve yine \( B = 2B \Rightarrow B = 0^\circ \) olurdu.
Eğer \( A \) ve \( B \) açıları dış ters açılar olsaydı, \( A = B \) olurdu ve yine \( B = 2B \Rightarrow B = 0^\circ \) olurdu.
✅ Soruda verilen bilgilerle, yöndeş açılar için \( A = 2 \times B \) eşitliği çelişkilidir. Eğer açılar farklı bir ilişkiyle verilmişse çözüm değişir.
Örnek 6:
Bir tren rayı düşünelim. İki tren rayı birbirine paraleldir.
Bu paralel rayları kesen bir makas kolu hayal edin. Makas kolunun bir rayla yaptığı açı 40°'dir.
Bu makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açının ölçüsü kaç derecedir?
👉 Uygulama Alanı: Tren makasları, rayların yönünü değiştirmek için kullanılır ve paralel doğrular prensibine dayanır.
Çözüm:
Tren rayları birbirine paraleldir (d1 || d2).
Makas kolu ise bu paralel rayları kesen bir doğrudur (k doğrusu).
Makas kolunun bir rayla yaptığı 40°'lik açı, kesenle paralel doğru arasındaki açılardan biridir.
Bizden istenen, makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açıdır.
Karşı durumlu açılar, aynı yöne bakmayan ve toplamları \( 180^\circ \) olan açılardır (bütünler açılar).
Bu nedenle, diğer rayla oluşan karşı durumlu açının ölçüsü \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olur.
✅ Makas kolunun diğer paralel rayla oluşturduğu karşı durumlu açının ölçüsü 140°'dir.
Örnek 7:
d1 ve d2 doğruları paraleldir. k doğrusu bu doğruları kesiyor.
Şekilde, k doğrusunun d1'i kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \beta \) açısıdır. Bu \( \beta \) açısı ile d2'yi kestiği noktada oluşan dış ters açının ölçüsü birbirine eşittir.
Eğer \( \beta \) açısının ölçüsü 120° ise, bu dış ters açının ölçüsü kaç derecedir?
💡 Tanım: Dış ters açılar, paralel doğruların dışında kalan ve ters yönlere bakan açılardır.
Çözüm:
Soruda \( \beta \) açısı ile d2'yi kestiği noktada oluşan açının dış ters açılar olduğu belirtilmiş.
Dış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
\( \beta \) açısının ölçüsü 120° olarak verilmiş.
Bu nedenle, \( \beta \) açısının dış ters açısının ölçüsü de 120° olacaktır.
✅ Dış ters açının ölçüsü 120°'dir.
Örnek 8:
Bir mimar, modern bir binanın giriş holünün tasarımını yapıyor.
Holün zemini, birbirine paralel iki uzun duvarla sınırlı. Bu paralel duvarları birbirine bağlayan, zemine dik olmayan bir merdiven yerleştirilecek.
Merdivenin bir paralel duvara yaptığı açı 75° olarak ölçülüyor. Buna göre, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü kaç derecedir?
👉 Mimari Uygulama: Paralel doğrular ve kesen açılar, mimari projelerde mekanların oranlarını ve açılarını belirlemek için kullanılır.
Çözüm:
Paralel duvarlar, birbirine paralel iki doğru olarak düşünülebilir (d1 || d2).
Merdiven ise bu paralel doğruları kesen bir doğrudur (k doğrusu).
Merdivenin bir paralel duvara yaptığı 75°'lik açı, kesenle paralel doğru arasındaki açılardan biridir.
Bizden istenen, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsüdür.
Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü de 75° olacaktır.
✅ Merdivenin diğer paralel duvara yapacağı yöndeş açının ölçüsü 75°'dir.
Örnek 9:
d1 || d2 olmak üzere, k doğrusu d1 ve d2'yi kesiyor.
k doğrusunun d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( \gamma \) açısıdır. d2 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri ise \( \delta \) açısıdır.
Eğer \( \gamma \) ve \( \delta \) açıları karşı durumlu açılar ise ve \( \delta = 3 \times \gamma \) ilişkisi varsa, \( \gamma \) ve \( \delta \) açılarının ölçülerini bulunuz.
💡 Kural: Karşı durumlu açılar bütünlerdir, yani toplamları \( 180^\circ \) eder.
Çözüm:
\( \gamma \) ve \( \delta \) açıları karşı durumlu açılar olduğu için, toplamları \( 180^\circ \) olmalıdır: \( \gamma + \delta = 180^\circ \).
Ayrıca soruda \( \delta = 3 \times \gamma \) ilişkisi verilmiş.
Bu ilişkiyi ilk denklemde \( \delta \) yerine yazalım: \( \gamma + (3 \times \gamma) = 180^\circ \).