💡 6. Sınıf Matematik: İki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, k doğrusu kesiyor. Bu kesişim sonucunda oluşan açılardan, d1 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sağ tarafında kalan açının ölçüsü 75 derecedir. 💡
Buna göre, d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sol tarafında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için yöndeş açılar kavramını kullanacağız.
Yöndeş açılar, paralel doğruların aynı yönlere bakan açılarıdır ve birbirine eşittir.
Verilen açı, d1 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sağında yer alıyor.
Aradığımız açı ise d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun solunda yer alıyor.
Paralel doğrular söz konusu olduğunda, bu iki açı iç ters açılar grubuna girer.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Dolayısıyla, d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sol tarafında kalan açının ölçüsü de 75 derecedir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
İki paralel doğru, bir kesenle kesildiğinde oluşan açılar arasında özel ilişkiler vardır. Eğer paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılar iç ters açılardır. 📐
Bir soruda, iç ters açılardan birinin ölçüsü \( (2x + 10)^\circ \) olarak verilmiş. Diğer iç ters açının ölçüsü ise \( (3x - 5)^\circ \) olarak verilmiş. Buna göre, bu açıların ölçüsünü ve x değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
Denklem kuralım: \( 2x + 10 = 3x - 5 \)
x terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
Her iki taraftan \( 2x \) çıkaralım: \( 10 = x - 5 \)
Her iki tarafa 5 ekleyelim: \( 15 = x \)
Böylece x değerini 15 olarak bulduk.
Şimdi bu x değerini ifadelerden birinde yerine koyarak açıların ölçüsünü bulalım:
Her iki açı da 40 derecedir. Bu, iç ters açıların eşitliği kuralını doğrular. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Şehir içi yollarda, iki paralel caddeyi kesen bir üst geçit düşünelim. 🛣️ Üst geçidin bir tarafında kalan ve bir caddeye göre oluşan açının ölçüsü 110 derecedir.
Bu durumda, diğer paralel cadde üzerinde, üst geçidin aynı tarafında kalan açının ölçüsü kaç derece olur?
Çözüm ve Açıklama
Bu durumu geometrik olarak iki paralel doğru ve bir kesen olarak düşünebiliriz. Verilen açı ve aradığımız açı karşı durumlu açılardır.
Karşı durumlu açılar, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin aynı tarafında yer alan açılardır.
Karşı durumlu açıların toplamı 180 derecedir.
Verilen açı 110 derece. Aradığımız açıya \( y \) diyelim.
Denklem kuralım: \( 110^\circ + y = 180^\circ \)
y'yi bulmak için 180'den 110'u çıkaralım: \( y = 180^\circ - 110^\circ \)
\( y = 70^\circ \)
Yani, diğer paralel cadde üzerinde, üst geçidin aynı tarafında kalan açının ölçüsü 70 derecedir. 💡
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki paralel doğru olan a ve b, c doğrusu ile kesişiyor. a doğrusu ile c doğrusunun yaptığı açılardan biri 60 derecedir. 📏
Bu 60 derecelik açı, a doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer almaktadır. Buna göre, b doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu açılardan, b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda birden fazla açı ilişkisini kullanacağız.
İlk olarak, a doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu 60 derecelik açının yöndeş açısını bulalım. Yöndeş açı, b doğrusu ile c doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer alır ve ölçüsü 60 derecedir.
Şimdi, b doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında kalan 60 derecelik açı ile, aradığımız açı (b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açı) ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Alternatif olarak, a doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu 60 derecelik açının iç ters açısını bulabiliriz. Bu açı, b doğrusu ile c doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer alır ve ölçüsü 60 derecedir.
Bu 60 derecelik açı ile aradığımız açı (b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açı) doğru açı oluşturur. Yani toplamları 180 derecedir.
60 derece + Aranan Açı = 180 derece
Aranan Açı = 180 - 60 = 120 derece.
Bu durumda, aradığımız açının ölçüsü 120 derecedir. 🧐
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir mimar, iki paralel pencere rayının üzerine bir jaluzi yerleştirecektir. 🖼️ Jaluzinin bir kenarı, üst ray ile 40 derecelik bir açı yapmaktadır. Bu açı, rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Mimarın, jaluzinin diğer kenarının alt ray ile yapacağı açıyı hesaplaması gerekmektedir. Bu açı, alt rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur. Jaluzinin kenarlarının birbirine paralel olduğunu varsayıyoruz.
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi, iki paralel doğru (pencere rayları) ve bu doğruları kesen bir doğru (jaluzinin bir kenarı) olarak düşünebiliriz.
Verilen 40 derecelik açı, üst ray (paralel doğru 1) ile jaluzinin bir kenarı (kesen) arasındaki açıdır. Bu açı, rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Aradığımız açı ise alt ray (paralel doğru 2) ile jaluzinin aynı kenarı (kesen) arasındaki açıdır. Bu açı da alt rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Bu iki açı, birbirine iç ters açılardır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Dolayısıyla, jaluzinin diğer kenarının alt ray ile yapacağı açı da 40 derece olacaktır. ✅
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir tren yolu düşünelim. 🚂 İki paralel ray, bir köprü ile kesiliyor. Köprünün bir ayağının raylardan biriyle yaptığı açı 70 derecedir. Bu açı, rayın dış kısmında ve köprü ayağının rayın içine doğru olan tarafındadır.
Köprü ayağının diğer paralel ray ile yapacağı açıyı bulmak istiyoruz. Bu açı da rayın dış kısmında ve köprü ayağının rayın içine doğru olan tarafındadır. Bu iki açı yöndeş açılardır.
Çözüm ve Açıklama
Tren rayları paralel doğruları, köprü ayağı ise kesen doğruyu temsil eder.
Verilen 70 derecelik açı, birinci paralel ray ile kesen arasındaki açıdır.
Aradığımız açı ise ikinci paralel ray ile kesen arasındaki açıdır.
Soruda belirtildiği gibi, bu iki açı yöndeş açılardır.
Yöndeş açıların özellikleri gereği, ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, köprü ayağının diğer paralel ray ile yapacağı açı da 70 derece olacaktır. 💡
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
İki paralel doğru olan m ve n, p doğrusu ile kesişiyor. m doğrusu ile p doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( (4a + 20)^\circ \) iken, n doğrusu ile p doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( (5a - 10)^\circ \) olarak verilmiştir. 🧮
Bu iki açı, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılardır (yani iç ters açılardır). Buna göre, a'nın değerini ve bu açıların ölçüsünü bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, verilen ifadeleri birbirine eşitleyerek a'yı bulabiliriz.
Denklem kuralım: \( 4a + 20 = 5a - 10 \)
a terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
Her iki taraftan \( 4a \) çıkaralım: \( 20 = a - 10 \)
Her iki tarafa 10 ekleyelim: \( 30 = a \)
Böylece a değerini 30 olarak bulduk.
Şimdi bu a değerini kullanarak açıların ölçüsünü hesaplayalım:
Her iki açı da 140 derecedir. Bu, iç ters açıların eşitliği kuralını doğrular. ✅
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir parkta, birbirine paralel iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolları kesen bir bisiklet yolu yapılmıştır. 🚴 Bisiklet yolunun bir tarafında, birinci yürüyüş yolu ile yaptığı açılardan biri 130 derecedir. Bu açı, yürüyüş yolunun dışında ve bisiklet yolunun yola göre iç tarafındadır.
Bisiklet yolunun diğer yürüyüş yolu ile yapacağı açıyı bulmak istiyoruz. Bu açı da diğer yürüyüş yolunun dışında ve bisiklet yolunun yola göre iç tarafındadır.
Çözüm ve Açıklama
Bu durumda, yürüyüş yolları paralel doğruları, bisiklet yolu ise kesen doğruyu temsil eder.
Verilen 130 derecelik açı, birinci paralel doğru (yürüyüş yolu) ile kesen (bisiklet yolu) arasındaki açıdır.
Aradığımız açı ise ikinci paralel doğru (yürüyüş yolu) ile kesen (bisiklet yolu) arasındaki açıdır.
Bu iki açı, dış ters açılardır.
Dış ters açıların özellikleri gereği, ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, bisiklet yolunun diğer yürüyüş yolu ile yapacağı açı da 130 derece olacaktır. 🤩
9
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki paralel doğru, bir kesenle kesildiğinde oluşan açılardan biri 55 derecedir. Bu açı, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin bir tarafında yer alan bir açıdır. 📐
Bu durumda, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin diğer tarafında yer alan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılar olan iç ters açıları ele alıyoruz.
Verilen 55 derecelik açı, bu iç ters açılardan biridir.
İç ters açıların temel özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır.
Dolayısıyla, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin diğer tarafında yer alan açının ölçüsü de 55 derecedir. ✅
6. Sınıf Matematik: İki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını, k doğrusu kesiyor. Bu kesişim sonucunda oluşan açılardan, d1 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sağ tarafında kalan açının ölçüsü 75 derecedir. 💡
Buna göre, d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sol tarafında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için yöndeş açılar kavramını kullanacağız.
Yöndeş açılar, paralel doğruların aynı yönlere bakan açılarıdır ve birbirine eşittir.
Verilen açı, d1 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sağında yer alıyor.
Aradığımız açı ise d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun solunda yer alıyor.
Paralel doğrular söz konusu olduğunda, bu iki açı iç ters açılar grubuna girer.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Dolayısıyla, d2 doğrusu üzerinde ve k doğrusunun sol tarafında kalan açının ölçüsü de 75 derecedir. ✅
Örnek 2:
İki paralel doğru, bir kesenle kesildiğinde oluşan açılar arasında özel ilişkiler vardır. Eğer paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılar iç ters açılardır. 📐
Bir soruda, iç ters açılardan birinin ölçüsü \( (2x + 10)^\circ \) olarak verilmiş. Diğer iç ters açının ölçüsü ise \( (3x - 5)^\circ \) olarak verilmiş. Buna göre, bu açıların ölçüsünü ve x değerini bulunuz.
Çözüm:
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, bu iki ifadeyi birbirine eşitleyebiliriz.
Denklem kuralım: \( 2x + 10 = 3x - 5 \)
x terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
Her iki taraftan \( 2x \) çıkaralım: \( 10 = x - 5 \)
Her iki tarafa 5 ekleyelim: \( 15 = x \)
Böylece x değerini 15 olarak bulduk.
Şimdi bu x değerini ifadelerden birinde yerine koyarak açıların ölçüsünü bulalım:
Her iki açı da 40 derecedir. Bu, iç ters açıların eşitliği kuralını doğrular. ✅
Örnek 3:
Şehir içi yollarda, iki paralel caddeyi kesen bir üst geçit düşünelim. 🛣️ Üst geçidin bir tarafında kalan ve bir caddeye göre oluşan açının ölçüsü 110 derecedir.
Bu durumda, diğer paralel cadde üzerinde, üst geçidin aynı tarafında kalan açının ölçüsü kaç derece olur?
Çözüm:
Bu durumu geometrik olarak iki paralel doğru ve bir kesen olarak düşünebiliriz. Verilen açı ve aradığımız açı karşı durumlu açılardır.
Karşı durumlu açılar, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin aynı tarafında yer alan açılardır.
Karşı durumlu açıların toplamı 180 derecedir.
Verilen açı 110 derece. Aradığımız açıya \( y \) diyelim.
Denklem kuralım: \( 110^\circ + y = 180^\circ \)
y'yi bulmak için 180'den 110'u çıkaralım: \( y = 180^\circ - 110^\circ \)
\( y = 70^\circ \)
Yani, diğer paralel cadde üzerinde, üst geçidin aynı tarafında kalan açının ölçüsü 70 derecedir. 💡
Örnek 4:
İki paralel doğru olan a ve b, c doğrusu ile kesişiyor. a doğrusu ile c doğrusunun yaptığı açılardan biri 60 derecedir. 📏
Bu 60 derecelik açı, a doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer almaktadır. Buna göre, b doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu açılardan, b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda birden fazla açı ilişkisini kullanacağız.
İlk olarak, a doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu 60 derecelik açının yöndeş açısını bulalım. Yöndeş açı, b doğrusu ile c doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer alır ve ölçüsü 60 derecedir.
Şimdi, b doğrusunun üst kısmında ve c doğrusunun sol tarafında kalan 60 derecelik açı ile, aradığımız açı (b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açı) ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Alternatif olarak, a doğrusu ile c doğrusunun oluşturduğu 60 derecelik açının iç ters açısını bulabiliriz. Bu açı, b doğrusu ile c doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sol tarafında yer alır ve ölçüsü 60 derecedir.
Bu 60 derecelik açı ile aradığımız açı (b doğrusunun alt kısmında ve c doğrusunun sağ tarafında kalan açı) doğru açı oluşturur. Yani toplamları 180 derecedir.
60 derece + Aranan Açı = 180 derece
Aranan Açı = 180 - 60 = 120 derece.
Bu durumda, aradığımız açının ölçüsü 120 derecedir. 🧐
Örnek 5:
Bir mimar, iki paralel pencere rayının üzerine bir jaluzi yerleştirecektir. 🖼️ Jaluzinin bir kenarı, üst ray ile 40 derecelik bir açı yapmaktadır. Bu açı, rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Mimarın, jaluzinin diğer kenarının alt ray ile yapacağı açıyı hesaplaması gerekmektedir. Bu açı, alt rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur. Jaluzinin kenarlarının birbirine paralel olduğunu varsayıyoruz.
Çözüm:
Bu problemi, iki paralel doğru (pencere rayları) ve bu doğruları kesen bir doğru (jaluzinin bir kenarı) olarak düşünebiliriz.
Verilen 40 derecelik açı, üst ray (paralel doğru 1) ile jaluzinin bir kenarı (kesen) arasındaki açıdır. Bu açı, rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Aradığımız açı ise alt ray (paralel doğru 2) ile jaluzinin aynı kenarı (kesen) arasındaki açıdır. Bu açı da alt rayın iç kısmında ve jaluzinin dışına doğrudur.
Bu iki açı, birbirine iç ters açılardır.
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Dolayısıyla, jaluzinin diğer kenarının alt ray ile yapacağı açı da 40 derece olacaktır. ✅
Örnek 6:
Bir tren yolu düşünelim. 🚂 İki paralel ray, bir köprü ile kesiliyor. Köprünün bir ayağının raylardan biriyle yaptığı açı 70 derecedir. Bu açı, rayın dış kısmında ve köprü ayağının rayın içine doğru olan tarafındadır.
Köprü ayağının diğer paralel ray ile yapacağı açıyı bulmak istiyoruz. Bu açı da rayın dış kısmında ve köprü ayağının rayın içine doğru olan tarafındadır. Bu iki açı yöndeş açılardır.
Çözüm:
Tren rayları paralel doğruları, köprü ayağı ise kesen doğruyu temsil eder.
Verilen 70 derecelik açı, birinci paralel ray ile kesen arasındaki açıdır.
Aradığımız açı ise ikinci paralel ray ile kesen arasındaki açıdır.
Soruda belirtildiği gibi, bu iki açı yöndeş açılardır.
Yöndeş açıların özellikleri gereği, ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, köprü ayağının diğer paralel ray ile yapacağı açı da 70 derece olacaktır. 💡
Örnek 7:
İki paralel doğru olan m ve n, p doğrusu ile kesişiyor. m doğrusu ile p doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( (4a + 20)^\circ \) iken, n doğrusu ile p doğrusunun oluşturduğu açılardan biri \( (5a - 10)^\circ \) olarak verilmiştir. 🧮
Bu iki açı, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılardır (yani iç ters açılardır). Buna göre, a'nın değerini ve bu açıların ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan, verilen ifadeleri birbirine eşitleyerek a'yı bulabiliriz.
Denklem kuralım: \( 4a + 20 = 5a - 10 \)
a terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım:
Her iki taraftan \( 4a \) çıkaralım: \( 20 = a - 10 \)
Her iki tarafa 10 ekleyelim: \( 30 = a \)
Böylece a değerini 30 olarak bulduk.
Şimdi bu a değerini kullanarak açıların ölçüsünü hesaplayalım:
Her iki açı da 140 derecedir. Bu, iç ters açıların eşitliği kuralını doğrular. ✅
Örnek 8:
Bir parkta, birbirine paralel iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolları kesen bir bisiklet yolu yapılmıştır. 🚴 Bisiklet yolunun bir tarafında, birinci yürüyüş yolu ile yaptığı açılardan biri 130 derecedir. Bu açı, yürüyüş yolunun dışında ve bisiklet yolunun yola göre iç tarafındadır.
Bisiklet yolunun diğer yürüyüş yolu ile yapacağı açıyı bulmak istiyoruz. Bu açı da diğer yürüyüş yolunun dışında ve bisiklet yolunun yola göre iç tarafındadır.
Çözüm:
Bu durumda, yürüyüş yolları paralel doğruları, bisiklet yolu ise kesen doğruyu temsil eder.
Verilen 130 derecelik açı, birinci paralel doğru (yürüyüş yolu) ile kesen (bisiklet yolu) arasındaki açıdır.
Aradığımız açı ise ikinci paralel doğru (yürüyüş yolu) ile kesen (bisiklet yolu) arasındaki açıdır.
Bu iki açı, dış ters açılardır.
Dış ters açıların özellikleri gereği, ölçüleri birbirine eşittir.
Bu nedenle, bisiklet yolunun diğer yürüyüş yolu ile yapacağı açı da 130 derece olacaktır. 🤩
Örnek 9:
İki paralel doğru, bir kesenle kesildiğinde oluşan açılardan biri 55 derecedir. Bu açı, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin bir tarafında yer alan bir açıdır. 📐
Bu durumda, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin diğer tarafında yer alan açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Bu soruda, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin zıt yönlerine bakan açılar olan iç ters açıları ele alıyoruz.
Verilen 55 derecelik açı, bu iç ters açılardan biridir.
İç ters açıların temel özelliği, ölçülerinin birbirine eşit olmasıdır.
Dolayısıyla, paralel doğruların arasında kalan ve kesenin diğer tarafında yer alan açının ölçüsü de 55 derecedir. ✅