💡 6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru Ve Bir Eksenle Oluşturulan Açılar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki görselde, \( d_1 \) doğrusu ile \( d_2 \) doğrusu birbirine paraleldir (\( d_1 // d_2 \)). Bu paralel doğruları kesen bir \( t \) ekseni bulunmaktadır. Oluşan açılardan biri olan \( \hat{A} \) açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \hat{B} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( d_1 \) ve \( d_2 \) vardır. Onları çapraz kesen bir \( t \) çizgisi vardır. \( d_1 \) ve \( t \) çizgisinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \hat{A} \) olarak işaretlenmiştir. \( d_2 \) ve \( t \) çizgisinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \hat{B} \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu tür problemlerde, paralel doğruları kesen bir eksen olduğunda, aynı konumdaki açıların ölçüleri birbirine eşit olur. İşte çözüm adımları:
1️⃣ Açıların Konumu: \( \hat{A} \) ve \( \hat{B} \) açıları, eksenin sol tarafında ve paralel doğruların üst kısmında yer almaktadır. Yani bu iki açı aynı konumdadır.
2️⃣ Paralellik Özelliği: Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Hesaplama: Verilen \( \hat{A} = 70^\circ \) olduğuna göre, \( \hat{B} \) açısı da \( 70^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \hat{B} = 70^\circ \) dir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki görselde, birbirine paralel olan \( k \) ve \( l \) doğruları, bir \( m \) doğrusu tarafından kesilmektedir. Oluşan açılardan biri \( \hat{C} \) ve ölçüsü \( 115^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \hat{D} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( k \) ve \( l \) vardır. Onları çapraz kesen bir \( m \) çizgisi vardır. \( k \) ve \( m \) çizgisinin kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( \hat{C} \) olarak işaretlenmiştir. \( l \) ve \( m \) çizgisinin kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \hat{D} \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda da paralel doğrular ve bir kesen doğru ile oluşan açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
1️⃣ Açıların Konumları: \( \hat{C} \) açısı, \( k \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesişiminde sağ üstte yer alır. \( \hat{D} \) açısı ise \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesişiminde sağ altta yer alır.
2️⃣ Doğru Açı İlişkisi: İlk olarak, \( \hat{C} \) açısının yanındaki açıyı (sağ altta kalan açıyı) bulalım. Bu iki açı bir doğru açı oluşturur, yani toplamları \( 180^\circ \)dir. Eğer \( \hat{C} = 115^\circ \) ise, yanındaki açı \( 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \) olur.
3️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( k \) doğrusu üzerindeki sağ alttaki \( 65^\circ \) lik açı ile \( \hat{D} \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların alt kısmında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
4️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \hat{D} \) açısının ölçüsü \( 65^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \hat{D} = 65^\circ \) dir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Şekilde \( p // r \) olduğuna göre, \( x \) ile gösterilen açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( p \) ve \( r \) vardır. Onları çapraz kesen bir doğru vardır. \( p \) ve kesen doğrunun kesişiminde, sağ altta kalan açı \( 125^\circ \) olarak verilmiştir. \( r \) ve kesen doğrunun kesişiminde, sol üstte kalan açı \( x \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, paralel doğrular ve bir kesen doğru ile oluşan açıların özelliklerini kullanarak \( x \) açısını bulalım.
1️⃣ Verilen Açı ve Yanındaki Açı: \( p \) doğrusu üzerindeki \( 125^\circ \) lik açıya bakalım. Bu açının hemen yanındaki (sol üstteki) açı ile toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır, çünkü bu iki açı bir doğru açı oluşturur.
3️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( p \) doğrusu üzerindeki bu \( 55^\circ \) lik açı ile \( r \) doğrusu üzerindeki \( x \) açısı aynı konumdadır (kesenin solunda, paralel doğruların üstünde). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
4️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( x \) açısının ölçüsü \( 55^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( x = 55^\circ \) dir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( AB // CD \) olmak üzere, verilen şekilde \( \angle FAB = 68^\circ \) ve \( \angle ECD = y \) ise, \( y \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( AB \) ve \( CD \) vardır. Bu doğruları çapraz kesen bir \( EF \) doğrusu vardır. \( AB \) ve \( EF \) doğrusunun kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \angle FAB \) olarak işaretlenmiş ve \( 68^\circ \) verilmiştir. \( CD \) ve \( EF \) doğrusunun kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \angle ECD \) olarak işaretlenmiş ve \( y \) olarak verilmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Paralel doğrular \( AB \) ve \( CD \) ile kesen \( EF \) doğrusunun oluşturduğu açı ilişkilerini inceleyelim.
1️⃣ \( \angle FAB \) Açısının Dikey Açısı: \( \angle FAB \) açısının tam karşısındaki açı (dikey açı) da \( 68^\circ \)dir. Bu açı, \( AB \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta kalır.
2️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( AB \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 68^\circ \) lik açı ile \( CD \) doğrusu üzerindeki \( \angle ECD \) (yani \( y \)) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların altında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( y \) açısının ölçüsü \( 68^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( y = 68^\circ \) dir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Yukarıdaki şekilde \( d_1 // d_2 \) dir. \( \angle KLP = 100^\circ \) olduğuna göre, \( \angle PMN \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( d_1 \) ve \( d_2 \) vardır. Bu doğruları çapraz kesen bir \( KP \) doğrusu vardır. \( d_1 \) ve \( KP \) doğrusunun kesiştiği yerde, sol altta kalan açı \( \angle KLP \) olarak işaretlenmiş ve \( 100^\circ \) verilmiştir. \( d_2 \) ve \( KP \) doğrusunun kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( \angle PMN \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Paralel doğrular ve bir kesen ile oluşan açılar arasındaki ilişkileri adım adım uygulayalım.
1️⃣ \( \angle KLP \) Açısının Dikey Açısı: \( \angle KLP \) açısının dikey açısı (tam karşısındaki açı) da \( 100^\circ \)dir. Bu açı, \( d_1 \) doğrusu ile \( KP \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ üstte kalır.
2️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( d_1 \) doğrusu üzerindeki sağ üstte kalan \( 100^\circ \) lik açı ile \( d_2 \) doğrusu üzerindeki \( \angle PMN \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların üstünde). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \angle PMN \) açısının ölçüsü \( 100^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \angle PMN = 100^\circ \) dir.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir şehir planında, birbirine paralel olan "Geniş Sokak" ve "Huzur Caddesi"ni kesen "Ana Bulvar" gösterilmiştir. Geniş Sokak ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada, kuzeydoğu yönünde oluşan açının ölçüsü \( 55^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada, kuzeybatı yönünde oluşan açının ölçüsü kaç derecedir? 🗺️
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi "Geniş Sokak" ve "Huzur Caddesi" vardır. Onları çapraz kesen bir "Ana Bulvar" vardır. Geniş Sokak ve Ana Bulvar'ın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( 55^\circ \) olarak verilmiştir. Huzur Caddesi ve Ana Bulvar'ın kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı sorulmaktadır.)
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, sokaklar paralel doğruları, bulvar ise kesen ekseni temsil etmektedir.
1️⃣ Verilen Açıyı Belirleme: Geniş Sokak ile Ana Bulvar'ın kuzeydoğu yönündeki açısı \( 55^\circ \) olarak verilmiş. Bu, kesenin sağında ve üst kısmında kalan açıdır.
2️⃣ Huzur Caddesi'ndeki Aynı Konumdaki Açı: Paralel doğruları kesen bir eksende, aynı konumdaki açılar eşittir. Bu durumda, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeydoğu yönünde oluşan açı da \( 55^\circ \) olacaktır.
3️⃣ İstenen Açıyı Bulma: Bizden Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeybatı yönünde oluşan açı isteniyor. Kuzeydoğu yönündeki \( 55^\circ \) lik açı ile kuzeybatı yönündeki istenen açı, bir doğru açı oluşturur (toplamları \( 180^\circ \)dir).
✅ Yani, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeybatı yönünde oluşan açının ölçüsü \( 125^\circ \)dir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir marangoz, duvara iki adet paralel raf takmak istiyor. Rafların düzgün durduğunu kontrol etmek için, rafları çapraz kesen bir destek çıtası kullanıyor. Üstteki raf ile destek çıtası arasında oluşan büyük açının \( 130^\circ \) olduğunu ölçüyor.
Alttaki raf ile destek çıtası arasında, üstteki büyük açının tam karşılığı olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🛠️
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi "Üstteki raf" ve "Alttaki raf" vardır. Onları çapraz kesen bir "Destek çıtası" vardır. Üstteki raf ile Destek çıtası'nın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir. Alttaki raf ile Destek çıtası'nın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı sorulmaktadır.)
Çözüm ve Açıklama
Burada raflar paralel doğruları, destek çıtası ise kesen ekseni temsil eder.
1️⃣ Paralel Raflar: Üstteki raf ile alttaki raf birbirine paraleldir.
2️⃣ Kesen Çıta: Destek çıtası, bu paralel rafları kesmektedir.
3️⃣ Verilen Açı: Üstteki raf ile destek çıtası arasında oluşan büyük açı \( 130^\circ \)dir. Bu açı, destek çıtasının sağ üst tarafında yer almaktadır.
4️⃣ İstenen Açı: Bizden, alttaki raf ile destek çıtası arasında, üstteki büyük açının tam karşılığı olan açı isteniyor. Bu da alttaki rafın sağ üst tarafında yer alan açıdır.
5️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir. Bu durumda, alttaki rafın sağ üst tarafında oluşan açı da \( 130^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, alttaki raf ile destek çıtası arasında oluşan açının ölçüsü \( 130^\circ \)dir.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Şekilde \( k // l \) ve \( m // n \) olmak üzere, \( \angle A = 75^\circ \) verilmiştir.
Buna göre, \( \angle B \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤯
(Görsel betimlemesi: İki paralel yatay çizgi \( k \) ve \( l \) vardır. Bu çizgileri kesen, birbirine paralel iki çapraz çizgi \( m \) ve \( n \) vardır. \( k \) ve \( m \) çizgilerinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \angle A \) olarak işaretlenmiş ve \( 75^\circ \) verilmiştir. \( l \) ve \( n \) çizgilerinin kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \angle B \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde iki farklı paralel doğru çifti ve kesenler var. Adım adım ilerleyerek \( \angle B \) açısını bulalım.
1️⃣ \( k // l \) ve \( m \) keseni: Öncelikle, \( k \) ve \( l \) doğrularının paralel olduğunu ve \( m \) doğrusunun bu ikisini kestiğini düşünelim.
2️⃣ \( \angle A \) açısının Dikey Açısı: \( \angle A = 75^\circ \) açısının dikey açısı (tam karşısındaki açı) da \( 75^\circ \)dir. Bu açı, \( k \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta kalır.
3️⃣ \( k // l \) ve \( m \) keseni ile Aynı Konumdaki Açı: \( k \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 75^\circ \) lik açı ile \( l \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan açı aynı konumdadır. Dolayısıyla, \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta oluşan açı da \( 75^\circ \)dir.
4️⃣ \( m // n \) ve \( l \) keseni: Şimdi, \( m \) ve \( n \) doğrularının paralel olduğunu ve \( l \) doğrusunun bu ikisini kestiğini düşünelim.
5️⃣ \( \angle B \) Açısı ile İlişki: \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta oluşan açı \( 75^\circ \) idi. \( \angle B \) açısı ise \( l \) doğrusu ile \( n \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta yer almaktadır.
6️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: \( m // n \) olduğundan, \( l \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 75^\circ \) lik açı ile \( \angle B \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların altında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
7️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \angle B \) açısının ölçüsü \( 75^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \angle B = 75^\circ \) dir.
6. Sınıf Matematik: İki Paralel Doğru Ve Bir Eksenle Oluşturulan Açılar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki görselde, \( d_1 \) doğrusu ile \( d_2 \) doğrusu birbirine paraleldir (\( d_1 // d_2 \)). Bu paralel doğruları kesen bir \( t \) ekseni bulunmaktadır. Oluşan açılardan biri olan \( \hat{A} \) açısının ölçüsü \( 70^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \hat{B} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( d_1 \) ve \( d_2 \) vardır. Onları çapraz kesen bir \( t \) çizgisi vardır. \( d_1 \) ve \( t \) çizgisinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \hat{A} \) olarak işaretlenmiştir. \( d_2 \) ve \( t \) çizgisinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \hat{B} \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm:
Bu tür problemlerde, paralel doğruları kesen bir eksen olduğunda, aynı konumdaki açıların ölçüleri birbirine eşit olur. İşte çözüm adımları:
1️⃣ Açıların Konumu: \( \hat{A} \) ve \( \hat{B} \) açıları, eksenin sol tarafında ve paralel doğruların üst kısmında yer almaktadır. Yani bu iki açı aynı konumdadır.
2️⃣ Paralellik Özelliği: Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Hesaplama: Verilen \( \hat{A} = 70^\circ \) olduğuna göre, \( \hat{B} \) açısı da \( 70^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \hat{B} = 70^\circ \) dir.
Örnek 2:
Aşağıdaki görselde, birbirine paralel olan \( k \) ve \( l \) doğruları, bir \( m \) doğrusu tarafından kesilmektedir. Oluşan açılardan biri \( \hat{C} \) ve ölçüsü \( 115^\circ \) olarak verilmiştir.
Buna göre, \( \hat{D} \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( k \) ve \( l \) vardır. Onları çapraz kesen bir \( m \) çizgisi vardır. \( k \) ve \( m \) çizgisinin kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( \hat{C} \) olarak işaretlenmiştir. \( l \) ve \( m \) çizgisinin kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \hat{D} \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm:
Bu soruda da paralel doğrular ve bir kesen doğru ile oluşan açılar arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
1️⃣ Açıların Konumları: \( \hat{C} \) açısı, \( k \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesişiminde sağ üstte yer alır. \( \hat{D} \) açısı ise \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesişiminde sağ altta yer alır.
2️⃣ Doğru Açı İlişkisi: İlk olarak, \( \hat{C} \) açısının yanındaki açıyı (sağ altta kalan açıyı) bulalım. Bu iki açı bir doğru açı oluşturur, yani toplamları \( 180^\circ \)dir. Eğer \( \hat{C} = 115^\circ \) ise, yanındaki açı \( 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \) olur.
3️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( k \) doğrusu üzerindeki sağ alttaki \( 65^\circ \) lik açı ile \( \hat{D} \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların alt kısmında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
4️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \hat{D} \) açısının ölçüsü \( 65^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \hat{D} = 65^\circ \) dir.
Örnek 3:
Şekilde \( p // r \) olduğuna göre, \( x \) ile gösterilen açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( p \) ve \( r \) vardır. Onları çapraz kesen bir doğru vardır. \( p \) ve kesen doğrunun kesişiminde, sağ altta kalan açı \( 125^\circ \) olarak verilmiştir. \( r \) ve kesen doğrunun kesişiminde, sol üstte kalan açı \( x \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğrular ve bir kesen doğru ile oluşan açıların özelliklerini kullanarak \( x \) açısını bulalım.
1️⃣ Verilen Açı ve Yanındaki Açı: \( p \) doğrusu üzerindeki \( 125^\circ \) lik açıya bakalım. Bu açının hemen yanındaki (sol üstteki) açı ile toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır, çünkü bu iki açı bir doğru açı oluşturur.
3️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( p \) doğrusu üzerindeki bu \( 55^\circ \) lik açı ile \( r \) doğrusu üzerindeki \( x \) açısı aynı konumdadır (kesenin solunda, paralel doğruların üstünde). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
4️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( x \) açısının ölçüsü \( 55^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( x = 55^\circ \) dir.
Örnek 4:
\( AB // CD \) olmak üzere, verilen şekilde \( \angle FAB = 68^\circ \) ve \( \angle ECD = y \) ise, \( y \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( AB \) ve \( CD \) vardır. Bu doğruları çapraz kesen bir \( EF \) doğrusu vardır. \( AB \) ve \( EF \) doğrusunun kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \angle FAB \) olarak işaretlenmiş ve \( 68^\circ \) verilmiştir. \( CD \) ve \( EF \) doğrusunun kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \angle ECD \) olarak işaretlenmiş ve \( y \) olarak verilmiştir.)
Çözüm:
Paralel doğrular \( AB \) ve \( CD \) ile kesen \( EF \) doğrusunun oluşturduğu açı ilişkilerini inceleyelim.
1️⃣ \( \angle FAB \) Açısının Dikey Açısı: \( \angle FAB \) açısının tam karşısındaki açı (dikey açı) da \( 68^\circ \)dir. Bu açı, \( AB \) doğrusu ile \( EF \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta kalır.
2️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( AB \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 68^\circ \) lik açı ile \( CD \) doğrusu üzerindeki \( \angle ECD \) (yani \( y \)) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların altında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( y \) açısının ölçüsü \( 68^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( y = 68^\circ \) dir.
Örnek 5:
Yukarıdaki şekilde \( d_1 // d_2 \) dir. \( \angle KLP = 100^\circ \) olduğuna göre, \( \angle PMN \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🧐
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi \( d_1 \) ve \( d_2 \) vardır. Bu doğruları çapraz kesen bir \( KP \) doğrusu vardır. \( d_1 \) ve \( KP \) doğrusunun kesiştiği yerde, sol altta kalan açı \( \angle KLP \) olarak işaretlenmiş ve \( 100^\circ \) verilmiştir. \( d_2 \) ve \( KP \) doğrusunun kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( \angle PMN \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm:
Paralel doğrular ve bir kesen ile oluşan açılar arasındaki ilişkileri adım adım uygulayalım.
1️⃣ \( \angle KLP \) Açısının Dikey Açısı: \( \angle KLP \) açısının dikey açısı (tam karşısındaki açı) da \( 100^\circ \)dir. Bu açı, \( d_1 \) doğrusu ile \( KP \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ üstte kalır.
2️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Şimdi, \( d_1 \) doğrusu üzerindeki sağ üstte kalan \( 100^\circ \) lik açı ile \( d_2 \) doğrusu üzerindeki \( \angle PMN \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların üstünde). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
3️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \angle PMN \) açısının ölçüsü \( 100^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, \( \angle PMN = 100^\circ \) dir.
Örnek 6:
Bir şehir planında, birbirine paralel olan "Geniş Sokak" ve "Huzur Caddesi"ni kesen "Ana Bulvar" gösterilmiştir. Geniş Sokak ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada, kuzeydoğu yönünde oluşan açının ölçüsü \( 55^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Buna göre, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada, kuzeybatı yönünde oluşan açının ölçüsü kaç derecedir? 🗺️
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi "Geniş Sokak" ve "Huzur Caddesi" vardır. Onları çapraz kesen bir "Ana Bulvar" vardır. Geniş Sokak ve Ana Bulvar'ın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( 55^\circ \) olarak verilmiştir. Huzur Caddesi ve Ana Bulvar'ın kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı sorulmaktadır.)
Çözüm:
Bu problemde, sokaklar paralel doğruları, bulvar ise kesen ekseni temsil etmektedir.
1️⃣ Verilen Açıyı Belirleme: Geniş Sokak ile Ana Bulvar'ın kuzeydoğu yönündeki açısı \( 55^\circ \) olarak verilmiş. Bu, kesenin sağında ve üst kısmında kalan açıdır.
2️⃣ Huzur Caddesi'ndeki Aynı Konumdaki Açı: Paralel doğruları kesen bir eksende, aynı konumdaki açılar eşittir. Bu durumda, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeydoğu yönünde oluşan açı da \( 55^\circ \) olacaktır.
3️⃣ İstenen Açıyı Bulma: Bizden Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeybatı yönünde oluşan açı isteniyor. Kuzeydoğu yönündeki \( 55^\circ \) lik açı ile kuzeybatı yönündeki istenen açı, bir doğru açı oluşturur (toplamları \( 180^\circ \)dir).
✅ Yani, Huzur Caddesi ile Ana Bulvar'ın kesiştiği noktada kuzeybatı yönünde oluşan açının ölçüsü \( 125^\circ \)dir.
Örnek 7:
Bir marangoz, duvara iki adet paralel raf takmak istiyor. Rafların düzgün durduğunu kontrol etmek için, rafları çapraz kesen bir destek çıtası kullanıyor. Üstteki raf ile destek çıtası arasında oluşan büyük açının \( 130^\circ \) olduğunu ölçüyor.
Alttaki raf ile destek çıtası arasında, üstteki büyük açının tam karşılığı olan açının ölçüsü kaç derecedir? 🛠️
(Görsel betimlemesi: Paralel iki yatay çizgi "Üstteki raf" ve "Alttaki raf" vardır. Onları çapraz kesen bir "Destek çıtası" vardır. Üstteki raf ile Destek çıtası'nın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı \( 130^\circ \) olarak verilmiştir. Alttaki raf ile Destek çıtası'nın kesiştiği yerde, sağ üstte kalan açı sorulmaktadır.)
Çözüm:
Burada raflar paralel doğruları, destek çıtası ise kesen ekseni temsil eder.
1️⃣ Paralel Raflar: Üstteki raf ile alttaki raf birbirine paraleldir.
2️⃣ Kesen Çıta: Destek çıtası, bu paralel rafları kesmektedir.
3️⃣ Verilen Açı: Üstteki raf ile destek çıtası arasında oluşan büyük açı \( 130^\circ \)dir. Bu açı, destek çıtasının sağ üst tarafında yer almaktadır.
4️⃣ İstenen Açı: Bizden, alttaki raf ile destek çıtası arasında, üstteki büyük açının tam karşılığı olan açı isteniyor. Bu da alttaki rafın sağ üst tarafında yer alan açıdır.
5️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir. Bu durumda, alttaki rafın sağ üst tarafında oluşan açı da \( 130^\circ \) olacaktır.
✅ Yani, alttaki raf ile destek çıtası arasında oluşan açının ölçüsü \( 130^\circ \)dir.
Örnek 8:
Şekilde \( k // l \) ve \( m // n \) olmak üzere, \( \angle A = 75^\circ \) verilmiştir.
Buna göre, \( \angle B \) açısının ölçüsü kaç derecedir? 🤯
(Görsel betimlemesi: İki paralel yatay çizgi \( k \) ve \( l \) vardır. Bu çizgileri kesen, birbirine paralel iki çapraz çizgi \( m \) ve \( n \) vardır. \( k \) ve \( m \) çizgilerinin kesiştiği yerde, sol üstte kalan açı \( \angle A \) olarak işaretlenmiş ve \( 75^\circ \) verilmiştir. \( l \) ve \( n \) çizgilerinin kesiştiği yerde, sağ altta kalan açı \( \angle B \) olarak işaretlenmiştir.)
Çözüm:
Bu problemde iki farklı paralel doğru çifti ve kesenler var. Adım adım ilerleyerek \( \angle B \) açısını bulalım.
1️⃣ \( k // l \) ve \( m \) keseni: Öncelikle, \( k \) ve \( l \) doğrularının paralel olduğunu ve \( m \) doğrusunun bu ikisini kestiğini düşünelim.
2️⃣ \( \angle A \) açısının Dikey Açısı: \( \angle A = 75^\circ \) açısının dikey açısı (tam karşısındaki açı) da \( 75^\circ \)dir. Bu açı, \( k \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta kalır.
3️⃣ \( k // l \) ve \( m \) keseni ile Aynı Konumdaki Açı: \( k \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 75^\circ \) lik açı ile \( l \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan açı aynı konumdadır. Dolayısıyla, \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta oluşan açı da \( 75^\circ \)dir.
4️⃣ \( m // n \) ve \( l \) keseni: Şimdi, \( m \) ve \( n \) doğrularının paralel olduğunu ve \( l \) doğrusunun bu ikisini kestiğini düşünelim.
5️⃣ \( \angle B \) Açısı ile İlişki: \( l \) doğrusu ile \( m \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta oluşan açı \( 75^\circ \) idi. \( \angle B \) açısı ise \( l \) doğrusu ile \( n \) doğrusunun kesiştiği noktada sağ altta yer almaktadır.
6️⃣ Aynı Konumdaki Açılar: \( m // n \) olduğundan, \( l \) doğrusu üzerindeki sağ altta kalan \( 75^\circ \) lik açı ile \( \angle B \) açısı aynı konumdadır (kesenin sağında, paralel doğruların altında). Paralel doğruları kesen bir eksenle oluşan aynı konumdaki açılar birbirine eşittir.
7️⃣ Sonuç: Bu durumda, \( \angle B \) açısının ölçüsü \( 75^\circ \) olacaktır.